Compacite : notion magique ?

[gg0]

Syborgg,

tu devrais oublier ta susceptibilité pour entendre ce qu'on te dit. Ta réponse à Médiat était assez surprenante pour que je sois un peu choqué, et Médiat a répondu sur un ton qui correspond.
Tout mathématicien connaît les difficultés qu'on rencontre avec la manipulation des infinis, ta réponse semble dire que tu n'y a jamais été confronté (*) et que tu crois que les mathématiciens non plus.
Pour en revenir à ce que tu dis au message #28, si dix mathématiciens donnent des réponses différentes, c'est seulement parce que leurs exemples sont liés à leurs pratiques ... différentes. Mais je suis prêt à parier que le fond de leur réponse est le même que ce que dit Médiat. D'ailleurs, parler de 10 mathématiciens quand on en cherche sur un forum .... et qu'on refuse sa contribution ...

Cordialement.

(*) Ou que tu n'en as pas eu besoin dans tes recherches, ce qui semble surprenant, et n'y a pas réfléchi dans la formation générale de maths qui précède. Mais je pense que ta réaction est seulement polémique (dommage !)
-----

[Médiat]

Bonjour gg0 et merci, moi, j'ai ma dose.

[syborgg]

Pour ceux d'entre vous qui sont ineteresses par en savoir plus sur ma question originelle (problablement pas Mediat ni gg0 qui semblent penser que ma question n'a aucun interet car la reponse est "evidente"), voici un lien vers un forum de mathematiciens professionnels ou cette question a ete posee. Les reponses sont variees et fort interessantes.

https://math.stackexchange.com/quest...-so-important/

[gg0]

Drôle de conception du dialogue !!
Vu que tu mélanges tout (ta question initiale et celle à laquelle Médiat a répondu), je fais comme lui !

[syborgg]

Drôle de conception du dialogue !!
Vu que tu mélanges tout (ta question initiale et celle à laquelle Médiat a répondu), je fais comme lui !

Je n'ai pas l'impression que tu aie eu envie de dialoguer durant les derniers posts, mais plutot de me tirer dessus allegrement en me faisant comprendre que ma question n'etait pas interessante. Par contre moi si j'ai toujours eu envie de dialoguer. Mauvais argument donc. J'ai deja dit que mon intention n'etait nullement d'etre arrogant ou meprisant quand je me demandais si un mathematicien etait une machine a faire des theoremes, mais toi et Mediat n'en ont absolument pas tenu compte et avez continue a etre agressif envers moi. Je suis pret a admettre que la formulation de cette phrase etait peu etre maladroite, et a en prendre acte. J'ai essaye par la suite a calmer les ardeurs et a retablir le dialogue avec Mediat dans le #30, mais il n'a pas juge bon de me repondre, et tu est venu a sa rescousse pour le plaindre. J'ai toujours ete courtois et poli, je ne pense pas que ca a ete votre cas, mais je laisse a l'appreciation des moderateurs.

[gg0]

C'est bien ce que je disais : "Drôle de conception du dialogue !!"

[syborgg]

C'est bien ce que je disais : "Drôle de conception du dialogue !!"

Il n'y a pire sourd que celui qui ne veut point entendre...

[Merlin95]

Il existe une autre position celle du mathématicien qui prend les choses comme elles sont sans chercher à comprendre pourquoi. Les choses sont ainsi avec les limites et les ouvertures qu'un concept peut apporter. Une sorte de fatalisme mathématique, et elle est tout aussi valable que la votre. Ceux qui n'ont pas la même position que vous n'en sont pas plus de mauvais mathématiciens. Ce qui n'empêche pas de s'y intéresser mais si c'est resté de la "philosophie", ca ne change pas leur position, et n'amène pas à prolonger la discussion sur le sujet, tout simplement.

[minushabens]

Il existe une autre position celle du mathématicien qui prend les choses comme elles sont sans chercher à comprendre pourquoi.

ce serait tout de même faire preuve de bien peu de curiosité. Non, je pense que quand on travaille longuement sur un domaine de la pensée - mathématique ou autre - on finit par s'intéresser à l'origine des concepts qu'on manipule. Et pour moi le questionnement de Syborgg est valide, même s'il semble ne pas entendre les suggestions qui lui sont faites. S'il ne trouve pas de réponse satisfaisante c'est sans-doute que personne ici ne connaît bien l'histoire des mathématiques.

[syborgg]

Il existe une autre position celle du mathématicien qui prend les choses comme elles sont sans chercher à comprendre pourquoi. Les choses sont ainsi avec les limites et les ouvertures qu'un concept peut apporter. Une sorte de fatalisme mathématique, et elle est tout aussi valable que la votre. Ceux qui n'ont pas la même position que vous n'en sont pas plus de mauvais mathématiciens. Ce qui n'empêche pas de s'y intéresser mais si c'est resté de la "philosophie", ca ne change pas leur position, et n'amène pas à prolonger la discussion sur le sujet, tout simplement.

Je suis completement d'accord : d'ailleurs mon maitre de these est de ce genre de mathematiciens qui produit des theoremes sans se poser de questions sur les notions qu'il manipule. Je trouve cela tres respectable, car en effet chaque chercheur apporte sa contribution aux mathematiques a sa maniere, il y a ceux qui ont besoin de motivations sur les concepts pour prendre plaisir les manipuler (j'en fait partie), mais les autres sont bien entendus respectables. C'est pour cela que j'ai dit et redit qu'il n'y avait pas de mepris dans mes paroles. Elles ont ete mal interpretees.

[AncMath]

ce serait tout de même faire preuve de bien peu de curiosité. Non, je pense que quand on travaille longuement sur un domaine de la pensée - mathématique ou autre - on finit par s'intéresser à l'origine des concepts qu'on manipule. Et pour moi le questionnement de Syborgg est valide, même s'il semble ne pas entendre les suggestions qui lui sont faites. S'il ne trouve pas de réponse satisfaisante c'est sans-doute que personne ici ne connaît bien l'histoire des mathématiques.

Il y a aussi une position intermédiaire et que je crois etre celle de la majorité des mathématiciens, qui est celle de... l'expérience tout simplement.

Beaucoup de mathématiciens ont une experience assez importante dans le sujet qu'ils manipulent et savent donc pourquoi telle ou telle hypothese est importante et cruciale dans telle ou telle famille de théorème et quel résultat on est en droit d'esperer ou au contraire qui a peu de chance d'etre vrai sans telle ou telle hypothese.

Personnellement, je suis géomètre algébriste, et je sais pourquoi la compacité (plus à dire la dessus plus bas) est importante au niveau des phénomènes de géométrie algébrique, elle implique des résultats de finitudes grosso modo et donc donne lieu a des théorèmes qui permettent de comparer ou d'étudier ces quantités finies.

Et il me semble que c'est bien ça l'essence de la compacité en tout cas dans le domaine où je m'en sers. C'est d'autant plus interessant qu'en géométrie algébrique ca n'est justement pas la compacité qui "joue le role de la compacité". La définition de compacité donnée par la propriété de Borel-Lebesgue en géométrie algébrique n'est pas la bonne (on l'appelle la quasi-compacité) car beaucoup trop d'espaces sont compacts et ne donnent pas les résultats qu'on est en droit d'attendre sur les espaces compacts.

Du coup on la remplace par la notion de propreté (c'est une notion relative donc cela vaut plutôt pour "à fibres compactes", évidement etre compact c'est etre à fibre compact au dessus du point) , qui est le "bon" analogue de la notion de compacité, parce que justement les théorèmes qu'on est en droit d'attendre pour des espaces compacts sont vrais pour des espaces propres (au dessus du point, et souvent une version relative est vraie pour les morphismes propres).

Mais ca ne dit pas pourquoi la notion de compacité est importante en analyse fonctionnelle par exemple.

Par contre pourquoi la définition à base de recouvrement est "meilleure" que celle à base de sous suite, là aussi c'est une question d'experience et d'habitude, quand j'utilise la compacité dans une preuve 95% du temps, la première définition donne une preuve bien plus naturelle. Donc par experience je sais que c'est celle là, que je vais utiliser. J'imagine que c'est un peu aussi cette demarche qui a abouti à la cristallisation des notions.

Les categories etaient utilisees avant lui depuis les annees 40 en topologie algebrique essentiellement, mais lui les a utilise a sa maniere, en en faisant la base de sa pensee mathematique au lieu d'un "simple" outil au service de causes plus "nobles" comme cela se pratiquait avant lui. C'est tout a fait surprenant de voir ce qu'il en a fait, en partant d'idees si generales qu'a priori ca n'aurait pas du aboutir a des resultats significatifs. Cartier le dit lui meme : "Grothendieck a utilise des methodes tellement generales et en apparence simplistes qu'elles n'auraient pas du aboutir... et pourtant...".

C'est quand meme exactement ce qu'a fait Grothendieck. Grothendieck n'a pas du tout brassé des généralités pour brasser des généralités, il avait à chaque fois une vision assez précise de ce qu'il voulait faire et motivé par un vrai problème, et effectivement il a souvent construit ses théories dans le cadre le plus large qui permettait de faire les choses. Parfois c'était le bon, parfois non.
Les topos ont été introduits en tout premier lieu pour parler de cohomologie étale. Et effectivement la versatilité de la notion a montré que c'était un bon outil pour parler d'autres choses (parfois proches comme la cohomologie cristalline par exemple, où le recours aux topos est plus primordial). Mais Grothendieck avait un but tres precis en tête (en l'occurence prouver les conjectures de Weil). La notion de topos ne lui est pas apparue de considérations générales sur les catgéories, mais bien parce qu'il sentait que c'est ce qu'il fallait pour pouvoir construire la cohomologie ell-adique, et s'il voulait faire ça, c'est parce que Serre et lui (et d'autres, mais surtout Serre et lui) savaient que c'etait ce qu'il fallait pour prouver les conjectures de Weil.

[syborgg]

Anc Maths : sur Grothendieck, une des choses qui me surprennent le plus c'est son idee de considerer des faisceaux d'ensembles. Tu me diras si je me trompes, mais avant lui ca ne serait venu a l'idee de personne (meme Serre) de considerer de tels faisceaux, simplement car ca donne l'impression de ne manipuler aucune "structure", donc sans interet a priori... Et aussi l'idee paralllele de "categoriser" la notion de faiscaux (Serre y avait il aussi pense ?).
Bien entendu que toutes ses idee viennent de reflexions sur des cas "concrets" (les conjectures de Weil entre autre), mais ce qu'il en a fait est tout a fait surprenant dans le contexte de son epoque. Encore une fois comme dit Cartier il a employe des methodes qui n'auraient pas du aboutir. D'ailleurs durant les premiers temps de ses exposes en seminaire de ses travaux en geom algebrique (fin annees 50), son auditoire etait assez sceptique sur ce qui allit en sortir au final... Un autre exemple un peu moins spectaculaire est celui de la notion de schema : elle n'est pas a proprement parler de Grothendieck (c'etait "dans l'air du temps" chez Serre et d'autres un peu auparavant), mais sa contribution a ete de reconnaitre qu'il n'etait pas necessaire de mettre des hypotheses sur l'anneau (comme d'autres pensaient).
Pour en revenir a la notion de compacite, peut tu donner des exemples d'utilisation de la notion de "propre" qui permette de se ramener a un nombre fini de cas comme tu indiquais ?

[AncMath]

Anc Maths : sur Grothendieck, une des choses qui me surprennent le plus c'est son idee de considerer des faisceaux d'ensembles. Tu me diras si je me trompes, mais avant lui ca ne serait venu a l'idee de personne (meme Serre) de considerer de tels faisceaux, simplement car ca donne l'impression de ne manipuler aucune "structure", donc sans interet a priori... Et aussi l'idee paralllele de "categoriser" la notion de faiscaux (Serre y avait il aussi pense ?).

Je ne suis pas historien des maths donc il est possible que je me plante sur certains trucs.
Je ne pense pas que ca ne serrait venu à l'idée de personne. En fait ce qui était extremement naturel c'était de considerer des pre-faisceaux d'ensembles sur des catgéories. Et ça tout le monde savait que c’était une excellente chose à regarder pour des raisons triviales (Yoneda par exemple).
L'idée qu'a eu Grothendieck ca a été de comprendre en effet qu'on pouvait considerer des faisceaux sur une catégorie (j'imagine que c'est ce que tu veux dire par "catégoriser la notion de faisceau), et pas seulement des pre-faisceaux. Techniquement c'était tres simple à faire, et en fait on le faisait deja sans le dire (par exemple Serre avait étudié la catgéorie des fibrés qu'il appelait localement isotriviaux sur une variété algébrique qui en fait était simplement des fibrés pour la topologie étale). Par ailleurs le tohoku de Gorthendieck avait deja posé les bases de cette vision, et je pense meme qu'elle était assez partagée par les gens "dans le coup", Cartan, Serre etc....
Mais je pense pas en effet que quiconque pensait que c'était qqch de fondamentalement nouveaux. C'était une jolie manière de prouver par exemple la suite spectrale de Leray en cohomologie mais pas qqch de revolutionnaire non plus.

Honnêtement en tant que géomètre algébriste, je ne trouve pas la notion de topos primordiale, elle est un outil parmi d'autre. En un certain sens la notion de site me parait plus naturelle et elle, est indispensable et beaucoup plus utile dans la pratique de la géométrie algébrique.
Grothendieck pensait l'inverse, mais ce point de vue est assez minoritaire aujourd'hui. La notion de topos reste assez peu utile/pratique en tant que telle.

Bien entendu que toutes ses idee viennent de reflexions sur des cas "concrets" (les conjectures de Weil entre autre), mais ce qu'il en a fait est tout a fait surprenant dans le contexte de son epoque. Encore une fois comme dit Cartier il a employe des methodes qui n'auraient pas du aboutir. D'ailleurs durant les premiers temps de ses exposes en seminaire de ses travaux en geom algebrique (fin annees 50), son auditoire etait assez sceptique sur ce qui allit en sortir au final... Un autre exemple un peu moins spectaculaire est celui de la notion de schema : elle n'est pas a proprement parler de Grothendieck (c'etait "dans l'air du temps" chez Serre et d'autres un peu auparavant), mais sa contribution a ete de reconnaitre qu'il n'etait pas necessaire de mettre des hypotheses sur l'anneau (comme d'autres pensaient).

Je ne sais pas si c'est surprenant dans le contexte de l'époque. C'est sur que c'est lui qui a initié ce style, mais encore une fois je pense qu'il ne faut pas confondre la manière dont s'est cristallisé ces choses (les bouquins qui ont été écrits) et la façon dont les choses se sont mises en place. Quand on lit certains SGA (surtout le 4 et le 5) on a l'impression qu'effectivement on est parti de considération tres générales et puis pouf au final on a obtenu qqch de non trivial. En pratique je ne crois pas du tout que ce ce soit fait comme ca.
Grothendieck et son école réfléchissaient bcp sur des problèmes "concrets", justement en laissant le formalisme un peu mouvant jusqu'a que tout semble bien marcher et ensuite écrivait tout depuis le départ (lui ou souvent d'autres d'ailleurs), ce qui est assez symptomatique du style Bourbaki (et qui je trouve correspond assez bien à la pratique de la recherche en maths en general).

Par exemple, ce que voulait faire Grothendieck c'était prouver la formule des traces de Lefschetz en cohomologie étale. Lui, Deligne, Serre, Artin et d'autres savaient que c'était crucial. Il me parait clair (peut etre que je me trompes) qu'au moment de leurs recherches la dessus la notion de topologie de Grothendieck, de catégorie triangulée, de catégorie dérivée n'étaient écrites nulle part, ils sentaient grosso modo que c'étaient les outils dont ils avaient besoin et au fur et à mesure de la preuve et se sentaient tres confiants pour etre capable de mettre ça en forme apres coup (c'est assez rigolo de voir que ca a été la meme chose avec les motifs, ils utilisaient les propriétés de la catégorie des motifs (mixtes) en se doutant de ce à quoi elle devait ressembler tres tres tot, et au final n'ont pas pu la construire, à ce jour on ne sait toujours pas la co
nstruire).
Ce qu'ils ont fait apres coup. Mais c'est vraiment une démarche de ce style qu'ils ont implémenté.

Il est vrai qu'ensuite Grothendieck a vu un énorme potentiel dans les outils qu'il a crée, parfois à raison, parfois à tort.

Apres ce genre d'approche parait tellement "usuel" aujourd'hui qu'il est sans doute difficile d'imaginer à quel point c'était novateur peut etre, je ne sais pas. On a bcp l'habitude aujourd'hui de produire des "grosses théories" pour en accoucher des résultats.

Bon, désolé pour ce long HS.

Pour en revenir a la notion de compacite, peut tu donner des exemples d'utilisation de la notion de "propre" qui permette de se ramener a un nombre fini de cas comme tu indiquais ?

En fait, ce que je voulais dire, et c'est d'ailleurs une idée assez prevalente un peu partout en géoémtrie. Les objets compacts ont des invariants cohomologiques finis. Et beaucoup de théoremes de géométrie sont des comparaisons ou des estimations d'invariants cohomologiques.

A un niveau tres basique ca se traduit par le théorème de finitude : les images directes dérivée droite d'un faisceau cohérent par un morphisme propre est un faisceau cohérent. C'est faux en general. Et cela implique tout les phénoèmes de finitude en cohomologie des faisceau cohérents qui étaient connus à l'epoque et qui étaient fondamentaux (par exemple pour LE theoreme de géométrie algébrique sans doute le plus fondamental, le théorème de Riemann-Roch).
C'etait deja le cas aussi pour la cohomologie ordinaire, il était facile de prouver que la cohomologie d'un CW-complexe compact était un groupe de type fini. C'est un résultat fondamental.
Bien sur il y a aucun espoir d'avoir un tel résultat en général.

La situation s'est encore accentuée (si je puis dire) avec les motifs de Hodge, ou véritablement les variétés propres et lisses permettent de comprendre les autres. En tant que géomètre, mon idée heuristique c'est que les objets propres et lisses sont les plus simples, et que les autres se comprennent à partir de ceux ci.

Finalement on peut faire remonter tout ca à la constatation que sur un espace compact, l'intégrale d'une fonction est finie.

Il est aussi important de noter que c'est ce genre de résultat qui nous fait discriminer qui sont les "bons espaces compacts" de ce qui ne le sont pas.
Si on s'en tient à la définition avec les recouvrements, alors ces résultats sont faux pour les variétés algébriques quasi-compactes. C'est bien pour avoir ces résultats qu'on remplace la notion de compact par la notion de propre et qu'on y pense exactement comme a la notion de compact.

J'imagine que la raison pour laquelle un analyste va s’intéresser à la compacité sera toute autre en general.

[minushabens]

J'imagine que la raison pour laquelle un analyste va s’intéresser à la compacité sera toute autre en general.

mais sans-doute aussi liée au fait que l'intégrale d'une fonction y est finie.

en probabilités on aime bien les espaces dits "sigma-compacts" i.e. réunion dénombrable de compacts. On peut y définir des processus ponctuels par exemple. C'est parce qu'une partie discrète (i.e. sans points d'accumulation) d'un compact est nécessairement finie (la contraposée de la caractérisation des compact par les suites).

[AncMath]

Anc Maths : sur Grothendieck, une des choses qui me surprennent le plus c'est son idee de considerer des faisceaux d'ensembles. Tu me diras si je me trompes, mais avant lui ca ne serait venu a l'idee de personne (meme Serre) de considerer de tels faisceaux, simplement car ca donne l'impression de ne manipuler aucune "structure", donc sans interet a priori...

Je reviens aussi la dessus, meme si c'est un peu HS (peut etre ouvrir un autre sujet?).
Justement de manipuler des faisceaux d'ensembles, et pas simplement des ensembles, c'est manipuler une structure tres riche. Et tout structure, aussi compliquée soit elle peut se comprendre comme un faisceau d'ensemble et encore plus trivialement comme un pre-faisceau d'ensembles. C'est ce que je disais plus haut avec mon laconique

c’était une excellente chose à regarder pour des raisons triviales (Yoneda par exemple)

mais c'est vraiment fondamental. Si tu as X un objet d'une catégorie C tu peux toujours le voir comme le pre-faisceau h_X (ou Hom(.,X)) sur C, et cela te donne une équivalence de C sur une sous catégorie de la catégorie des pre-faisceau ensembliste sur C. Ce point de vue est absolument omni-present partout, et je pense qu'il était deja tres clair pour tout le monde du temps de Grothendieck (mais je peux me tromper).

Apres il est à noter aussi que toutes les topologies de Grothendieck ne sont pas sous-canoniques (c'est à a dire que les pre-faisceau representables h_X sont des faisceaux pour les topologies en question), même si la plupart le sont (étale, plate, fppf, Nisnevich, ...). Un exemple notable de topologie non sous-canonique est la topologie cdh (qui est grosso modo la topologie dont les recouvrement sont les éclatements) et qui est tres utile dans le monde motivique.

[syborgg]

AncMath : oui certes aujourd'hui c'est clair que la structure de faisceau d'ensembles est tres riche, mais a l'epoque de la fin des annees 50 tu penses vraiment que c'etait clair pour tout le monde ?... jusque la ont manipulait des faisceaux de groupe, d'anneaux qui venaient naturellement de l'etude des varietes topologiques, et je ne suis pas certain que les mathematiciens "dans le coup" de l'epoque etaient convaincus de l'utilite de considerer des faisceaux d'ensembles (mais je peux me tromper bien sur). Certes Yoneda manipulait des pre faisceaux d'ensembles dans le cadre des categories des le milieu des annees 50, mais j'ai l'impression qu'encore a cette epoque la theorie categories etait mal considerees par les mathematiciens "main stream", et que des gens comme Yoneda etaient peu representatifs de la recherche de leur epoque, et peu nombreux... par la suite ca a change heureusement, en partie grace a Grothendieck justement.
Un autre aspect de Grothendieck, qui a mes yeux me fait penser a une sorte "d'extraterrestre" dans son contexte, c'est que tous les matheux de Bourbaki venaient de normale sup, de "l'elite" des maths de leur epoque. Dans ce milieu, seul Grothendieck ne venait "de nul part", d'une minable licence d'une mediocre universite de province perdue dans le maquis.
Au fait as tu lu Recoltes et semailles ?

[syborgg]

En fait, ce que je voulais dire, et c'est d'ailleurs une idée assez prevalente un peu partout en géoémtrie. Les objets compacts ont des invariants cohomologiques finis. Et beaucoup de théoremes de géométrie sont des comparaisons ou des estimations d'invariants cohomologiques.

A un niveau tres basique ca se traduit par le théorème de finitude : les images directes dérivée droite d'un faisceau cohérent par un morphisme propre est un faisceau cohérent. C'est faux en general. Et cela implique tout les phénoèmes de finitude en cohomologie des faisceau cohérents qui étaient connus à l'epoque et qui étaient fondamentaux (par exemple pour LE theoreme de géométrie algébrique sans doute le plus fondamental, le théorème de Riemann-Roch).
C'etait deja le cas aussi pour la cohomologie ordinaire, il était facile de prouver que la cohomologie d'un CW-complexe compact était un groupe de type fini. C'est un résultat fondamental.
Bien sur il y a aucun espoir d'avoir un tel résultat en général.

La situation s'est encore accentuée (si je puis dire) avec les motifs de Hodge, ou véritablement les variétés propres et lisses permettent de comprendre les autres. En tant que géomètre, mon idée heuristique c'est que les objets propres et lisses sont les plus simples, et que les autres se comprennent à partir de ceux ci.

Finalement on peut faire remonter tout ca à la constatation que sur un espace compact, l'intégrale d'une fonction est finie.

Il est aussi important de noter que c'est ce genre de résultat qui nous fait discriminer qui sont les "bons espaces compacts" de ce qui ne le sont pas.
Si on s'en tient à la définition avec les recouvrements, alors ces résultats sont faux pour les variétés algébriques quasi-compactes. C'est bien pour avoir ces résultats qu'on remplace la notion de compact par la notion de propre et qu'on y pense exactement comme a la notion de compact.

J'imagine que la raison pour laquelle un analyste va s’intéresser à la compacité sera toute autre en general.

Tu veux dire invariants cohomologiques finis ou finiment engendres ? oups pardon je viens d'avoir la reponse en te relisant mieux !

[syborgg]

Bon en tout cas on avance sur les raisons fondamentales pour lesquelles la notion de compact est si importante. Quand tu dis que ces raisons remontent finalement au fait que sur un espace compact l'integrale d'une fonction est finie, comment tu fait le lien avec les objets de la geom algebrique ?

[minushabens]

(...) une mediocre universite de province perdue dans le maquis.

celle où j'ai étudié. D'ailleurs AG y a fini sa carrière et j'ai un peu suivi ses cours (qui n'étaient pas vraiment des cours).

[syborgg]

celle où j'ai étudié. D'ailleurs AG y a fini sa carrière et j'ai un peu suivi ses cours (qui n'étaient pas vraiment des cours).

Je parlais de la reputation de Montpellier a l'epoque dans les annees 50
Comment c'etait ses cours ? il etait accessible par les etudiants ? sympathique ? chaleureux ?

[minushabens]

La réputation de Montpellier n'est pas meilleure aujourd'hui, mais ça fait rien c'est quand-même vexant.

sinon, oui il était sympathique, probablement pas très intéressé par ce qu'il faisait là, mais on peut le comprendre.

[syborgg]

minushabens, tu est analyste ?

[AncMath]

AncMath : oui certes aujourd'hui c'est clair que la structure de faisceau d'ensembles est tres riche, mais a l'epoque de la fin des annees 50 tu penses vraiment que c'etait clair pour tout le monde ?... jusque la ont manipulait des faisceaux de groupe, d'anneaux qui venaient naturellement de l'etude des varietes topologiques, et je ne suis pas certain que les mathematiciens "dans le coup" de l'epoque etaient convaincus de l'utilite de considerer des faisceaux d'ensembles (mais je peux me tromper bien sur). Certes Yoneda manipulait des pre faisceaux d'ensembles dans le cadre des categories des le milieu des annees 50, mais j'ai l'impression qu'encore a cette epoque la theorie categories etait mal considerees par les mathematiciens "main stream", et que des gens comme Yoneda etaient peu representatifs de la recherche de leur epoque, et peu nombreux... par la suite ca a change heureusement, en partie grace a Grothendieck justement.
Un autre aspect de Grothendieck, qui a mes yeux me fait penser a une sorte "d'extraterrestre" dans son contexte, c'est que tous les matheux de Bourbaki venaient de normale sup, de "l'elite" des maths de leur epoque. Dans ce milieu, seul Grothendieck ne venait "de nul part", d'une minable licence d'une mediocre universite de province perdue dans le maquis.
Au fait as tu lu Recoltes et semailles ?

Ce ne sont pas des questions ininteressantes, mais je pense qu'elles sont un peu HS.
On peut en parler dans un autre fil ou par MP, si tu préferes.

[AncMath]

Bon en tout cas on avance sur les raisons fondamentales pour lesquelles la notion de compact est si importante. Quand tu dis que ces raisons remontent finalement au fait que sur un espace compact l'integrale d'une fonction est finie, comment tu fait le lien avec les objets de la geom algebrique ?

Ben les objets de base de la geometrie algébrique ce sont quand meme les variétés algébriques sur C. C'en sont les objets les plus fondamentaux et également les objets sur lesquels sont modelés tous les autres. Bien sur parfois il se passe des phénomènes foncièrement differents, qui sont d'un grand interet mais la base est quasiment toujours là.

Et la cohomologie des variétés sur C est essentiellement calculée par l'intégration (bien sur y a des grains de détails techniques). L'étude des formes differentielles sunr une variété, et de tout ce qui est relié à ça (cohomologie, théorie de Hodge, théorie de Hodge mixte etc...) sont fondamentalement reliés à ca.
Meme la notion de cohomoloigie et de jacobienne a été "intuitée" pour des raisons de calculs intégral.
Apres la raison fondamentale "technique" du fait que la cohomologie d'une variété compacte est de type finie vient du fait que celle d'un CW-complexe compact est de type finie, et en soit, c'est vrai que c'est un théorème qui ne fait nullement appel à la théorie de l'intégration, c'est purement homotopique et topologique. Et bien sur une grosse partie du "jeu" de la géométrie algébrique est de tenter de se passer des méthodes transcendantes pour justement donner des résultats vrais pour tout corps.

En fait c'est vrai que "une fonction continue à une intégrale finie sur une variété compacte" n'est pas nécessairement le résultat "primitif" à la base du reste. Finalement la compacité implique des invariants cohomologies "finis". C'est ptetr ça le resultat le plus primitf et heuristique en géométrie (algébrique).

En fait et d'un point de vue un peu moins élémentaires (mais qui redonne celui vu plus haut), mon intuition est plus raffiné que ca. En general les morphismes propres permettent de "pousser en avant" les objets homologiques et les morphismes lisses (souvent relativement facilement) ou d'intersection complète locale (souvent relativement difficilement) permettent de tirer en arrière les objets homologiques. Et bien sur la situation inverse en considérant des objets cohomologiques. C'est une "couche" supplémentaire à l'intuition de compacité, qui n'a pas grand rapport finalement avec la définition originale, mais c'est une intuition tres importante (à mon avis) et à la source de tres nombreuses constructions et résultats.
D'ailleurs le meme genre d'idées existe en topologie algébrique.

Une des cristallisations de ces idées est bien sur le so-called formalisme des 6 opérations. Mais à mon avis, c'est une intuition bien plus large que simplement ce contexte là.

[AncMath]

Par ailleurs le tohoku de Gorthendieck avait deja posé les bases de cette vision, et je pense meme qu'elle était assez partagée par les gens "dans le coup", Cartan, Serre etc....
Mais je pense pas en effet que quiconque pensait que c'était qqch de fondamentalement nouveaux. C'était une jolie manière de prouver par exemple la suite spectrale de Leray en cohomologie mais pas qqch de revolutionnaire non plus.

Tiens c'est rigolo, je suis tombé totalement par hasard hier sur cette vidéo
https://youtu.be/pOv-ygSynRI?t=396
Et ca recoupe bien ce que je pensais, dit dans le style inimitable de Serre : "Je considérais ça comme plus ou moins évident (...) pour moi y avait rien d'original dedans."

[syborgg]

Tiens c'est rigolo, je suis tombé totalement par hasard hier sur cette vidéo
https://youtu.be/pOv-ygSynRI?t=396
Et ca recoupe bien ce que je pensais, dit dans le style inimitable de Serre : "Je considérais ça comme plus ou moins évident (...) pour moi y avait rien d'original dedans."

Tres interessant, je suis friand de ce genre de temoignages ! celui la je ne le connaissais pas merci !
en effet Serre exagere peu etre un peu, mais bon en meme temps c'est un type tres modeste et sincere, donc je ne pense pas qu'il dise ca pour faire le malin..
J'avais demande un jour a Serre ce qu'il pensait de cohomologie appliquee aux groupes finis. Il m'a repondu que selon lui les methodes cohomologiques n'ont rien apporte aux groupes finis, et qu'il y beaucoup plus d'applications interessantes aux groupes discrets infinis, par exemple les groupes arithmetiques.

Au passage Connes est un des fervents admirateurs de Grothendieck (contrairement a Serre paradoxalement), qui milite ces dernieres annees en faveur a la rehabilitation de la theorie des topos. Apparemmemnt certains pensent (si j'ai bien compris tu en fait partie) que l'interet des topos a ete largement sur evaluee.

[minushabens]

Très intéressante cette video. J'ai été impressionné par le fait que Serre avoue ne pas comprendre les topos (évidemment c'est parce qu'il ne s'y intéresse pas). Quand je ne comprends pas une notion mathématique je me dis que je manque de ténacité mais maintenant je me sentirai moins seul

Un peu plus loin dans la discussion les deux mathématiciens tombent d'accord sur le fait que la géométrie projective est la "bonne" géométrie et Serre parle du "charme des trucs compacts" (vers 28 minutes). Ca répond peut-être en partie à l'interrogation de syborgg (enfin si tant est que trouver du charme à une propriété soit une raison valable pour la considérer).

[AncMath]

Au passage Connes est un des fervents admirateurs de Grothendieck (contrairement a Serre paradoxalement), qui milite ces dernieres annees en faveur a la rehabilitation de la theorie des topos. Apparemmemnt certains pensent (si j'ai bien compris tu en fait partie) que l'interet des topos a ete largement sur evaluee.

Je crois que la théorie des topos est tres utilisée par les logiciens, en tout cas c'est les gens que j'entend le plus en parler et ils y trouvent certainement un grand interet.
Je ne sais pas ce que tu appelles "réhabiliter la théorie des topos".

La notion de topos est une notion intéressante en particulier c'est un large cadre dans lequel on peut placer de l'intuition topologique et cohomologique. Elle permet sans doute de faire 1000 choses que j'ignore.

En géométrie algébrique, en géométrie arithmétique ca n'est pas, à mon avis, une notion cruciale. La notion de site (qui est quand meme tres cousine de celle de topos) est par contre souvent présente. Mais là aussi, elle intervient "quand il le faut". On a besoin de la notion de site pour pouvoir étudier certains phénomènes. La notion de topos en tant que telle beaucoup moins (meme si tout site définit un topos). La notion de champ (algébrique) par exemple est beaucoup plus cruciale.

Mais ce sur quoi je me permet d'insister c'est que la géométrie algébrique n'est pas du tout l'étude des "sites" en général, et encore moins des "topos" en général (et Grothendieck ne pensait pas du tout ça). Pas plus que la topologie algébrique n'est l'étude des espaces topologiques en général (mais on a certainement besoin de la notion d'espace topologique pour faire de la topologie algébrique), ou l'analyse fonctionnelle n'est l'étude des espaces vectoriels en général (mais on a certainement besoin de la notion d'espace vectoriel pour faire de l'analyse fonctionnelle).

Les idées qui ont fait avancer notablement la géométrie algébrique ces 50 dernières années ne sont quasiment jamais relié au point de vue "topossique".

Quel est la place et l'importance que la notion de topos revêtira dans le futur, pour l'instant c'est dur à dire. Mais d'un point de vue actuel de la géométrie algébrique, il ne semble pas que ce sera une notion si centrale que ca. Les idées viennent d'ailleurs (algèbre homotopique ...).

Je crois que Grothendieck pensait que la notion de topos était la notion naturelle pour faire de la topologie et de la géométrie, en lieu et place d'espace topologique et que cette dernière allait être mise au placard et remplacée par la première.
Plus précisément si l'on adopte l'idée que la géométrie/topologie étudie des espaces topologiques de plus en plus structurés celles-ci seraient devenues l'étude de topos de plus en plus structurés, un peu comme ce qu'il s'est plus ou moins passé pour les schémas et les variétés algébriques, ces dernieres sont des cas particuliers des premiers et bien sur que tous les schémas ne sont pas intéressants d'un point de vue géométrique, en fait la classe de schéma à laquelle on s'interesse vraiment est finalement pas tellement plus grande que les anciennes variétés algébriques mais même pour parler des variétés algébriques, il est fructueux de le faire du point de vue schématique.
Je pense que Grothendieck pensait que c'était ce qui allait se passer pour toute la géométrie et la topologie pour les topos.
Et ca ne s'est pas du tout passé comme ca, pour le dyptique topos/espace topolgique.

Ca n'enelve pas le fait que dans certains cas, certains topos naturels sont bien évidement d’intérêts.

Très intéressante cette video. J'ai été impressionné par le fait que Serre avoue ne pas comprendre les topos (évidemment c'est parce qu'il ne s'y intéresse pas). Quand je ne comprends pas une notion mathématique je me dis que je manque de ténacité mais maintenant je me sentirai moins seul

Je ne suis pas sur que quand Serre dit qu'il ne comprend pas qqch, ca veuille dire la meme chose que quand toi ou moi disons qu'on ne comprend pas qqch.

Un peu plus loin dans la discussion les deux mathématiciens tombent d'accord sur le fait que la géométrie projective est la "bonne" géométrie et Serre parle du "charme des trucs compacts" (vers 28 minutes).

D'un point de vue géométrique, homotopique ou topologique c'est assez clair notamment pour les raisons que j'ai évoquées plus haut.
Mais ils opposent ici le cadre projectif au cadre affine, et il est clair que les objets affine sont "trop simples", surtout d'un point de cohomologique (cf le critère de Serre pour les faisceaux quasi-cohérents par exemple).

[AncMath]

Pour continuer le HS, c'est vrai qu'elle est tres interessante cette video de Serre et Connes. Je l'avais juste écouté en fond, sans trop trop preter attention parce que je travaillais en parallèle et j'avais tiqué sur la remarque sur le Tohoku.
Du coup je suis en train de la ré-écouter et je me retrouve bcp dans le point de vue de Serre (notamment ce qu'il dit sur le programme de Langlands par exemple).
Ce que je trouve tres drole et fascinant in fine, en maths et spécialement en géométrie arithmétique, que les deux approches (tres malignes et presque "élémentaires" vs tres conceptuelle et abstraite) coexistent et permettent les deux de faire des choses non triviales.
On a pas besoin d'etre Grothendieck. Il suffit d'etre Langlands

[azizovsky]

Je crois que la théorie des topos est tres utilisée par les logiciens, en tout cas c'est les gens que j'entend le plus en parler et ils y trouvent certainement un grand interet.

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https://youtu.be/RcpZm7-S4gI?t=5461, qu'advient la notion de compacité dans les topos (question philo)?