Compacite : notion magique ?

[syborgg]

Salut,

derriere ce titre un peu provocateur se cache les suivantes preocupations :
la compacite m'a toujours semble une notion mysterieuse, pour plusieurs raisons :

- A l'epoque (je crois vers la premiere moitiee du 20eme siecle) ou l'equivalence entre "toute suite a une sous suite convergente" et la ppte du sous recouvrement fini a ete decouverte (par Heine si je me souviens bien) , quelles furent les motivations pour faire intervenir cette etrange ppte du sous recouvrement fini ?... evidemment aujourd'hui elle ne nous semble pas etrange car elle fait partie du decor, mais a cette epoque ???....

- un autre mystere pour moi est que la compacite sous la forme de la ppte du sous recouvrement fini se marie si bien avec la notion de groupe sous la forme de la theorie des groupes compacts... ca ressemble a un miracle que deux notions si "simples" (en fait trois avec la separabilite qui est essentielle) , quand on les met ensemble, permettent de deduire de si belles et importantes proprietes, en si grand nombre (il n'y a qu'a voir le nombre de pages d'une monographie, meme non exhaustive, sur les groupes compacts !)...

- Meme en ne restant que sur des aspects purement topologiques, il est remarquable que 2 topologies compact + Hausdorff sur un meme ensemble ne soient pas comparables (l'une ne peut pas etre plus fine que l'autre). Ca m'a toujours fait penser : que peut on dire de l'ensemble des topologies compact Hausdorff sur un ensemble donne ? on sait par exemple qu'un ensemble (en particulier un groupe) fini n'a qu'une topologie compact Hausdorff, alors peut on dire quelque chose d'interessant sur l'ensemble des topologies compact Hausdorff d'un groupe compact donne ?..

- et que dire de l'importance absolument cruciale de la notion de compacite dans le domaine des varietes de toutes sortes (surfaces de Riemann compactes, classification des surfaces topologiques compactes connexes, etc..) !!

Pourquoi a votre avis cette propriete de sous recouvrement fini permet elle de deduire tant de choses fondamentales dans des domaines differents ?
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[Médiat]

Bonjour,

Et vous pouvez ajouter à cela, le théorème de compacité en logique, qui se démontre par des arguments purement topologiques (d'où le nom de ce théorème)

[syborgg]

Bonjour,

Et vous pouvez ajouter à cela, le théorème de compacité en logique, qui se démontre par des arguments purement topologiques (d'où le nom de ce théorème)

Oui, mais ce theoreme peut se prouver d'au moins 4 ou 5 facons differentes. La preuve utilisant la notion de compacite n'est qu'une de ces preuves, par consequent dans ce cas la notion de compacite topologique n'est pas vraiment essentielle, meme si le theroreme en lui meme est absolument crucial : on se pourrait rien faire en Theorie des modeles sans lui.

[minushabens]

- A l'epoque (je crois vers la premiere moitiee du 20eme siecle) ou l'equivalence entre "toute suite a une sous suite convergente" et la ppte du sous recouvrement fini a ete decouverte (par Heine si je me souviens bien) , quelles furent les motivations pour faire intervenir cette etrange ppte du sous recouvrement fini ?... evidemment aujourd'hui elle ne nous semble pas etrange car elle fait partie du decor, mais a cette epoque ???....

je ne connais pas bien l'histoire de la topologie donc je peux me tromper mais je pense qu'il ne faut pas perdre de vue le fait que les concepts de la topologie générale sont apparus d'abord dans l'étude de R, C et les espaces euclidiens, donc des espaces métriques. Quand les mathématiciens se sont intéressé aux espaces topologiques non nécessairement métrisables, ils ont dû transcrire les définitions en termes purement topologiques, et ça a peut-être été la démarche de Heine (on cite aussi Borel et Lebesgue pour cette définition).

mais je suis d'accord avec l'idée que la compacité est une notion moins intuitive qu'il n'y paraît, surtout lorsqu'on pense espaces euclidiens. Par exemple le théorème de Tychonov est reçu par la plupart des étudiants comme un choc : comment une propriété qui dit qu'un ensemble est "petit" peut-elle se maintenir quand on prend un produit quelconque de tels ensembles?

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Mediat :

Par contre il y a des resultats surprenants faisant intervenir l'action d'un certain groupe compact (pas necesairement Hausdorff dans ce cas la) sur les hyperimaginaires bornes d'une theorie complete (quelconque) du premier ordre. Ce groupe compact "surgit" d'une maniere tout a fait surprenante dans un contexte d'une telle generalite. Si on prend l'exemple de la theorie des corps algebriquement clos de char 0, ce groupe compact est isomorphe au groupe de Galois absolu de Q.

Encore un exemple du surgissement de la notion de compact la ou on ne l'attendait pas a priori....

[syborgg]

je ne connais pas bien l'histoire de la topologie donc je peux me tromper mais je pense qu'il ne faut pas perdre de vue le fait que les concepts de la topologie générale sont apparus d'abord dans l'étude de R, C et les espaces euclidiens, donc des espaces métriques. Quand les mathématiciens se sont intéressé aux espaces topologiques non nécessairement métrisables, ils ont dû transcrire les définitions en termes purement topologiques, et ça a peut-être été la démarche de Heine (on cite aussi Borel et Lebesgue pour cette définition).

mais je suis d'accord avec l'idée que la compacité est une notion moins intuitive qu'il n'y paraît, surtout lorsqu'on pense espaces euclidiens. Par exemple le théorème de Tychonov est reçu par la plupart des étudiants comme un choc : comment une propriété qui dit qu'un ensemble est "petit" peut-elle se maintenir quand on prend un produit quelconque de tels ensembles?

Je viens de jeter un oeil sut Heine : il est mort en 1881, a cette epoque il n'etait surement pas question d'espaces topologiques non metrisables. Il a donc du trouver cette equivalence a l'origine de la notion moderne de la compacite a partir de proprietes des reels. Mais la question reste ouverte : ou diable est il alle cherche cette curieuse propriete de ss recouvrement fini ??...
Ici une perspective historique serait interessante : quelqu'un d'entre vous connait il bien l'histoire des maths de la 2eme moitie du 19eme ?

[syborgg]

Ce n'est peut etre pas le bon forum pour discuter de ce genre de choses : connaissez vous un forum frequente principalement par des chercheurs en maths ?

[Merlin95]

Il y a de bons contributeurs sur http://les-mathematiques.net/phorum/ sur ce genre de questions plutôt "épistémologiques" (il y a aussi une section "épistémologie"sur FSG, ton post y aurait plus sa place je pense) que mathématiques.

[syborgg]

Ok merci j'irai voir par la bas...
Mais je suis tres surpris que ce genre de question n'interesse pas des mathematiciens experimentes... Un mathematicien n'est il qu'une machine a produire des theoremes a la chaine sans jamais se poser de questions sur les notions qu'il manipule ?... Pour moi non, mais peut etre pour d'autres si.

[Médiat]

Un mathematicien n'est il qu'une machine a produire des theoremes a la chaine sans jamais se poser de questions sur les notions qu'il manipule ?

Quel mépris ! Qu'est-ce qui vous y autorise ???? Et cela juste parce que votre question ne semble pas intéresser tout le monde ! Quelle arrogance !

[syborgg]

C'est juste une question que je me pose, il n'y a aucun mepris.

[minushabens]

peut-être que la question ne trouve pas de réponse parce que personne ne sait: en gros tu demandes ce qui a mené Heine à proposer cette définition. Ou bien Heine a laissé un écrit où il explique ses motivations et peut-être que quelqu'un ici en a eu connaissance, ou bien - ce qui me paraît le plus probable- il ne l'a pas fait et dans ce cas personne ne peut te répondre.

[syborgg]

Non, la question est beaucoup plus large, Heine n'a pas beaucoup d'importance dans cette histoire : la question est plutot quelle est la ou les raison(s) profonde de l'incroyable efficacite et ubiquite de la notion de compacite dans tant de domaines des maths modernes ?

[gg0]

Manifestement,

aucun mathématicien jusqu'ici n'a su répondre à cette question, sinon on enseignerait la compacité autrement. Et ce n'est pas la seule question de ce genre sur laquelle on n'a pas de réponse mathématique (sans parler de "l'incroyable efficacité concrète des mathématiques"). Donc il ne te reste qu'à aller discuter de ça dans le forum "épistémologie"', puisque la question n'est pas mathématique; à moins que tu arrives à la traduire en termes purement mathématiques, je te souhaite bon courage pour le faire.

Cordialement.

[azizovsky]

tu rigole ou quoi..., comme je suis carreleur, je ne peu pas te dire sur le pourquoi de toutes les techniques que j'utilise, mais , il y'a toujours ceux qui ont posé la question ou ceux qui ils l'en inventé...., pour ta question une simple recherche de 5 min : https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7..._num_14_2_3934

[syborgg]

tu rigole ou quoi..., comme je suis carreleur, je ne peu pas te dire sur le pourquoi de toutes les techniques que j'utilise, mais , il y'a toujours ceux qui ont posé la question ou ceux qui ils l'en inventé...., pour ta question une simple recherche de 5 min : https://www.persee.fr/doc/rhs_0048-7..._num_14_2_3934

Ok merci pour ton lien que je vais lire avec interet. Mais je pensais plutot en posant ma question initier une discussion d'egal a egal entre mathematiciens interesses par ce sujet, pas forcement qu'on me donne une reponse comme a un etudiant. Cependant je te remercie quand meme bien entendu

[azizovsky]

discussion d'egal a egal entre mathematiciens

et carreleur ,non moi, j'ai le coupe carrelage,....

[syborgg]

Je viens de lire en diagonale le texte, c'est fort interessant pour comprendre l'evolution historique du concept de compacite, mais ca ne reponds pas vraiment a la question des raisons profondes (mathematiques) du succes de la compacite au travers des maths. Pour moi ca reste encore largement un mystere, un peu comme les raisons profondes du succes des categories utilisees par Grothendieck en geom algebrique (notamment les topos). Les categories etaient utilisees avant lui depuis les annees 40 en topologie algebrique essentiellement, mais lui les a utilise a sa maniere, en en faisant la base de sa pensee mathematique au lieu d'un "simple" outil au service de causes plus "nobles" comme cela se pratiquait avant lui. C'est tout a fait surprenant de voir ce qu'il en a fait, en partant d'idees si generales qu'a priori ca n'aurait pas du aboutir a des resultats significatifs. Cartier le dit lui meme : "Grothendieck a utilise des methodes tellement generales et en apparence simplistes qu'elles n'auraient pas du aboutir... et pourtant...".

[syborgg]

et carreleur ,non moi, j'ai le coupe carrelage,....

Que signifie ce sarcasme ?

[azizovsky]

rien avoir avec le sarcasme, seulement je m'attendait pas à un mathématicien .... et j'ai rappelé mon niveau ...(non ce n'est pas mon domaine...)

ps: ce n'est pas ma journée, ils m'ont déjà effacer des messages...

[syborgg]

rien avoir avec le sarcasme, seulement je m'attendait pas à un mathématicien .... et j'ai rappelé mon niveau ...(non ce n'est pas mon domaine...)

ps: ce n'est pas ma journée, ils m'ont déjà effacer des messages...

Ahh ok alors pardon, j'avais mal compris

[syborgg]

Une question (n'y voyez aucune malice ni mepris, c'est juste par curiosite) : gg0, Mediat, minushabens, etes vous (ou avez vous ete) chercheur, ou bien enseignant ?

[minushabens]

A mon humble avis ce qui fait l'intérêt des espaces compacts c'est qu'on peut y démontrer l'existence d'un élément ayant telle caractéristique (un extremum de telle fonction continue, la solution de telle équation...). Il y a de ce point de vue une analogie entre espaces compacts et ensembles finis. D'ailleurs on retrouve cette analogie en analyse fonctionnelle où un opérateur compact a des propriétés qui le rapprochent d'un opérateur en dimension finie.

Mais cela dit, je me demande si tu ne surestimes pas le rôle de la compacité dans les mathématiques. Il y a bien d'autres notions importantes, je ne suis pas certain que la compacité soit plus centrale que d'autres.

[gg0]

Pour ma part, je ne suis pas chercheur, ce qui ne m'empêche pas d'être assez au courant. J'ai bien deux publis, mais pas en maths (j'étais le référent mathématique). Cela dit, la plupart des chercheurs ont trop peu de temps pour aller sur des forums (non spécialisés).
Et toi, tu es chercheur ?
Je suis assez d'accord avec Minushabens, et même j'irais jusqu'à dire qu'on rencontre la compacité souvent parce qu'elle permet de trouver des résultats. C'est donc comme l'histoire de celuèib qui cherche ses clefs sous le lampadaire parce que là, il y a de la lumière. On a le même effet avec la linéarité, ou avec les notions de continuité.

Cordialement.

[syborgg]

A mon humble avis ce qui fait l'intérêt des espaces compacts c'est qu'on peut y démontrer l'existence d'un élément ayant telle caractéristique (un extremum de telle fonction continue, la solution de telle équation...). Il y a de ce point de vue une analogie entre espaces compacts et ensembles finis. D'ailleurs on retrouve cette analogie en analyse fonctionnelle où un opérateur compact a des propriétés qui le rapprochent d'un opérateur en dimension finie.

Mais cela dit, je me demande si tu ne surestimes pas le rôle de la compacité dans les mathématiques. Il y a bien d'autres notions importantes, je ne suis pas certain que la compacité soit plus centrale que d'autres.

Peut etre en effet que je surestime le role de la compacite, je ne sais pas... mais justement c'est en parlant avec d'autres que des idees nouvelles ou des points de vue diffrents peuvent surgir et permettre eventuellement de recadrer une pensee originelle. Ceci dit c'est tout de meme une notion assez centrale et transversale en maths, meme si bien entendu ce n'est pas la seule ! J'ai fait par exemple un apparte un peu plus haut sur d'autres types de notions suprenantes quant a leur efficacite.

[syborgg]

Pour ma part, je ne suis pas chercheur, ce qui ne m'empêche pas d'être assez au courant. J'ai bien deux publis, mais pas en maths (j'étais le référent mathématique). Cela dit, la plupart des chercheurs ont trop peu de temps pour aller sur des forums (non spécialisés).
Et toi, tu es chercheur ?
Je suis assez d'accord avec Minushabens, et même j'irais jusqu'à dire qu'on rencontre la compacité souvent parce qu'elle permet de trouver des résultats. C'est donc comme l'histoire de celuèib qui cherche ses clefs sous le lampadaire parce que là, il y a de la lumière. On a le même effet avec la linéarité, ou avec les notions de continuité.

Cordialement.

Pour ma part j'ai ete dans le monde de la recherche qq annes durant ma these doctorale, mais je n'ai pas poursuivit ensuite dans la course au poste (qui peut durer 5 ou 10 ans dans des conditions precaires, a moins d'etre le petit genie adule et admire par tout le monde, a qui on deroule immediatement apres la these le tapis rouge avec poste fixe et conditions confortables a la clef). Cependant mon interet pour la recherche est intact, et je continue a mon temps perdu a penser aux developpements de ma these et a d'autres sujets mathematiques.

[Médiat]

Une question (n'y voyez aucune malice ni mepris, c'est juste par curiosite) : gg0, Mediat, minushabens, etes vous (ou avez vous ete) chercheur, ou bien enseignant ?

Oui et oui, mais en logique, donc dans une science dont la raison d'être est de se poser des questions sur les mathématiques (mais n'ayant rien à voir avec la magie), ici la possibilité de remplacer une famille infinie par une sous-famille finie est d'un intérêt évident, non ?

[syborgg]

Oui et oui, mais en logique, donc dans une science dont la raison d'être est de se poser des questions sur les mathématiques (mais n'ayant rien à voir avec la magie), ici la possibilité de remplacer une famille infinie par une sous-famille finie est d'un intérêt évident, non ?

Si tu demandes d'expliciter "l'interet evident" de remplacer une famille d'ouverts par une sous famille finie a 10 mathematiciens, tu obtiendras probablement des reponses differentes. Selon toi quel est l'interet donc ?

[Médiat]

Vous n'avez jamais rencontré de raisonnement qui fonctionne dans le cas fini et pas dans le cas infini ?

[syborgg]

Vous n'avez jamais rencontré de raisonnement qui fonctionne dans le cas fini et pas dans le cas infini ?

Je trouves difficile de discuter avec toi, il semble que tu m'aie dans le colimateur et chacune de tes dernieres reponses contient une morsure de venin.
Je tentes d'apaiser l'ambiance : dans quelle partie de la logique as tu exerce ton activite de recherche ? la logique a t elle quelque chose a dire de la topolgie ? si oui sous quels aspects ?