Bonjour à tous,
Supposons qu'on est une fonction dont on sait qu'elle appartient à un espace Lp (avec p différent de l'infini), peut on en conclure que cette fonction est nécessairement au moins continue par morceau?
Intuitivement, je dirai oui mais je ne trouve aucun lemne le disant...
Merci!
Bonjour
La fonctionrestreinte à [0,1] est dans
Oui, elle est intégrable au sens de lebesgue. Comme elle n'est pas continue par morceau, cela donne un contre exemple effectivement.
La réponse serait elle la même si on considérait maintenant
As-tu au moins regardé s'il n'y avait pas un contre exemple du même genre ? Ce serait un minimum avant de poser ta question !!
Tu as peut être le recul nécessaire pour disposer dans ta tête d'une banque de contre exemple pour chaque situation, ce n'est malheureusement pas encore mon cas donc un peu d'indulgence, tout le monde n'a pas le même niveau!
Pour en dire un peu plus voilà pourquoi je pose ces questions, il y a ce théorème :
Et j'ai exactement le même théorème dans un autre bouquin mais avec l’hypothèse d'une fonction continue par morceau (pas de critère d'intégrabilité dans celui là)...
D'où mes questions.
@JB2017 : Ce contre exemple est un peu bancal, car dans Lp, ta fonction est la même que la fonction nulle. Rappel : Lp est un ensemble de classes d'équivalences de fonctions égales presque partout.
La question correcte devant d'ailleurs plutôt être :
"Est-ce que tout élément de Lp admet un représentant continu par morceaux ?"
Ah non, Frobenius, je ne dispose pas d'une "banque de contre exemple pour chaque situation", je ne suis pas un ordinateur. Mais j'ai l'habitude de réfléchir aux questions.
Mais maintenant, je comprends pourquoi tu poses cette question. Tu as deux situations où on applique le même genre de procédure. Seulement le même genre. Et tu demandes si c'est la même chose. Il aurait été préférable de le faire immédiatement.
Il se trouve que l'intégration s'est développée aux espaces
Cordialement.
NB : Pour Tryss2 : A vue de nez, ce n'est pas
Rebonjour
"bancale" pas tout à fait disons incomplète . J'ai répondu en fonction de la question car a priori on ne sait pas exactement le fin fond de la question.
Evidemment p.p ma fonction est nulle.
Alors j'ai un problème par rapport au sujet: C'est la définition de fonction continue par morceaux (ou d'un représentant continue par morceaux)?
En effet on voit un peu partout qu'une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a,b] c'est une fonction continue sur chaque intervalle
Est-ce correct?
Parce que c'est pas très difficile de construire une fonction définie sur [0,1] constante sur chaque intervalle de la forme ]1/(n+1),1/n[ qui soit dans L^p(0,1). Mais une telle fonction est-elle définie p.p?
Parce que ici les a_i sont en nombres infinis.
rem: dans ma dernière phrase du message précédent "est-elle définie p.p" c'est pas du tout ça que je voulais dire, c'est est-elle considérée comme continue par morceaux!!
Bonsoir,
Merci à tous pour vos précieuses informations.
Effectivement, dès le départ je parlais des espaces de fonctions au sens "brut", c'est à dire "avant quotient", mais mon faible niveau en latex m'a fait écrire des L droits au lieu des autres, ce qui a pu semer la confusion.
