Quelques idées de Grothendieck et d'autres.

[AncMath]

Bonjour,
J'ouvre ce fil pour faire suite à celui-là.
https://forums.futura-sciences.com/m...n-magique.html
qui a pas mal dévié.

Pour lire ce qui suis je supposerai simplement que quelques bases de topologie algébrique et de géométrie algébrique sont connues ou en tout cas en tout petit peu familière (par exemple je vais pas expliquer ce qu'est une variété algébrique, ou le groupe fondamental d'un espace topologique).

Le but est de raconter un petit peu les idées générales qui ont mené à la conception de la cohomologie étale. Elles sont de natures très diverses, topologiques, arithmétique et géométrique.

J'ajoute que ce que je présente est ma vision des idées importantes, il se peut que d'autres personnes désagréent sur ce qui est vraiment fondamental, ou que j'omette des points parce que je ne les connais pas ou ne le juge à tort pas fondamentaux. N'hésitez pas à intervenir pour les mentionner si vous le jugez opportun.

Je peux bien sur également expliquer plus en détails certaines constructions sur lesquelles je ne me serai pas suffisament étendu.
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[AncMath]

Les conjectures de Weil
L'idée de base sur laquelle a peu près tout s'est construit repose sur les conjectures de Weil.

Weil voulait étudier l'arithmétique des variétés algébriques. Si l'on prend par exemple une équation polynomiale où f est un polynôme à coefficients entiers, on peut se poser la question de savoir quels sont les solutions, entières, rationelles, complexes...

Pour comprendre les solutions entières, un problème plus simple est de regarder l'équation réduite modulo n pour n un entier quelconque. En fait cela revient à regarder l'équation modulo pour toutes les puissances de nombres premiers p. On peut aussi regarder un problème a priori plus simple regarder le nombre de solutions modulo p, puis dans les extensions de . Les deux problèmes sont interessants en fait. Weil s'est concentré sur le second (le premier mène à la géométrie p-adique).

Une idée formidable de Weil a été d'essayer de comprendre le comportement global du nombre de solutions de l'équation réduite dans tous les pour tous les en même temps.

Pour faire ça, il regarde la fonction zeta de l'équation.
Dans l'équation a un certain nombres de solutions noté . Pour capturer tous ces nombres en même temps il les encapsule dans une "fonction zeta" définie par . C'est une fonction du plan complexe et comme elle converge dans un certain domaine. Par ailleurs elle sera holomorphe dans ce domaine, de sorte que l'unicité du developpement en série entière assure qu'elle encode parfaitement la collection de nombres .

En fait on peut generaliser la situation, on a considere l'équation , mais rien n’empêche de considérer un système d'équations à coefficients entiers (entiers parce qu'on veut les réduire mod p) disons .
On va noter ce système et pour chaque corps on peut regarder les solutions au système . On appellera ça les points de X à valeur dans k et on notera ca .
Quand on regardera les équations réduites mod p, on notera ça et on peut alors regarder les solutions pour toute -algèbre k, que l'on notera ou indistinctement.

Notre système X a donc points complexes qui sont les solutions des équations dans , des points dans , qui sont les solutions des équations dans . Je noterai pour dire que je m'interesse aux équations réduites mod p.


Pourquoi faire ce changement? Parce que Weil veut penser géométriquement à la question. Il pense que les solutions (les points) des équations, et leurs nombres dépendent de la géométrie de l'objet qui lui est simplement une variété complexe. La variété complexe définie dans par les équations .

On notera au lieu de toujours pour avec désignant le cardinal (fini) de l'ensemble A.


Weil parvient à donner une interpretation eulerienne de la fonction zeta et prouve la formule suivante
.

Ici donc, est l'ensemble des points (des solutions des équations) à valeur dans la cloture algébrique de . Chacun de ces points x à un degré qui correspond grosso modo au degré du corps dans lequel on prend les valeurs qui donnent la solution x.

Par exemple l'équation n'a pas de solution dans mais elle en a une dans , cette solution (ce point) est de degré 2.

C'est ce degré qui intervient dans l'expression
.

A partir de là, Weil comprend que cet objet est l'analogue de la fonction zeta de Riemann, mais pour l'objet . Le developpement eulerien est de même nature.

Weil propose donc une série de conjectures sur liées à cette analogie.

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En fait Grothendieck considère que le "vrai" objet géométrique qu'il appelle schéma c'est justement le foncteur qui à etc.... associe l'ensemble des solutions etc... et ce pour tous les anneaux . Il montrera que ce foncteur est representable par un "bon objet" dans une "bonne catégorie", une sous catégorie de celle des espaces localement annelés qu'il définira comme celle des schémas.

[syborgg]

Tu voulais dire non ?
Sinon ce foncteur considere par Grothendieck, il va de la categorie des anneaux commutatifs unitaires dans celle des ensembles finis ?
Autre question : quand tu parles des proprietes geometriques de tu penses a quel genre de proprietes ? C'est a priori une variete complexe de dimension quelconque, donc le genre n'est pas defini par exemple.
En ce qui concerne les , quelles proprietes sont censees etre pertinentes ? seulement le nombre d'elements, ou egalement autre chose ?

[invite9dc7b526]

Merci à toi AncMath de prendre la peine de nous instruire...

j'ai une question sur la fonction N(f,l) <qui est un fait un N(f,p,l) si je comprends bien> pourquoi est-ce que le coefficient dans la série est N(f,l)/l et pas juste N(f,l) qui est plus classique pour une fonction génératrice? est-ce que le rayon de convergence est nul si on ne divise pas par l ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[AncMath]

Je repond aux questions et je continuerai la suite de mon baratin ce soir ou demain.

Tu voulais dire non ?

En effet.

Sinon ce foncteur considere par Grothendieck, il va de la categorie des anneaux commutatifs unitaires dans celle des ensembles finis ?

Dans celle des ensembles oui, en fait on peut le voir comme un foncteur de la catégorie des schémas dans celle des ensembles, mais on peut effectivement se limiter à la catégorie des anneaux (commutatifs unitaires, pour moi tous les anneaux seront supposés commutatifs unitaires) pour des raisons assez triviales.

Autre question : quand tu parles des proprietes geometriques de tu penses a quel genre de proprietes ? C'est a priori une variete complexe de dimension quelconque, donc le genre n'est pas defini par exemple.

Toutes les propriétés géométriques ou topologiques. Bien sur ceci pourra n'avoir de sens que pour certains types de variété, typiquement les variétés projectives.
Le genre (arithmetique) d'une variété projective est toujours défini par exemple.

En ce qui concerne les , quelles proprietes sont censees etre pertinentes ? seulement le nombre d'elements, ou egalement autre chose ?

Ben ici c'est ce à quoi on s'interesse, mais gloablement l'idée est de relier l'arithmétique, donc les propriétés de ou a des prorpiétés topologiques ou géométrique de mais surtout de en fait. C'est bien l'un des interets de la théorie des schémas, on a pas besoin d'avoir pour parler des invariants géométriques, on peut directement parler de tout un tas de propriété géométrique de vu comme foncteur.
Par exemple le fait d'etre propre (sur une base donnée à l'avance) se caracteriste tres facilement en terme de propriété du foncteur , c'est aussi le cas d'etre lisse, ou d'etre étale etc...
Y a pas besoin de parler de (qui est certes une variété complexe), on peut directement lire sur le foncteur si X sera propre et lisse. En particulier cela impliquera que sera lisse et compacte.
On peut aussi le lire sur le schéma (schéma pas au sens foncteur que j'ai donné précédement mais au sens plus classique dans la catégorie des espaces annelés).

Une petite aparté d'ailleurs, quand on a un schéma (donc un espace localement annelé, localement isomorphe à un espace annelé de la forme ) on peut toujours le voir comme le foncteur (toujours Yoneda) et en fait comme j'ai dit plus haut il suffit de connaitre ce foncteur sur les schémas affine pour le connaitre entièrement (c'est un exercice facile). En general on choisit le point de vue le mieux adapté à la situation, certaines propriétés sont plus facile à tester sur l'espace localement annelé X, d'autres sont plus faciles à tester sur le foncteur X.

Merci à toi AncMath de prendre la peine de nous instruire...

j'ai une question sur la fonction N(f,l) <qui est un fait un N(f,p,l) si je comprends bien> pourquoi est-ce que le coefficient dans la série est N(f,l)/l et pas juste N(f,l) qui est plus classique pour une fonction génératrice? est-ce que le rayon de convergence est nul si on ne divise pas par l ?

Oui, il y a un p "muet". En fait en general on commence l'histoire directement pour une variété sur F_p, pour un p qu'on s'est fixé une bonne fois pour toute, c'est pour ca qu'on ne fait pas mention explicite du p en question. Mais ici je suis parti d'un objet global (a coefficients entiers donc), pour se localiser au dessus d'un p.
Le rayon de convergence ne varierait pas, non (enfin à ceci pres qu'on a une bande de convergence vu qu'on prend l'exponentielle d'une série entière et qu'on change de variable), par contre ce qu'i changerait serait la formule



Or on veut absolument cette formule, parce qu'on veut que notre fonction Z compte les points de X, et donne un produit eulerien. C'est pour ca qu'on met le \ell au dénominateur, parce qu'il donne la formule voulue.
Faut pas oublier que Weil a entre autre fait ça pour essayer de comprendre l'hypothese de Riemann. Si l'on remplace la variété X par le schéma Spec Z (et qu'on ne se place plus au dessus de p, mais qu'on "reste global") la formule donne exactement la fonction zeta de Riemann (apres le changement de variable indiqué plus haut bien sur).



Une dernière remarque, tout ceci n'a absolument pas besoin du langage schématique pour être fait, d'ailleurs cela a été fait par Weil. Le langage schématique donne juste beaucoup plus de souplesse et permet de faire "la suite" surtout.

[AncMath]

Les conjectures de Weil, suite.
Donc à partir de maintenant je ne parlerait plus du "système d'equation" défini par mais bien de l'objet géométrique qui lui est associé. Il peut etre projectif ou non en fonction de si on s'interesse ou non au solutions ou simplement au solutions à un facteur multiplicatif pres dans le cas où les f_i sont homogènes. En fait c'est ce second cas qui est plus interessant, et on peut toujours se ramener à ce second cas.
La raison est que l'objet géométrique défini dans ce cas est compact (projectif) et on a plein de propriété géométrique dessus.

Il y a deux exemples tres simples à traiter.

Celui de l'espace affine de dimension n ( vu comme une équation à n variables), noté . Bah c'est facile on peut tout calculer explictement, et on trouve .
Le cas de l'esapce projectif de dimension n est tout aussi trivial (il correspond au cas 0=0 toujours mais vu comme équaltions homogènes à (1+n) variables). On a tout de suite et grace a l'exponentielle qui transforme sommes en produit on voit que .

Weil calcule également ce que donne la fonction zeta pour courbe projective lisse de genre g (et connexe).
Il trouve ou qQest un certain polynôme à a coeff entiers.

Il fait un calcul explicite pour X une courbe elliptique et trouve que le polynôme Q s'ecrit pour un certain nombre complexe a, sur lequel je vais revenir.

Il conjecture alors que pour une variété projective et lisse de dimension n (sur ) la fonction Z a les propriétés remarquables suivantes.

s'écrit toujours avec les P_i des polynomes à coefficient ENTIERS (c'est ce qu'on appelle la conjecture de rationalité) valant 1 en 0.
Par analogie avec la fonction zeta de Riemann et vu les cas qu'il a calculé, il conjecture que Z(X,z) admet une équation fonctionnelle (dont il écrit la forme, mais je passe, c'est pas tres important pour là ou je veux aller).

Mais (et c'est là que ca devient vraiment génial), si l'on appelle les racines complexes du polynome (qui sont non nulles), alors il conjecture que . C'est l'hypothese de Riemann pour les corps finis (je vous laisse faire le changement de variable plus haut pour comprendre pourquoi il appelle ça l'hypothese de Riemann).

Il pense que les ont une symétrie donnée par l'equation fonctionnelle. Plus précisement il pense que quitte à renumeroter "en j" les on doit avoir (ca c'est la géométrie qui le lui suggère, et plus précisement la dualité de Poincaré, j'expliquerai pourquoi plus tard).

Enfin et c'est le point le plus fou (de mon point de vue), si X est donné par réduction modulo p d'une variété défini par un systeme d'quation à coefficient entiers de telle sorte à ce que soit une variété compacte et lisse, alors il pense que les s'expriment* en fonction des qui sont les nombres de Betti de X(C), c'est à dire les dimensions des groupes de cohomologies (de De Rahm si l'on veut) de X(C).

*En fait dans un premier temps il conjecture que , mais on aura au final qqch de plus précis.

[AncMath]

Un apparté arithmétique, ou pourquoi ces conjectures disent énormément de choses arithmétiquement
Il ne faut pas oublier que la fonction Z(X,z) que l'on regarde "compte" les points de X dans tous les corps fini de caractéristique p, dans .
Disposer d'une expression comme celle conjecturée permet de donner des estimations fines du nombres de points de X dans ces corps. C'est a dire du nombre de solutions au systèmes diophantiens réduit mod p puis considérés dans les extensions de F_p.

Revenons au cas d'une courbe elliptique notée X, pour voir ce que ca donne comme genre d'info.
Je l'ai dit plus haut (avec un erreur de TEX, désolé!) la fonction zeta dans ce cadre là vaut si l'on compare ça à la formule définissant la fonction Z.
On s'aperçoit que , (c'est l'hypothese de riemann dans ce cas) et que .
Bien sur la connaissance de permet de retrouver a et a^bar ce qui caractérise parfaitement la fonction Z, et donc tous les N(X,n)!!
Autrement dit la connaissance de N(X,1) est suffisante pour prédire les N(X,n) pour tout n.

Une courbe elliptique est toujours définie par une équation cubique, qu'on peut toujours mettre sous la forme (à un grain de sel pres en caracteristique 2 ou 3), y²=x^3+Ax+B.

Si vous connaissez le nombre de solution de y²=x^3+Ax+B modulo p, alors vous pouvez prédire (du moins en théorie) le nombre de solutions dans tous les .

Mais on peut faire encore mieux.

Si on developpe l'expression de Z, on obtient l'équation et en majorant brutalement et en utilisant le fait que le module de a est racine de p on obtient l'estimation .

Autrement dit cela nous dit qu'asympotiquement le nombre de solutions de y²=x^3+Ax+B dans est .
Ce résultat est connu sous le nom de théorème de Hasse et avait été prouvé par Hasse par des méthodes tres differentes.

Bien sur on peut obtenir ce genre d'estimation pour tout sorte de variété X, et pas seulement des courbes elliptiques.

J'espere que ca vous convaincra de la richesse de l'information arithmétique contenue dans la fonction Z et dans les conjectures de Weil à leur sujet.

Maintenant... il allait falloir les démontrer.

[0577]

Bonjour,

le produit eulérien n'est pas sur l'ensemble des points à valeurs dans une clôture algébrique de , mais sur l'ensemble |X| des points fermés du schéma X. Ces deux ensembles sont différents: un point fermé x donne naissance à deg(x) points à valeurs dans la clôture algébrique.

Exemple: Pour p=2 et , X a deux points à valeurs dans la clôture algébrique de (les deux racines de x^2+x+1), mais le schéma X a un unique point fermé
( est un corps).

La fonction zeta est et non quelque chose comme , comme on peut facilement le vérifier avec la définition par le nombre de points ( est vide si k est impair et contient deux éléments si k est pair). On peut aussi vérifier les conjectures de Weil dans ce cas trivial: 1-z^2 est de degré 2 car est formé de deux points, et les racines z=1 et z=-1 sont de modules 1.

[AncMath]

Bonjour,

le produit eulérien n'est pas sur l'ensemble des points à valeurs dans une clôture algébrique de , mais sur l'ensemble |X| des points fermés du schéma X. Ces deux ensembles sont différents: un point fermé x donne naissance à deg(x) points à valeurs dans la clôture algébrique.

Tout à fait, j'ai oublié de factoriser par l'action de Galois!
Ce sont les orbites de sous l'action de qui indexent le produit. Ou les points fermés de X en effet.

[syborgg]

Peut etre avant de continuer : qu'est ce qui a incite Weil a definir de cette maniere la fonction ? bien sur cette expression prend en compte tous les a la fois, mais pourquoi cette expression en particulier ?

[syborgg]

ouups pardon j'avais pas tout lu, j'ai ma reponse en lisant mieux plus haut !

[syborgg]

Il y des trucs pas encore tres clair pour moi, mais j'attends d'en savoir plus avant de poser des questions.

[AncMath]

Le Frobenius et les points fixes
Il y a plusieurs stratégies pour prouver une ou plusieurs des conjectures de Weil. Un point commun a beaucoup d'entre elles consiste à faire intervenir le frobenius et à interpréter les points -rationnels comme les points fixes de celui-ci.

En effet, on a une action de G, le groupe de galois absolu de F_p sur . Si X est une variété affine alors l'action agit sur les coordonnées, et même topo si X est projective l'action agit sur les coordonnées homogènes (en fait on peut donner une interpretation plus géométrique et intrinsèque de ca, mais passons) et s'identifie naturellement aux points fixe de l'action. Comme G est pro-cyclique, on a besoin uniquement de tester ce qu'il se passe avec le frobenius , et meme histoire avec sa puissance \ell-ième pour .

On interprete donc comme le nombre de points fixes de .

A partir de là il y a plusieurs approches au problèmes, on peut utiliser la théorie de l'intersection pour compter le nombre de points fixes d'une application, en définissant une bonne classe d'intersection pour le graphe de l'application en question et la diagonale dans X^2. C'est ce que va faire Weil.

Une autre approche, plus globale vis à vis des conjectures consiste à utiliser une approche cohomologique, basée sur la formule des traces de Lefschetz.

La formule des traces (topologique) de Lefschetz dit la chose suivante:
Si est un complexe simplicial compact et est un application continue, alors

(Au passage remarquons que le resultat est trivialement faux pour un espace non compact).

Ici Fix(f) est le nombre de points fixes de f, comptés avec multiplicité. Je vais pas définir exactement ce qu'est cette mutliplicité, mais disons que si l'on se place dans le cadre differentiel et le graphe de f est transverse à la diagonale alors cette multiplicité vaut 1.

Ce théorème résulte assez facilement du lemme d'approximation simpliciale. C'est un exercice facile de prouver que si f est sans point fixe par exemple, alors la somme du membre de droite s'annule.

L'idée de Serre et Grothendieck est donc d'utiliser l'analogue de ce résultat pour un certaine théorie cohomologique sur et d'interpreter .

Mais il fallait définir un H_myst dans un cadre totalement different de celui où on avait l'habitude de le manipuler. Topologiquement les ne sont que des réunions finie de points... y a peu d'espoir d'en tirer qqch.

A l'époque les gens qui étudiaient la cohomologie des "variétés arithmétiques", c'est à dire définies par des équations algébriques à coefficients dans un corps de nombre, regardaient les points complexes de la variété en question et utilisaient le cohomologie ordinaire pour les variétés complexes. C'etait ce qu'avait fait Zariski et Lefshetz par exemple, et on utilisait le "principe de Lefshetz" qui disait que pour un corps algébriquement clos de caracteristique 0, les choses se passent comme sur C, grosso modo.

Ici il n'était pas possible de faire ca, et il fallait trouver cette bonne cohomologie. Weil était assez conscient de cette approche et notamment de ce qu'elle impliquait, mais je crois qu'il n'a jamais sérieusement songé à vraiment constuire ce H_myst. Pour lui c'etait simplement une analogie féconde, mais pas plus. C'est Serre et Grothendieck qui ont pris le truc plus au sérieux.

[AncMath]

A la recherche du bon
Dans un premier temps, Grothendieck et Serre (et d'autres), se sont demandés ce qui devait jouer l'analogue du H^1 pour ces variétés sur un corps fini.

On peut souligner deux approches préliminaires d'importances. La première idée c'est de définir une notion de groupe fondamental et de retrouver le via le sous le modèle du théoreme classique d'Hurwitz : pour X disons un CW-complexe connexe.

A l'époque il paraissait totalement illusoire de construire le pi_1 dans la catégorie algébrique à partir de considérations d'homotopie (mais plus tard Quillen, et Morel-Voevodsky passeront par là), du coup on pouvait définir le pi_1 par l'approche Galoisienne. Si est le revêtement universel d'un CW-complexe connexe, alors le s'identifie aux groupes d'automorphismes de X/B.

La notion de revetement s'algébrise bien. Un revetement (fini) pour des variétés complexes c'est un morphisme propre, à fibres finies tel que la differentielle de ce morphisme soit un isomorphisme. Toutes ces choses là ont un sens naturel pour des variétés algébriques sur n'importe quel corps. En fait Grothendieck donnera une définition encore plus algébrique via la notion de morphisme étale, qui redonne la définition précédente pour une variété sur un corps algébriquement clos (enfin tel que je l'ai défini la notion de morphisme étale fini).

Il y a eu beaucoup d'agitations pour savoir si on perdait beaucoup en considérant tous les morphismes étales ou simplement les morphismes étales finis pour avoir les bons groupes de cohomologie (et pour le coup Grothendieck avait tort). Mais pour avoir le bon pi_1 la situation était plus claire.

Si l'on regarde ce qu'il se passe pour le cercle par exemple, son revêtement universel n'est pas algébrique, il y avait donc peu d'espoir de le constuire algébriquement.
Par contre les revêtements finis sont tout ce qu'il y a de plus algébriques (donnés par z->z^n si l'on voit le cercle comme l'ensemble des complexes de module 1) de sorte qu'on puisse espérer capturer au moins tous les revêtements finis, qui sont les quotients finis du pi_1, et un bonne chose qu'on puisse donc espérer recréer c'est la complétion projective du pi_1.

En fait Grothendieck démontre un théoreme totalement analogue au cas topologique avec sa définition algébrique de revetement.

La catégorie des revêtements étales finis d'une variété algébrique est équivalente à la catégorie des -ensembles finis (bien sur ici, l'action est topologique).

Cela redonne à la fois la théorie du groupe fondamental pour les variétés complexes (ou définies sur un sous corps de C, mais vues commes variétés complexes), du moins au grain de sel décrit précédemment pres.
Et si on l'applique à un corps k (donc géométriquement à un point) on retrouve la théorie de Galois.

Par ailleurs la notion de revêtement étale ou ramifie fait parfaitement le lien, avec l'étude des anneaux de corps de nombres qui était faite en théorie algébrique des nombres.

Une autre idée pour construire tous les H^i, provenait plus directement des travaux de Weil et des variétés abéliennes.

[syborgg]

Petit aparte : si j'ai bien compris, Grothendieck et Weil ne s'entendaient pas tres bien au sein de Bourbaki. Je crois avoir compris que Weil n'aimait pas sa facon de faire des maths.

[AncMath]

A la recherche du bon , les variétés abeliennes, et les coefficients de base
Un guide sûr dans la recherche de la cohomologie a été donné par les variétés abéliennes. Il y avait une façon simple d'acceder à la cohomologie pour les variétés abéliennes sur les corps fini parce qu'on pouvait la "lire" sur des considérations géométriques/arithmétiques.

Les variétés abéliennes (sur C) sont les groupes de Lie analytiques, projectifs (qui admettent un plongement holomorphe dans l'espace projectif). C'est un théorème de Chow que les sous variétés analytiques de l'espace projectif sont automatiquement algébriques (définies par des équations algébriques donc). Donc les variétés abéliennes sont les groupes de Lie complexes compacts qui sont algébriques.

La théorie générale des groupes de Lie, associé au fait que les opérations de groupes sont holomorphes permettent de démontrer facilement que de telles variétés sont des tores de la forme où L est un réseau de C^g (le sous groupe engendré par une R-base de C^g). De tels tores ne sont pas nécéssairement algébriques, mais on sait tres précisement lesquels le sont, mais ca n'est pas important ici.

Il est facile de calculer la cohomologie de tels tores, on a et .

Pour les variétés abeliennes, il suffit de connaitre le H^1 pour connaitre la cohomologie.

Il faut quand meme dire un petit mot sur le corps de coefficients dans lequel on va vouloir calculer les .
En fait pour des raisons simples trouvées par Serre ca ne peut pas être un sous corps de R.
Par ailleurs en vue du role qu'on veut que la formule des trace de Lefschetz joue, ca doit nécessairement etre un corps de caracteristique nulle. On veut compter des points, pas compter des points modulo p. Puis on veut prouver la rationnalité de la fonction Z.

Pour ces raisons et d'autres, les gens pensent que le bon corps de coefficients doit etre l'anneau des vecteur de Witt du corps de base. D'ailleurs Serre espérait directement constuire qqch comme ca. Dans le cas de F_p, ce serait donc Z_p, l'anneau des entiers p-adiques. En fait ce ne sera pas ça, mais pas loin.

Du coup, l'homologie d'une variété abélienne sur un corps finie, doit avoir un H_1 qui doit ressembler à qqch comme . Ce truc là est la limite projective de . Ou simplement en rédindexant le système projectif, c'est simplement la limite du systeme où la fleche est la multiplication par p.

Mais bien sur c'est simplement le sous groupe des points de p^n torsion de , que je vais noter A[p^n].

Si A est une variété abélienne sur un corps k (c'est à dire une variété algébrique muni d'une structure de groupe donnée par des fonctions algébriques, et dont on impose également qu'elle soit propre/compacte), on peut regarder du coup le système projectif des points de p^n torsion ou la fleche est donnée par la multiplication par p et en prendre la limite. C'est ce qu'on appelle le (p-)module de Tate de A et c'est naturellement un -module.

En fait sur un corps fini, il se passe un phénomène assez curieux. Vu les conjectures de Weil on s'attend quand on prend une variété abélienne de dimension g "définie sur Z" (il y a un grain de sel ici mais disons telles que les équations donnent a la fois une variété abelienne sur C et sur F_p par réduction mod p), le module de Tate de sa réduction modulo p ait pour rang 2g sur Z_p, ce qui est le rang de la cohomologie ordinaire tensorisée par Z_p. Or ca n'est pas ce qu'il se passe, les points de p^n-torsion d'une variété abélienne sur F_p peuvent etre n'importe quel groupe entre (Z/p^n)^g, (Z/p^n)^{g-1}..., 0. Mais heureusement les choses se passent bien sur pour une variété abélienne sur F_p, si on ne regarde pas le système des points de p^n-torsion, mais ceux de q^n-torsion pour q un nombre premier différent de p*.

Pour q different de p, on a donc cet objet qui est un Z_q-module libre de rang 2g (où g est toujours la dimension de A) et qui joue le role du . A partir de là, vu ce que j'ai dit au debut, on a même acces aux groupes supérieur, par produit extérieur.

Ce module de Tate permet de démontrer les conjectures de Weil pour les variétés abeliennes et grace à la théorie des jacobiennes, pour les courbes également. En fait, il ouvre la voie à une caractéristique importante que l'on doit demander à la cohomologie étale, elle doit etre muni d'une action de Galois "arithmétique". Ici, si on a une variété abélienne sur k, alors le groupe de Galois absolu de k agit sur . Ce champ des représentations galoisiennes sur la cohomologie des variétés algébriques va être un thème extrêmement fécond de la recherche en géométrie arithmétique* (encore à ce jour).

A noter que ceci nous donne qqch de nouveau même dans le cas des variétés définies sur des corps de nombres. La cohomologie doit hériter d'une action galoisienne, et on passait totalement à coté de ça, si on se contentait de regarder les points complexes de la variété et de prendre la cohomologie usuelle.

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Les considérations générales que j'expose ici, sont celles à la base de la cohomologie étale l-adique, comme le module de tate son anneau de coefficient sera Z_l, avec l different de la caractéristique p. Pour comprendre ce qu'il se passe en l=p, plus tard la cohomologie cristalline sera developpée.

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A titre d'exemple mentionnons le fait que si k est un corps global et A et B sont deux variétés abéliennes (c'est à dire une variété algébrique et un groupe dont les opérations sont algébriques) définies sur k, alors on pense que l'ensemble des morphismes de variétés abéliennes (c'est à dire des morphismes de variétés algébriques et de groupe) est canoniquement isomorphe à , l'ensemble des Z_q morphisme de T_q(A) dans T_q(B) compatible à l'action de Galois (absolue) des deux cotés.

Ce résultat a été prouvé par Faltings dans le cas où k est un corps de nombres, avec des idées qui lui permettent de prouver la conjecture de Mordell (toute courbe projective lisse de genre >1 sur un corps de nombres n'a qu'un nombre fini de points rationnel) et qui lui vaudront la médaille Fields.

[AncMath]

Concernant la question sur Weil et Grothendieck. J'ai deja entendu en effet que Weil était assez allergique au style de maths de Grothendieck. Mais je ne vois pas trop trop quoi dire la dessus.

J'ajoute que je ne sais pas trop trop à qui est vraiment du la paternité des idées présentées dans mes derniers messages. Il y a certainement du Weil, du Serre, du Grothendieck, du Tate, du Artin....

[AncMath]

La construction de la topologie et de la cohomologie étale
Ce qui était tres clair pour Grothendieck et à peu pres tout le monde c'était que l'opération de calcul de cohomologie était purement formelle.
Pour calculer la cohomologie on avait besoin de deux choses, un faisceau et la catégorie des ouverts et inclusions, c'est essentiellement le point de vue de Cech.
Pour Grothendieck on a besoin que de la notion de faisceau, en fait meme moins que ca, dans le Tohoku il montre que la cohomologie calcule en fait des foncteurs dérivées droits d'un foncteur additif exact à gauche entre catégorie abéliennes.

Dans la pratique ce dont on a besoin c'est la catégorie des faisceau (de groupe abéliens) et d'un tel foncteur, c'est le foncteur de section globale.

En particulier les invariants topologiques que calculent la cohomologie sont donnés par les faisceaux constants. La cohomologie singulière, de De Rham etc... ne donnent que des résolutions différentes d'un même faisceau, et c'est la raison profonde qui fait qu'elles donnent la même chose (enfin, il faut des résolutions particulières pour calculer la cohomologie, mais c'est effectivement ce qu'il se passe dans ce cas, mais très vite ca n'est meme plus un probleme grace à la notion d'hypercohomologie, mais ca n'est pas important ici).

Le problème c'est que quand on calcule la cohomologie d'un faisceau constant sur une variété algébrique on obtient 0 (pour une variété propre lisse et connexe disons).

Tout le monde savait bien que c'était parce qu'il y avait pas assez d'ouverts sur une variété algébrique.

Serre et Grothendieck ont l'idée de remplacer les ouverts, par les preimages d'ouverts par des morphismes étales. Comme tester la condition de faisceau est purement formel cette idée se généralise bien.
En effet tester qu'un foncteur F de la catégorie opposée à la catégorie ouvert et inclusion d'un espace topologique dans la catégorie des groupes abéliens est un faisceau, il suffit de verifier pour tout ouvert U que la suite est exacte pour tout recouvrement ouvert de l'ouvert U. Bien sur dans la catgéorie des ouverts et inclusions est canoniquement isomorphe à

Un prefaisceau étale c'est donc la donnée d'un groupe abélien non pas pour chaque ouvert U de X, mais pour "l'image réciproque de U par un morphisme étale". En fait, tout ceci peut se définir agreablement en terme de catégorie. La catégorie des ouverts et inclusions est simplement remplacée par la catégorie des morphismes étales.
La condition de faisceau se transcrit verbatim, une fois qu'on a définit ce que devait etre un recouvrement dans cette catégorie. Ici, c'est assez facile, un recouvrement d'un morphsime étale de but U, c'est simplement une collection de morphismes étales dont l'image recouvre U.

Il est à noter qu'un faisceau de modules classique devient de facto un (pre)-faisceau étale via l'image inverse des faisceau de modules.

Grothendieck se rend compte que ce qu'il a fait pour la catégorie des morphismes étales est tres general, et que l'on peut l'ecrire purement en terme catégorique. Il définit la notion de site, comme étant une catégorie plus une bonne notion de recouvrement qui permet de tester si un foncteur est un faisceau ou non.

Les faisceaux étales de groupe abéliens forment une catégorie abélienne et il peut donc dériver leurs sections globales. C'est ce qu'il appelle la cohomologie étale de la variété à valeur dans le faisceau.

Premier phénomène, pour les faisceaux coherents sur une variété algébrique, ca ne change rien. Leur cohomologie classique et leur cohomologie étale donnent la même chose.

Il se demande ensuite ce qu'il se passe pour les faisceaux constants... apres tout c'est pour eux qu'on fait ça... et ca marche pas! Du moins ca marche pas pour un faisceau constant de fibre Q.

En fait pour obtenir de bons théorèmes il faut se restreindre au faisceau de torsion... typiquement le faisceau contant Z/nZ. Mais c'est suffisant pour construire qqch en prenant la limite projective des qu'on note de manière un peu impropre .

Bien sur a partir de là, une foule de questions emergent. En fait toutes les questions analogues à celle sur C par exemple, est ce que le théorème de la section hyperplane de Lefschetz est vrai (oui), quid du théorème de Lefshetz "difficile" (oui), de la formule des traces (oui), une dualité de Poincaré (oui), a t on une décomposition de Hodge (non) etc....
La question des faisceaux est délicate également, quelle est la bonne classe de faisceau pour lesquels on peut avoir de bonne propriétés (ce sera celle des faisceau constructibles).
Bien sur il allait falloir aussi retrouver tous les phénomènes précédents, sur le module de Tate, le pi_1 étale, l'action galoisienne etc....

[AncMath]

Quelques remarques
Je continue de soliloquer pour indiquer quelques pistes qui ont nourri la réflexion de Grothendieck vis à vis des conjectures de Weil et de la cohomologie étale.

Une fois la formule des traces démontrée, à savoir pour X une variété algébrique propre sur F_p.

On en arrive apres un petit calcul à la formule suivante
Les mentionné plus haut apparaissent donc comme les valeurs propres du frobenius agissant sur le i-ème groupe de cohomologie étale.

Cette décomposition fut un indice pour Grothendieck de l'existence des motifs qui venait prolonger la "théorie des poids" dans le sens où chaque groupe de cohomologie de degré i donne une estimation arithmétique asympotiquement differente dans l'estimation du nombre de points rationnels, par contre toutes les valeurs propres du meme groupe de cohomologie jouait le meme role dans l'estimation arithmétique.

Cette idée était alimentée par le fait que le choix du corps de coefficients semblait jouer un role annexe dans toute cette histoire, mais l'exemple de Serre prouvait qu'en un sens naïf, il n'existait pas de théorie cohomologique sur Z, qui redonnerait les autres par extension du corps de coefficients à Q_l.

En fait, l'intuition (je ne sais pas si elle est due à Grothendieck) qui est devenue prévalente ensuite, c'est que les "morceaux" cohomologiques qui composait la cohomologie globale d'une variété devait avoir une "existence propre" independant de la variété elle même et que la variété elle même n'était que la recombinaison de ces morceaux independants. Ceci pouvait se recombiner simplement (pour les variétés propres et lisses) ou de manière plus compliquée (pour les autres).
Cette idée a été appliquée au cadre complexe par Deligne, avec sa théorie de Hodge mixte.

Le problème c'est que d'importantes questions de théorie de l'intersection sont au coeur de ces constructions, questions qu'on ne sait toujours pas résoudre pour la plupart aujourd'hui.

Bon je vais m'arreter sur cette derniere image un peu floue.

[AncMath]

En relisant, y a pas mal de typos qui fourmillent un peu partout.
Mais celle sur la formule des traces de Lefschetz est la plus penible de toute, c'est pour X une variété propre et lisse sur

[syborgg]

AncMath merci encore pour le temps passe a parler de tout ca c'est tres interessant !
Dommage que ca n'interesse pas plus de monde, mais ce n'est peu etre pas le bon forum pour ce genre de choses...
Pour moi c'est du lourd a digerer, mais je m'y emploie petit a petit. Si j'ai des questions en cours de route (ce qui est fort probable), je les formulerai ici ou en MP.

[slivoc]

Dommage que ca n'interesse pas plus de monde, mais ce n'est peu etre pas le bon forum pour ce genre de choses...

Il se peut aussi que certaines personnes lisent ces posts ( et l' autre sur la compacité ) sans nécessairement intervenir, ce qui donne l' impression (vue le nb d' intervenants) que peut sont intéressés ...

[syborgg]

Il se peut aussi que certaines personnes lisent ces posts ( et l' autre sur la compacité ) sans nécessairement intervenir, ce qui donne l' impression (vue le nb d' intervenants) que peut sont intéressés ...

Comme toi par exemple

[AncMath]

Il se peut aussi que certaines personnes lisent ces posts ( et l' autre sur la compacité ) sans nécessairement intervenir, ce qui donne l' impression (vue le nb d' intervenants) que peut sont intéressés ...

En l'occurence, on a l'habitude de dire que quand personne n'intervient lors d'un exposé ou d'un cours ou quoi que ce soit, c'est soit parce que tout est trivial, soit parce que personne n'a rien compris.
Bon ptetr que la pédagogie n'est pas mon fort!

[slivoc]

soit parce que personne n'a rien compris.

Je fais partie de ces gens là, je n' y connais rien en géométrie algébrique. Mais il y' a un autre interet à ce post, en tant qu' étudiant je pense, c' est voir comment la recherche dans les labos se passe.

[slivoc]

Comme toi par exemple

Oui, j' avoue qu' au début, je lisais le post sur la compacité (en partie ) parce que j' ai une leçon d' agreg à préparer sur la compacité et je me suis dit que je pourrai sans doute trouver qqs idées sympa à mettre dedans.
Mais je ne suis sans doute pas le seul à lire la discussion sans intervenir !

[Deedee81]

Salut,

En l'occurence, on a l'habitude de dire que quand personne n'intervient lors d'un exposé ou d'un cours ou quoi que ce soit, c'est soit parce que tout est trivial, soit parce que personne n'a rien compris.
Bon ptetr que la pédagogie n'est pas mon fort!

Perso j'ai suivi de loin. Troisième cause de non interventions :
trop pointu, la majorité de comprennent pas.

J'ai déjà essayé de potasser la topologie algébrique et c'est gaaaaasp ! Indigeste.
(alors que j'adore les travaux sur la topologie générale ou différentielle et les algèbres, mais les deux ensembles : me manque quelques neurones )

[syborgg]

Salut,



Perso j'ai suivi de loin. Troisième cause de non interventions :
trop pointu, la majorité de comprennent pas.

J'ai déjà essayé de potasser la topologie algébrique et c'est gaaaaasp ! Indigeste.
(alors que j'adore les travaux sur la topologie générale ou différentielle et les algèbres, mais les deux ensembles : me manque quelques neurones )

Je ne suis pas un expert en topologie algebrique, mais le peu que j'en connais est passionant. C'est dur de s'y mettre en effet si on ne commence pas par un cours d'algebre homologique avant pour motiver formellement les constructions de toutes ces fleches en serie...L'algebre homologique permet de comprendre mieux les points communs entre les differentes constructions d'homologies dans differents contextes (differentes (co)homologies des varietes, cohomologie des groupes groupes, des groupes profinis etc..) , entre autrre par la notion de foncteur derive.

[Deedee81]

Salut,

C'est dur de s'y mettre en effet

Le début ça va. Homotopies et groupes d'homotopies et tout ça mais après quand on attaque la cohomologie. Et donc :

si on ne commence pas par un cours d'algebre homologique [...]

Merci de ce conseil.

[AncMath]

Merci de ce conseil.

Je donnerais pour ma part le conseil totalement inverse.
L'algèbre homologique en tant que tel c'est tres limité et formel, et je doute que quiconque en voit l'interet si c'est pas replacé dans un contexte qui le justifie. Ca peut etre le contexte de la théorie des groupes, ou à mon avis celui beaucoup plus riche, de la topologie.

Mais se couper de l'intuition topologique/géométrique quand on fait de l'algèbre homologique c'est à mon avis une erreur. L'immense majorité des constructions sont motivées par la topologie/géométrie.

Par exemple le lemme du serpent et la construction du connectant semble totalement gratuite si on ne sait pas qu'elle vient de l'opérateur de bord relatif en homologie d'une paire, là où la construction parait totalement naturelle (mais bien sur le lemme du serpent est plus general et sert dans d'autres contextes).

Je te conseille de lire un cours de base sur la cohomologie ordinaire (Spanier, Hatcher...). Apres comprendre en détails les constructions cohomologiques, c'est bien sur interessant, mais à mon avis dans un premier temps on peut totalement s'en passer. Il me semble plus fructueux de prendre comme base disons les axiomes d'Eilengerg-Steenrod sur l'homologie ordinaire, et voir ce qu'on peut faire avec (beaucoup de choses). Ensuite on peut éventuellement construire la théorie en question.

Je suis assez surpris de ta remarque également

Le début ça va. Homotopies et groupes d'homotopies et tout ça mais après quand on attaque la cohomologie.

Usuellement on considère (à raison à mon avis) la théorie de l'homotopie plus compliquée que celle de l'homologie.