Méthode systématique pour isoler une variable dans une équation

[invite9020b043]

Je me demandais cette après-midi, existe-t-il des équations dont on ne peut isoler littéralement une des variables ?
Par exemple, il me semble qu'il est impossible d'isoler x dans y = (1-x²)+x(ln(x-5)+3)-x(1+ln(5-x)) (exprimer x en fonction de y)

Si non, existe-t-il alors une démarche "systématique" pour isoler ladite variable ? (j'ai penser à écrire la fonction comme une suite de composée dont on pourrait ensuite "inverser" l'ordre, mais dès lors que la variable apparaît plusieurs fois, cela ne marche plus)

Si oui, peut-on caractériser les variables que l'on peut isoler/celle que l'on ne peut pas isoler ?

Merci d'avance
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[albanxiii]

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2. La courtoisie est de rigueur sur ce forum : pour une demande de renseignements bonjour et merci devraient être des automatismes.

[invite9020b043]

Je vous prie de m'excuser,

Bonjour,
Je me demandais cette après-midi, existe-t-il des équations dont on ne peut isoler littéralement une des variables ?
Par exemple, il me semble qu'il est impossible d'isoler x dans y = (1-x²)+x(ln(x-5)+3)-x(1+ln(5-x)) (exprimer x en fonction de y)

Si non, existe-t-il alors une démarche "systématique" pour isoler ladite variable ? (j'ai penser à écrire la fonction comme une suite de composée dont on pourrait ensuite "inverser" l'ordre, mais dès lors que la variable apparaît plusieurs fois, cela ne marche plus)

Si oui, peut-on caractériser les variables que l'on peut isoler/celle que l'on ne peut pas isoler ?

Merci

[gg0]

Bonjour.

Il n'y a pas de méthode systématique, ni même de méthode générale algébrique. Des équations ont plusieurs, voire une infinité de solutions de la forme x= ... Et dès qu'on sort des équations polynomiales de bas degré, on n'a plus de méthode.
En lien avec cela les notions d'étude de fonction, de sens de variation et d'injectivité ou bijectivité.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedd63ac7a]

Aucune méthode systématique, mais il existe des cas particuliers sur lesquels on peut dire des choses: .
Exemples:

A) Si on considère une équation algébrique P(x)=y, P un polynôme en x de IR[x].
Si on recherche la possibilité d'extraire x en fonction de y il y a plusieurs cas possibles
1) degré de P = deg(P)<=4 on pourra en théorie le faire algébriquement au moyen de radicaux.
2) deg(P)>=5 d'une façon générale on ne pourra pas le faire algébriquement. Mais théoriquement, on pourra le faire à partir du théorème des fonctions implicites qui nous assurera dans des conditions déterminées de l'existence ou non de solutions.

B) Si maintenant l'équation donnée est plus compliquée, comme la vôtre et de la forme P(x, ln(x))=y, P un polynôme algébrique de IR[X,Y], contenant au moins deux termes de la forme ax^n (ln(x))^p non nul, l'un avec n non nul et l'autre avec p non nul, alors il n'y a aucune solution algébrique. Ce qu'on peut prouver parce que ln(x) est une fonction transcendante sur IR[X]. Il y a cependant encore ici une solution théorique par le théorème des fonctions implicites.

La seule méthode systématique de résolution est théorique, c'est l'application du théorème des fonctions implicites qui conduit à préciser des méthodes de résolution par approximation pour obtenir des solutions.

Voilà, à un niveau élémentaire ce qu'on peut dire de cette question.

[invite9020b043]

Je vous remercie pour votre réponse.