Limite fonctions à deux variables

[Gumus07]

Bonjour,
Soit une fonction à deux variables, pouvez vous m'aider concernant les questions suivantes:
Je sais que si on trouve deux suites et , toutes deux convergentes vers et telles que , alors on dit que n'existe pas.
A présent pourquoi si on trouve une suite de vecteurs convergente vers , telle que , alors on dit que la limite n'existe pas ?

Est ce qu'on peut dire qu'une fonction a une limite égale à l'infini en un point ?
Par exemple: Dans un calcul d'une limite vers d'une certaine fonction , j'ai utilisé le changement en coordonnées polaires et j'ai trouvé
Est ce que je conclus que la limite de n'existe pas ou qu'elle est égale à l'infini?
Merci pour vos réponses.
Cordialement
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[pilum2019]

Pour la question 1 , trouver une (je dis bien UNE) suite de couple (xn;yn) telle que f(xn;yn) converge ne suffit pas à dire que f a une limite en (a ; b).
Il faut que ça converge pour TOUTE suite (xn;yn) qui tend vers (a;b) et avec la MEME limite pour toutes ces suites.
Donc si pour une suite (xn;yn) tu trouve que la limite c'est +00, on peut rien ENCORE dire.
Si ça se trouve, pour une autre suite (xn;yn) tu trouveras que f converge vers...2.

[pilum2019]

Pour la question 2, non, tu ne peux pas conclure, sauf si tu as une information supplémentaire sur la convergence, genre la convergence ne dépend pas de l'angle theta.

Contre-exemple :voici une fonction définie sur R² -(0;0) par :
on pose R et theta = coordonnées polaire de (x;y)

Cas 1) theta différent de 0 : dans ce cas on a f(x;y)= exp(|theta|/R²)
cas 2) theta = 0 : dans ce cas f(x;y) = 1/R

On voit facilement que pour theta fixé, la limite de la fonction quand R tend vers 0 est +00.
mais si je prend une suite de couple (xn;yn) telle que theta(n) = (Rn)² où Rn tends vers 0,
alors la limite de la fonction sera exp(1) et PAS +00.

[Gumus07]

Bonjour,
Merci pour votre réponse.
Pour la 1er question: Je sais que pour dire que la limite d'une fonction est égale à un certain , il faut le démontrer pour n'importe quelle suite. Mais pour le cas de l'infini, j'ai trouvé un livre qui affirme ce que je dis et en plus certains exercices résolu aussi??

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gumus07]

Pour la question 2, non, tu ne peux pas conclure, sauf si tu as une information supplémentaire sur la convergence, genre la convergence ne dépend pas de l'angle theta.

Contre-exemple :voici une fonction définie sur R² -(0;0) par :
on pose R et theta = coordonnées polaire de (x;y)

Cas 1) theta différent de 0 : dans ce cas on a f(x;y)= exp(|theta|/R²)
cas 2) theta = 0 : dans ce cas f(x;y) = 1/R

On voit facilement que pour theta fixé, la limite de la fonction quand R tend vers 0 est +00.
mais si je prend une suite de couple (xn;yn) telle que theta(n) = (Rn)² où Rn tends vers 0,
alors la limite de la fonction sera exp(1) et PAS +00.

Je n'ai pas bien compris votre contre exemple, c'est quoi la fonction???
Dans ma question, j'ai bien précisé que ma limite est égale à l'infini, quelque soit theta??
A vrai dire ce que je cherche à comprendre, est ce qu'on peut dire que qu'une fonction à deux variables à valeur dans R, admet une limite égale à l'infini parce que je n'ai trouvé dans aucun des livres que j'ai à ma disposition une définition de cela. Donc quand je fais des calculs et je trouve que la limite est égale à l'infini, est ce que je dis que la limite est égale à l'infini ou que la limite de cette fonction n'existe pas?

[JB2017]

Bonjour
Je ne vois pas de problème à dire que f(x,y) tend vers quand (x,y) tend vers 0.

Attention tout de même quand on parle de limite pour une fonction, pour beaucoup, cela sous-entend que la limite est finie. Donc pour éviter tout conflit il vaut mieux éviter de dire f admet pour limite +l'infini. Dire tend vers + l'infini ou diverge vers +\infini.
Vocabulaire mis à part, il faut bien comprendre ce que cela veut dire:

tel que s.t alors (la norme étant celle qu'on veut)

[pilum2019]

Voici un autre contre-exemple, plus clair (j'espère) :

f est définie sur R² -(0;0) par :
cas 1) si y = 0, alors f(x;0) = 1/|x|.
cas 2) si y différent de 0, alors f(x;y) = |y|/(x²+y²).

La fonction est donc parfaitement définie.
Maintenant, fixons theta, et voyons ce qui se passe si R tends vers 0.
je rappelle que theta et R sont les coordonnées polaires de (x;y).

Cas a) Si theta = 0 ou pi, alors comme y = R sin(theta), et x = R cos(theta)
nous avons donc y = 0 et |x| = R.
Donc f(x;0) = 1/R. Et si R tends vers 0 alors f tends vers +oo.
Conclusion: si theta = 0 ou pi, alors lim f quand R tend vers 0 vaut bien +oo.

cas b) Theta différend de 0 et pi. Donc y est différend de 0.
Dans ce cas, on obtient après simplification : f(x;y) = |sin(theta)|/R .
Theta étant fixé et différend de 0 ou pi, alors lim |sin(theta)|/R = +oo, si R tend vers 0.
Conclusion : si theta différend de 0 ou pi, alors lim f quand R tend vers 0 vaut bien +oo.

Conclusion finale, si on FIXE la valeur de theta, et si on fait tendre R vers 0, alors la limite de f est +oo.
Et ceci, ça marche pour TOUTES les valeurs de theta.

MAIS MAIS MAIS calculons f(x;x²) :
f(x;x²) = x²/(x²+x^4) = 1/(1+x²).
Si x tend vers 0, alors le point (x ; x²) tend vers (0;0).
MAIS f(x;x²) tends vers...1 et PAS +oo. Nous avons encore un contre-exemple.

[Gumus07]

Bonjour
Je ne vois pas de problème à dire que f(x,y) tend vers quand (x,y) tend vers 0.

Attention tout de même quand on parle de limite pour une fonction, pour beaucoup, cela sous-entend que la limite est finie. Donc pour éviter tout conflit il vaut mieux éviter de dire f admet pour limite +l'infini. Dire tend vers + l'infini ou diverge vers +\infini.
Vocabulaire mis à part, il faut bien comprendre ce que cela veut dire:

tel que s.t alors (la norme étant celle qu'on veut)

Merci pour votre réponse, je vois plus clair!
Mais qu'est ce qu'on veut dire par limite d'une fonction n'existe pas??

[Gumus07]

Voici un autre contre-exemple, plus clair (j'espère) :

f est définie sur R² -(0;0) par :
cas 1) si y = 0, alors f(x;0) = 1/|x|.
cas 2) si y différent de 0, alors f(x;y) = |y|/(x²+y²).

La fonction est donc parfaitement définie.
Maintenant, fixons theta, et voyons ce qui se passe si R tends vers 0.
je rappelle que theta et R sont les coordonnées polaires de (x;y).

Cas a) Si theta = 0 ou pi, alors comme y = R sin(theta), et x = R cos(theta)
nous avons donc y = 0 et |x| = R.
Donc f(x;0) = 1/R. Et si R tends vers 0 alors f tends vers +oo.
Conclusion: si theta = 0 ou pi, alors lim f quand R tend vers 0 vaut bien +oo.

cas b) Theta différend de 0 et pi. Donc y est différend de 0.
Dans ce cas, on obtient après simplification : f(x;y) = |sin(theta)|/R .
Theta étant fixé et différend de 0 ou pi, alors lim |sin(theta)|/R = +oo, si R tend vers 0.
Conclusion : si theta différend de 0 ou pi, alors lim f quand R tend vers 0 vaut bien +oo.

Conclusion finale, si on FIXE la valeur de theta, et si on fait tendre R vers 0, alors la limite de f est +oo.
Et ceci, ça marche pour TOUTES les valeurs de theta.

MAIS MAIS MAIS calculons f(x;x²) :
f(x;x²) = x²/(x²+x^4) = 1/(1+x²).
Si x tend vers 0, alors le point (x ; x²) tend vers (0;0).
MAIS f(x;x²) tends vers...1 et PAS +oo. Nous avons encore un contre-exemple.

Merci pour votre réponse. Mais si je vous donne cette limite à calculer, quel sera le résulat?

Quand j'ai fait le calcul avec les coordonnées polaires, j'ai trouvé !!!

[JB2017]

Que la limite soit finie ou infinie, dire que la limite n'existe pas ça veut tout simplement dire que la définition n'est pas vérifiée.

exemple f(x,y)= x^2/(x^2+y^2) n'a pas de limite quand (x,y) tend vers (0,0). La définition n'est pas vérifiée.
Mais dans la pratique on peut trouver 2 comportement différents en suivant des chemins différents.

Par exemple f(x,0)=1 et f(0,y)=0 suffit pour montrer qu'il n'y a pas de limite.

[pilum2019]

Traitons le cas f(x;y) = (|x|+|y|)/(x²+y²).
On démontre facilement qur f(x;y) >= 1/(x²+y²)^0,5.
donc si (x;y) tend vers (0;0) alor (x²+y²)^0,5 tends vers 0 et f tend vers +oo.
donc pas de soucis pour cette fonction, elle tend bien vers +oo quand (x;y) tend vers (0;0).

Ici il y a adéquation entre le résultat en polaire et le résultat en coordonnées (x;y).
La raison fondamentale est que, si on passe en polaire, la façon pour la fonction f de tendre vers +oo ne vas PAS dépendre de l'angle theta. En effet on a f >= 1/R.

[Gumus07]

Bonjour,
J'ai bien compris maintenant. Merci pour vos réponses et votre aide à vous deux.
Cordialement