résolution d'une EDP

[luis225]

Bonjour, j'ai traité un exemple d'équations aux dérivées partielles, j'ai trouvé la fonction f(x,y) = s0(x-1/2y²) mais cette fonction ne vérifie pas l'équation, pourrais-je avoir quelques suggestions ? Merci, cordialement.EDP.pdf
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[Resartus]

Bonjour,

Difficile de vous aider sans avoir le détail de ce que vous avez fait pour trouver ce résultat bizarre. Que vient faire ce s0?

A moins que vous ne vouliez écrire ftilde? Les fonctions à trouver sont bien de ce genre, mais le terme à l'interieur n'est pas x-1/2y². Pensez aux symétries....

[luis225]

Veuillez m'excuser pour le manque d'informations voici une photo de mon raisonnement, par contre je ne saisis pas trop quand vous parlez de symétrie

[JB2017]

Bonjour
Si je peux me permettre: juste après "dx =y ds " , je ne comprends pas "or y(s)=s....."
pourquoi?

[A voir en vidéo sur Futura]

[azizovsky]

tu'a deux équation dx/y=-dy/x=ds ou dx/ds=y et dy/ds=-x,...., est ce que tu comprend la signification géométrique de tous ça ?

[Resartus]

Bonjour,
Non, votre "identification" est incorrecte : on ne peut pas, au vu de l'équation, déduire que dy/ds vaut x et dx/ds vaut y. Cela pourrait être multiplié par n'importe quel facteur ou même par des tas de fonctions.
Partez plutôt de l'équation initiale, qu'on peut transformer en df/dx²=df/dy².
Comme c'est vrai pour tout x et y, cela veut dire que la fonction doit dépendre seulement de x²+y² (c'est ce que je voulais dire par symétrie)

Il ne reste plus qu'à trouver la forme qui va bien pour que cela donne ftilde(x) quand y vaut zero.

[luis225]

je ne comprends pas la signification géométrique , pourriez-vous m'éclairer un peu plus ?

[luis225]

comment en êtes vous arrivés à df/dx²=df/dy² ?

[JB2017]

Rebonjour
D'abord je pense que @reshartus voulait dire . C'est bien ça? D'autre part je pense que c'est faux.
Par contre, il a raison de dire que f ne dépend que de

Sinon tu as

[JB2017]

(suite)
Sinon si on revient sur tes calculs, tu as



et

Donc (x'(s), y'(s)) et (y(s),-x(s)) sont colinéaires (puisque tous les 2 orthogonaux au gradient de f)

On a donc

f est donc constante sur les courbes d'équation x^2+u^2=c, c'est à dire f(x,y)=u(x^2+y^2)
où u est une fonction quelconque (suffisamment régulière).
Maintenant il reste à exprimer la condition initiale.

[luis225]

Merci beaucoup mais je n'assimile bien pas la 3ème équation

[Resartus]

Rebonjour
D'abord je pense que @reshartus voulait dire . C'est bien ça? D'autre part je pense que c'est faux.
Par contre, il a raison de dire que f ne dépend que de

Non, il faut bien lire x² et y².
L'équation s'écrit 1/x.df/dx=1/y.df/dy; xdx c'est 1/2.d(x²) et ydy=1/2.d(y²)
Si, pour tout x et tout y, la dérivée de f par rapport à x² est égale à sa dérivée par rapport à y², f(x,y) ne peut dépendre que de x²+y², elle est de la forme g(x²+y²)

Et comme g(x²)=ftilde(x), la réponse cherchée est tout simplement ftilde(racine(x²+y²))

[JB2017]

Ha oui, pardon. J'avais pas mal interprété. donc ok.
Bon maintenant je suis resté sur la méthode que @luis215 a voulu utiliser, qui en fait est la méthode des caractéristiques.
cela lui fait donc 2 approches différentes.

[azizovsky]

Je ne comprend pas la solution, d'une façon générale, une intégrale de 1er ordre de la forme avec , on admet que , ce qui donne , l'intégrale complète est



on'a:



maintenant,il faut intervenir les conditions..., car on doit intervenir ''Cauchy''

je suis en retard pour le travail ...., à vous .