A propos de Pi

[minushabens]

Pourrait-on dire que concernant la façon dont a été imaginé une voiture, l'opinion d'un conducteur est plus pertinente que celle des ingénieurs qui l'on conçues ? [/COLOR][/LEFT]

c'était une boutade.

mais plus sérieusement (enfin...) si je reprends la position d'Alain Connes, qui pense que les propriétés des nombres entiers ont une réalité extérieure aux humains et vraie de tout temps et en tout lieu, on pourrait soutenir que les objets mathématiques (disons les objets fondamentaux comme les nombres) ne sont qu'observés et décrits par les mathématiciens (et pas créés) mais que la logique est elle bien une création humaine. En d'autres termes, dans une autre galaxie les mathématiciens du cru découvriraient les mêmes théorèmes qu'ici, mais par des moyens différents. Bien entendu on ne peut pas prouver une telle chose.
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[Deedee81]

Salut,

une grande partie des mathematiciens ont vraiment la sensation de decouvrir des choses qu'ils leur sont independantes.

Ca peut être le cas sans même être platonicien.

Une fois les axiomes de la théorie fixés (et quelques autres "détails" comme les structures), tout théorème est implicitement inclut dans ces axiomes.
Il faut juste les trouver et les démontrer.

Et donc, quand un mathématicien essaie de trouver des théorèmes et leurs démonstration, il découvre des choses qui lui sont bel et bien indépendantes. Mais elles ne pré-existent qu'à travers les axiomes. Et donc la seule "réalité pré-existante" c'est un autre mathématicien qui a eut l'idée de choisir ces axiomes là.

Pour un platonicien c'est différent car il va considérer que les axiomes ne sont pas quelconques. Voit la remarque plus haut sur l'hypothèse du continu message 50.
Alors qu'un formaliste (comme moi d'ailleurs) va juste considérer que c'est un choix comme un autre qu'on fait pour des raisons d'utilité pratique, de richesse des structures qui en découlent etc...

[syborgg]

Salut,



Ca peut être le cas sans même être platonicien.

Une fois les axiomes de la théorie fixés (et quelques autres "détails" comme les structures), tout théorème est implicitement inclut dans ces axiomes.
Il faut juste les trouver et les démontrer.

Et donc, quand un mathématicien essaie de trouver des théorèmes et leurs démonstration, il découvre des choses qui lui sont bel et bien indépendantes. Mais elles ne pré-existent qu'à travers les axiomes. Et donc la seule "réalité pré-existante" c'est un autre mathématicien qui a eut l'idée de choisir ces axiomes là.

Pour un platonicien c'est différent car il va considérer que les axiomes ne sont pas quelconques. Voit la remarque plus haut sur l'hypothèse du continu message 50.
Alors qu'un formaliste (comme moi d'ailleurs) va juste considérer que c'est un choix comme un autre qu'on fait pour des raisons d'utilité pratique, de richesse des structures qui en découlent etc...

Je voulais dire : "qui sont independantes de l'esprit humain".

[Cts31]

Salut,

2) Il est egalement surprenant de voir apparaitre dans des situations ou on ne l'attend pas, en probabilite ou aussi en arithmetique (la somme de la serie , la probabilite que deux nombre entiers tires au hasard soient premiers entre eux, etc..). J'ai entendu dire qu'on arrive a comprendre ces apparition en faisant intervenir les series de Fourrier : quelqu'un en sait plus sur le sujet ?

Mon premier réflexe de réponse est que le mot "tour circulaire" ou le nombre "pi" c'est la même chose. Deux langages différents mais le même objet.
Si on retrouve "pi" ailleurs, c'est que la notion de "tour circulaire" se propage d'une façon ou d'une autre.

Le propre des mathématiques est aussi de céder à la puissance des formules et de ne pas bloquer sur la complexité sous-jascente.
Ce n'est pas parce qu'on ne comprend pas comment le "tour circulaire" se propage qu'il ne se propage pas.
Les formules sont là pour l'accepter de force sans trop réfléchir. En mathématiques, la rigueur de raisonnement (souvent le calcul) fait foi.

[Deedee81]

Je voulais dire : "qui sont independantes de l'esprit humain".

Je n'ai pas dit différemment, non ????

[Médiat]

c'était une boutade.

Je l'avais bien compris ainsi (le smiley) d'où ma réponse qui est aussi une boutade (le smiley)

mais plus sérieusement (enfin...) si je reprends la position d'Alain Connes, qui pense que les propriétés des nombres entiers ont une réalité extérieure aux humains et vraie de tout temps et en tout lieu, on pourrait soutenir que les objets mathématiques (disons les objets fondamentaux comme les nombres) ne sont qu'observés et décrits par les mathématiciens (et pas créés) mais que la logique est elle bien une création humaine. En d'autres termes, dans une autre galaxie les mathématiciens du cru découvriraient les mêmes théorèmes qu'ici, mais par des moyens différents. Bien entendu on ne peut pas prouver une telle chose.

Oui : si on est platonicien, alors on est platonicien.

[Cts31]

Pour préciser sur la propagation, je dois sans doute dire une propagation en mémoire, pas forcément une propagation visible.

On peut écrire A=somme infinie de termes en pi mais on le fait uniquement parce que pi est un objet connu du mathématicien, il s'est donc propagé dans sa mémoire.

Or, pi entre dans la mémoire des mathématiques à partir du moment où on a voulu formaliser le tour de cercle.

[Noress]

Bonjour,
Dans un séminaire, où nous sommes probablement en première ligne dans la recherche mathématique, dans le cadre de son travail de programmation d'assistant de preuve, Alain Prouté rejoint Médiat lorsqu'il dit qu'une preuve, ce qui compte c'est de savoir qu'elle existe...
Cordialement.

[stefjm]

Mon premier réflexe de réponse est que le mot "tour circulaire" ou le nombre "pi" c'est la même chose. Deux langages différents mais le même objet.
Si on retrouve "pi" ailleurs, c'est que la notion de "tour circulaire" se propage d'une façon ou d'une autre.

Dès qu'il y a une périodicité, on tombe sur
https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe...groupes_de_Lie
pour le tour et pour le radian

[LeMulet]

A mon sens, Pi n'est pas mystérieux, c'est juste un nombre dont la valeur pratique est inconnaissable mais qui est connu par sa définition

Je ne comprends pas bien la notion de valeur pratique, mais a priori je dirais que ces deux remarques s'applique aussi à 42.

Valeur concrète alors.
Ce que je veux dire, c'est que si je prend la figure d'un cercle, je ne peux par trouver la valeur de pi sur la base de ses mensurations, mais uniquement une valeur approchée.

Ce qui n'est pas le cas de 42 objets, qu'on peut compter avec exactitude.

De plus, pour ma part, parler de "la valeur de pi" est incorrect si le nombre de décimales est infini (comme pour d'autres nombres (1/3 par exemple)), et sa valeur est uniquement et intrinsèquement reliée à sa définition, rien de plus, rien de moins.
S'il manque ne serait-ce qu'une décimale parmi l'infinité de toutes ses décimales, ce n'est pas pi.

[syborgg]

Valeur concrète alors.
Ce que je veux dire, c'est que si je prend la figure d'un cercle, je ne peux par trouver la valeur de pi sur la base de ses mensurations, mais uniquement une valeur approchée.

Ce qui n'est pas le cas de 42 objets, qu'on peut compter avec exactitude.

De plus, pour ma part, parler de "la valeur de pi" est incorrect si le nombre de décimales est infini (comme pour d'autres nombres (1/3 par exemple)), et sa valeur est uniquement et intrinsèquement reliée à sa définition, rien de plus, rien de moins.
S'il manque ne serait-ce qu'une décimale parmi l'infinité de toutes ses décimales, ce n'est pas pi.

Tu devrais definitivement ouvrir une discution sur les mathematiques constructivistes !

[minushabens]

Oui : si on est platonicien, alors on est platonicien.

il y a un avantage à embrasser le point de vue platonicien: c'est plus motivant de se dire qu'on part à la découverte d'une réalité cachée, plutôt que se dire qu'on étudie des systèmes totalement arbitraires. Je pense que quand Hilbert dit : "wir müssen wissen" il se rapproche du point de vue platonicien (?)

[syborgg]

il y a un avantage à embrasser le point de vue platonicien: c'est plus motivant de se dire qu'on part à la découverte d'une réalité cachée, plutôt que se dire qu'on étudie des systèmes totalement arbitraires. Je pense que quand Hilbert dit : "wir müssen wissen" il se rapproche du point de vue platonicien (?)

Tout a fait d'accord : en tout cas personellement, ca a toujours ete un moteur essentiel de motivation dans mes recherches.

[stefjm]

De plus, pour ma part, parler de "la valeur de pi" est incorrect si le nombre de décimales est infini (comme pour d'autres nombres (1/3 par exemple)), et sa valeur est uniquement et intrinsèquement reliée à sa définition, rien de plus, rien de moins.
S'il manque ne serait-ce qu'une décimale parmi l'infinité de toutes ses décimales, ce n'est pas pi.

Pourquoi se concentrer sur les décimales de pi puisqu'elle sont si peu pratiques?

[Médiat]

il y a un avantage à embrasser le point de vue platonicien: c'est plus motivant de se dire qu'on part à la découverte d'une réalité cachée, plutôt que se dire qu'on étudie des systèmes totalement arbitraires.

C'est votre choix, pas le "choix" obligatoire pour tout le monde, vous donnez un exemple de raisonnement circulaire (je vous laisse l'exhiber).

Le formalisme révèle peut-être des mystères encore plus intéressants

[Cts31]

il y a un avantage à embrasser le point de vue platonicien: c'est plus motivant de se dire qu'on part à la découverte d'une réalité cachée, plutôt que se dire qu'on étudie des systèmes totalement arbitraires.

Votre approche est curieuse pour un forum de mathématiques.

En général, on entend que les mathématiciens et les informaticiens adorent manipuler un système fait de lois exactes pour optimiser des choses déjà connues.

Ceux qui aiment la vérité cachée sont plutôt des physiciens, et encore, seulement les physiciens ambitieux. Pour publier, il faut plus être mathématicien et informaticien qu'ambitieux

[Médiat]

Tout a fait d'accord : en tout cas personellement, ca a toujours ete un moteur essentiel de motivation dans mes recherches.

Chacun fait un choix libre, c'est le contraire qui m'a poussé vers la recherche, et fait choisir la logique.

[Médiat]

Valeur concrète alors.

Mais pi est tout aussi concret (ou tout aussi peu concret que 42) c'est juste l'habitude qui change, diriez vous que 654654654321345746313218431358 431213843158431538431354354841 355413554354313845841 est concret (et pratique) ?

[syborgg]

Chacun fait un choix libre, c'est le contraire qui m'a poussé vers la recherche, et fait choisir la logique.

Tout a fait d'accord, c'est la richesse des sensibilites et des points de vue qui est interessante en maths (et dans la vie en general). Comme je l'ai deja dis, la position que tu representes est tout a fait respectable et je ne la critique pas.

[LeMulet]

il y a un avantage à embrasser le point de vue platonicien: c'est plus motivant de se dire qu'on part à la découverte d'une réalité cachée, plutôt que se dire qu'on étudie des systèmes totalement arbitraires.

Pour ma part ce point de vue est illogique.

Très sommairement :

Si on part du principe qu'il existe un monde mathématique caché, alors il l'est (caché...).
Il est donc inutile de chercher à découvrir les relations entre ce qui déjà connu.

Donc, si on accepte la possibilité de la notion de nature, soit sa nature est d'être caché, soit sa nature est d'être découvrable.
Si on peut découvrir des nouvelles relations dans ce monde mathématique (ce qui semble être le cas, et un seul cas suffit à le démontrer), alors soit sa nature n'est pas d'être caché, soit il n'a pas de nature.

Et d'ailleurs, en mathématiques on ne parle pas de "la nature" des choses... puisqu'on peut faire ce qu'on veut.
Je pense que si on n'est pas conscient de ce fait (on peut faire ce qu'on veut), alors on ne peut que développer l'arbre inférentiel sur la base des faits connus, limitant inexorablement les mathématiques (on fait de l'ingénierie, complexe certes).
Mais si on en est conscient, alors on produit des mathématiques (on fait de la recherche).

Donc plus que découvrir, le mathématicien produit, en faisant des essais, de nouvelles branches susceptibles (rien n'est certain) de permettre la recherche des inférences utiles.

Par exemple (je ne suis pas mathématicien mais c'est pour illustrer).
On peut imaginer une nouvelle branche des mathématique (c'est mal dit mais on peut en comprendre le sens) qui spécifierait (définition) qu'il existe un espace mathématique dans lequel le rapport du rayon (définition) et de la circonférence (définition) du cercle (définition) vaut pi au carré.
Si ça n'apporte rien, qu'on ne peut y trouver aucun lien intéressant avec ce qui est déjà connu (aucune ou pas assez de cohérence) alors c'est une fausse bonne idée et on l'écarte.

Et ce fait même, cette possibilité de choisir d'écarter ou non des idées indique bien qu'on n'a pas affaire à un monde indépendant du chercheur...

[LeMulet]

Mais pi est tout aussi concret (ou tout aussi peu concret que 42) c'est juste l'habitude qui change, diriez vous que 654654654321345746313218431358 431213843158431538431354354841 355413554354313845841 est concret (et pratique) ?

Vous me parlez comme un mathématicien et je ne vous contredirais pas.
Ce que je fais simplement remarquer, c'est qu'il existe différents points de vue (le mien n'est pas plus ou moins valable que "le vôtre" (celui qui fait consensus chez la majorité des mathématiciens du 21eme siècle)).
Ce point de vue est un choix, et il a des conséquences (utiles j'imagine puisqu'il est retenu) sur l'ensemble des mathématiques où ce choix est appliqué, c'est tout.

[syborgg]

On peut faire ce qu'on veut en maths ?!!!!
On dirais que tu n'a jamais fait de maths, au contraire on est contraint sans cesse par une realite dure comme de la pierre ! Essaye de prouver une conjecture qui resiste depuis longtemps, tu verras si on fait ce qu'on veut...

[Deedee81]

On peut faire ce qu'on veut en maths ?!!!!
On dirais que tu n'a jamais fait de maths, au contraire on est contraint sans cesse par une realite dure comme de la pierre ! Essaye de prouver une conjecture qui resiste depuis longtemps, tu verras si on fait ce qu'on veut...

Si, si, on rajoute un axiome "la conjecture est vraie" et on reporte à plus tard la vérification de la consistance.
Je rigole à peine (souvent les mathématiciens continuent "comme si" en espérant qu'elle soit juste)

[LeMulet]

Essaye de prouver une conjecture qui résiste depuis longtemps, tu verras si on fait ce qu'on veut...

C'est peut-être aussi pour ça qu'elle résiste alors.

Par exemple, si vous créez un micro-domaine dont vous savez définir le cadre de validité.
Il se peut tout à fait que dans ce mini-cadre tout est cohérent et logique et que pris tout seul il ne présente certes que peu d’intérêt, mais qu'il présente la possibilité d'être connecté à des éléments du domaine beaucoup plus vaste (celui auquel vous faites implicitement référence en disant qu'on ne peut pas tout faire à l'intérieur de celui-ci, ce qui est exact).

Ce micro-domaine à l'instar d'une fonction informatique dans un programme, peut servir à prouver (à relier) des choses à l'intérieur du domaine plus vaste.

On ignore à ce jour s'il est possible de prouver le théorème de Fermat par des raisonnements n'utilisant que les propriétés arithmétiques et algébriques des entiers déjà connues de son temps, mais l'on sait que certaines pistes, telles que la méthode de descente infinie, échouent sous la forme qui réussit pour les petites valeurs de n. La plupart des spécialistes estiment pour cette raison qu'une approche « élémentaire » est vouée à l'échec⁴¹.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Dernie...A8me_de_Fermat

Un exemple au hasard, employé dans une partie de la démonstration du dernier théorème de Fermat.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Extension_cyclotomique

Quelle drôle d'idée cette extension cyclotomique, n'est-ce pas ? (mais on peut le faire)

Pareil pour "la construction" des nombre imaginaires etc etc etc.

[stefjm]

Chacun fait un choix libre, c'est le contraire qui m'a poussé vers la recherche, et fait choisir la logique.

Monsieur Spock, sortez de ce corps!

[Médiat]

la theorie des modeles moderne, il y doit y avoir pas mal de platoniciens ou au moins a tendance platonicienne;

Depuis hier je me demande pourquoi vous pensez que les modèles théoristes seraient plus platonicien que les autres logiciens (d'autant plus qu'étant modèle théoriste j'en ai côtoyé pas mal), je me demande si ce n'est pas parce qu'un modèle est, d'une certaine façon, une "incarnation" d'une théorie, ce qui lui donne par nature (et par étymologie) plus de chair, mais si pour un platonicien IN (par exemple) est un objet mathématique avec certaines propriétés, un formaliste ne voit que le modèle premier de AP, ce qui ne laisse pas beaucoup de viande.

[ansset]

De plus, pour ma part, parler de "la valeur de pi" est incorrect si le nombre de décimales est infini (comme pour d'autres nombres (1/3 par exemple)), et sa valeur est uniquement et intrinsèquement reliée à sa définition, rien de plus, rien de moins.

on peut "définir" un nombre autrement qu'en le proposant sous forme de suite de chiffres.
je ne vois pas le rapport entre "valeur" et suite possible d'écriture finie de chiffres.
tu cites 1/3 , qui est rationnel. Mais qui s'amuse à le décrire comme 0,33333......?
c'est sans intérêt et la sa valeur 1/3 est tout à fait correcte.
il en va de même pour rac(2) , qu'on peut définir sans l'écrire.
de même on peut définir pi mathématiquement de différentes manières, comme ( exemple parmi de nombreux autres )


pour le reste, je n'ai que peu d'appétence pour la philo des maths, alors je m'abstiens.

ps: j'allais dire que je m'en fous en peu ( mais pas fort , hein ! )

[syborgg]

Depuis hier je me demande pourquoi vous pensez que les modèles théoristes seraient plus platonicien que les autres logiciens (d'autant plus qu'étant modèle théoriste j'en ai côtoyé pas mal), je me demande si ce n'est pas parce qu'un modèle est, d'une certaine façon, une "incarnation" d'une théorie, ce qui lui donne par nature (et par étymologie) plus de chair, mais si pour un platonicien IN (par exemple) est un objet mathématique avec certaines propriétés, un formaliste ne voit que le modèle premier de AP, ce qui ne laisse pas beaucoup de viande.

Je pensais cela car en theorie des modeles plus que dans d'autres parties de la logique les chercheurs font des liens avec d'autres parties des maths (groupes, geometries...voir par exemple la theorie geometrique de la stabilite, la theorie des groupes stables de Poizat, ou les applications de Hrushowski a la geometrie algebrique). et que ces liens peuvent paraitre parfois suffisamment surprenants pour etre tente d'adopter une attitude platonicienne. Mais je me trompe peu etre.

[Deedee81]

Salut,

on peut "définir" un nombre autrement qu'en le proposant sous forme de suite de chiffres.
je ne vois pas le rapport entre "valeur" et suite possible d'écriture finie de chiffres.

Pire. Pi peut avoir un nombre fini de décimales si on choisit une base appropriée : https://fr.wikipedia.org/wiki/Base_(...s_non_standard
(celui qui dit que je triche aura affaire à moi )

Je pensais cela car en theorie des modeles plus que dans d'autres parties de la logique les chercheurs font des liens avec d'autres parties des maths (groupes, geometries...voir par exemple la theorie geometrique de la stabilite, la theorie des groupes stables de Poizat, ou les applications de Hrushowski a la geometrie algebrique). et que ces liens peuvent paraitre parfois suffisamment surprenants pour etre tente d'adopter une attitude platonicienne. Mais je me trompe peu etre.

Je vais peut-être dire une grosse bêtise, Médiat confirmera ou me bastonnera, mais un logicien n'est-il pas aussi la plupart du temps spécialiste des modèles ?

[syborgg]

Dans la logique il y a les aspects syntaxiques et les aspects semantiques. Les theoriciens des modeles s'interessent a la deuxieme categorie pour simplifier.