A propos de Pi

[syborgg]

Salut,

deux questions :

1) Archimede a prouve les 3 choses suivantes :
* le rapport du perimetre au diametre d'un cercle est une constante A.
* le rapport de l'aire au carre du rayon d'un disque est une constante B.
* A=B
Le troisieme point est assez surprenant a priori quand on y pense. Sait on aujourd'hui l'expliquer ?


2) Il est egalement surprenant de voir apparaitre dans des situations ou on ne l'attend pas, en probabilite ou aussi en arithmetique (la somme de la serie , la probabilite que deux nombre entiers tires au hasard soient premiers entre eux, etc..). J'ai entendu dire qu'on arrive a comprendre ces apparition en faisant intervenir les series de Fourrier : quelqu'un en sait plus sur le sujet ?
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[minushabens]

pour le point 1 tu aurais pu citer aussi les sphères de toutes dimensions, ou pi intervient de la même manière. Comme on peut calculer ces volumes en intégrant le long d'un rayon, le nombre pi dans le volume de la boule de dimension n vient directement de la dimension (n-1). Mais ça tu le sais. Je ne sais pas s'il y a une justification plus profonde.

pour le point 2, en ce qui concerne les probas je pense que le lien avec pi vient de la fonction exponentielle : pi est la période de t->exp(it). Je pourrai développer plus tard mais effectivement cette fonction intervient quand on s'intéresse aux diverses fonctions génératrices.

[gg0]

Bonjour.

La démonstration d'Archimède a l'avantage de bien montrer que le Pi de l'aire n'est que la reprise de celui du périmètre. Donc il n'y a pas de mystère. Et c'est ce que Minushabens généralise en disant "le nombre pi dans le volume de la boule de dimension n vient directement de la dimension (n-1)".

Cordialement.

[LeMulet]

1) Archimede a prouve les 3 choses suivantes :
* le rapport du perimetre au diametre d'un cercle est une constante A.
* le rapport de l'aire au carre du rayon d'un disque est une constante B.
* A=B
Le troisieme point est assez surprenant a priori quand on y pense. Sait on aujourd'hui l'expliquer ?

Je pense qu'Archimède l'avait déjà expliqué de son temps en démontrant l'équivalence du cercle et du triangle.

Tout cercle est équivalent^[1] à un triangle rectangle dans lequel l’un des côtés de l’angle droit est égal au rayon du cercle et la base (c’est-à-dire l’autre côté de l’angle droit) égale au périmètre du cercle.

https://mathantique.hypotheses.org/207

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

2) Il est egalement surprenant de voir apparaitre dans des situations ou on ne l'attend pas, en probabilite ou aussi en arithmetique (la somme de la serie , la probabilite que deux nombre entiers tires au hasard soient premiers entre eux, etc..). J'ai entendu dire qu'on arrive a comprendre ces apparition en faisant intervenir les series de Fourrier : quelqu'un en sait plus sur le sujet ?

Et le contraire aussi!
Par exemple, pi n'intervient pas dans l'aire de la lunule (https://fr.wikipedia.org/wiki/Lunule...9om%C3%A9trie)).

Pour les séries de Fourier, c'est plutôt facile.
La décomposition en série de F d'un créneau (constante par morceau) est en 1/n, celle de la rampe (ou identité) en 1/n^2. En prenant la valeur de la série de F en un point judicieux, le pi^2/6 sort facilement.

Voir le problème de Bâle : https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%...ion_de_Fourier

Cordialement.

[syborgg]

pour le point 1 tu aurais pu citer aussi les sphères de toutes dimensions, ou pi intervient de la même manière. Comme on peut calculer ces volumes en intégrant le long d'un rayon, le nombre pi dans le volume de la boule de dimension n vient directement de la dimension (n-1). Mais ça tu le sais. Je ne sais pas s'il y a une justification plus profonde.

pour le point 2, en ce qui concerne les probas je pense que le lien avec pi vient de la fonction exponentielle : pi est la période de t->exp(it). Je pourrai développer plus tard mais effectivement cette fonction intervient quand on s'intéresse aux diverses fonctions génératrices.

Qu'est ce que tu entends par fonction generatrice ?

[minushabens]

cette fonction par exemple (il y en a d'autres) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...babilit%C3%A9s

[syborgg]

Bonjour.

La démonstration d'Archimède a l'avantage de bien montrer que le Pi de l'aire n'est que la reprise de celui du périmètre. Donc il n'y a pas de mystère. Et c'est ce que Minushabens généralise en disant "le nombre pi dans le volume de la boule de dimension n vient directement de la dimension (n-1)".

Cordialement.

Ok cela repond a ma premiere question, merci.

[stefjm]

pi est une période (https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3...iodes#Exemples)


pi intervient dans le théorème des résidus,

https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post5075500

Et il y a toujours 2pi quelque part car

https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post5051466

[Médiat]

pi est une période

Intéressant, connaissez vous un nombre qui ne soit pas une période ?

[stefjm]

J'aimerai bien...mais je n'ai pas le niveau.
En fait, je voulais dire que 2pi était une des premières périodes rencontrées lors des études scolaires, une des plus naturelles.

[syborgg]

cette fonction par exemple (il y en a d'autres) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...babilit%C3%A9s

Ok. Si tu as un moment pour developper comme tu le proposais dans ton premier post ca m'interesse.

[eudea-panjclinne]

@ Stefjm Il s'agit ici de périodes d'intégrale : L'idée est la suivante quand vous voulez rechercher des propriétés un peu subtiles de nombres, en particulier savoir s'il sont irrationnels, transcendants et si plusieurs nombres sont indépendants algébriquement. Il est intéressant de les rechercher comme périodes d'intégrale. Par exemple avec Pi:

Période.png

Periods - Kontsevitch & Zagier

1) Archimede a prouve les 3 choses suivantes :
* le rapport du perimetre au diametre d'un cercle est une constante A.
* le rapport de l'aire au carre du rayon d'un disque est une constante B.
* A=B
Le troisième point est assez surprenant a priori quand on y pense. Sait on aujourd'hui l'expliquer ?

D'autant plus surprenant, que la propriété ne subsiste pas pour l'ellipse dont l'aire est

avec a et b les axes de l'ellipse.
Or, la circonférence de l'ellipse, quand a et b sont algébriques, est un nombre transcendant et je ne sais pas si, aujourd'hui, on a connaissance d'une quelconque relation avec Pi (en terme de dépendance ou d'indépendance algébrique).

[syborgg]

@ Stefjm Il s'agit ici de périodes d'intégrale : L'idée est la suivante quand vous voulez rechercher des propriétés un peu subtiles de nombres, en particulier savoir s'il sont irrationnels, transcendants et si plusieurs nombres sont indépendants algébriquement. Il est intéressant de les rechercher comme périodes d'intégrale. Par exemple avec Pi:

Pièce jointe 385238

Periods - Kontsevitch & Zagier


D'autant plus surprenant, que la propriété ne subsiste pas pour l'ellipse dont l'aire est

avec a et b les axes de l'ellipse.
Or, la circonférence de l'ellipse, quand a et b sont algébriques, est un nombre transcendant et je ne sais pas si, aujourd'hui, on a connaissance d'une quelconque relation avec Pi (en terme de dépendance ou d'indépendance algébrique).

Ah oui fort interessant ce que tu dis sur l'ellipse, je n'y avait pas pense !
Pour le cercle, moralement, l'idee est qu'on peut reconstituer un disque en empilant des cercles de rayon variant entre 0 et et le rayon R du disque : en "sommant" tout ca, on obtient l'aire du disque, d'ou le fait que apparait dans le perimetre et l'aire (et meme raisonnement pour les dimensions superieures).
On pourrait penser faire le meme raisonnement avec l'ellipse (l'interieur de l'ellipse est reconstituee en empilant des ellipses homothetiques). Ce qui est etonnant dans ce cas, ce n'est pas tant que n'apparait pas dans le calcul du perimetre, mais plutot qu'il se met a apparaitre dans la surface.... Sait on l'expliquer, c'est a dire pourquoi apparait un invariant du cercle dans l'ellipse ? Archimede connaissait il la formule de l'aire de l'ellipse ? sinon, qui l'a decouvert ?

[syborgg]

Pour les séries de Fourier, c'est plutôt facile.
La décomposition en série de F d'un créneau (constante par morceau) est en 1/n, celle de la rampe (ou identité) en 1/n^2. En prenant la valeur de la série de F en un point judicieux, le pi^2/6 sort facilement.

.

Mais ceci est il une methode parmi d'autres pour trouver la somme de cette serie, ou cela permet il d'expliquer l'apparition de dans cette somme ? et quid, par exemple, de la probabilite que deux nombres soient premiers entre eux ? pourquoi apparait il ici aussi ?..

[gg0]

Syborgg : "Ce qui est etonnant dans ce cas, ce n'est pas tant que n'apparait pas dans le calcul du perimetre, mais plutot qu'il se met a apparaitre dans la surface"
Cela provient du fait qu'une affinité transforme un cercle en ellipse et que l'aire de l'image est k fois celle de la figure originale, où k est le rapport de l'affinité.

Cordialement.

[syborgg]

Syborgg : "Ce qui est etonnant dans ce cas, ce n'est pas tant que n'apparait pas dans le calcul du perimetre, mais plutot qu'il se met a apparaitre dans la surface"
Cela provient du fait qu'une affinité transforme un cercle en ellipse et que l'aire de l'image est k fois celle de la figure originale, où k est le rapport de l'affinité.

Cordialement.

Il me manque des connaissances en geometrie euclidienne elementaire... ceci dit quand on y pense c'est assez intuitif en effet. Merci pour ces eclaircissements.

[stefjm]

@ Stefjm Il s'agit ici de périodes d'intégrale : L'idée est la suivante quand vous voulez rechercher des propriétés un peu subtiles de nombres, en particulier savoir s'il sont irrationnels, transcendants et si plusieurs nombres sont indépendants algébriquement. Il est intéressant de les rechercher comme périodes d'intégrale. Par exemple avec Pi:

Pièce jointe 385238

Periods - Kontsevitch & Zagier

Merci, j'ai de quoi lire pour un bon moment, surtout si je veux comprendre.

Mais ceci est il une methode parmi d'autres pour trouver la somme de cette serie, ou cela permet il d'expliquer l'apparition de dans cette somme ? et quid, par exemple, de la probabilite que deux nombres soient premiers entre eux ? pourquoi apparait il ici aussi ?..

Je ne sais pas que vous mettez derrière "expliquer".
La fonction zéta intervient à la fois coté pi et coté nombres premiers.
Cette discussion me rappelle un peu celle-ci : https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post5480554

[syborgg]

Je ne sais pas que vous mettez derrière "expliquer".
]

est un invariant du cercle ; par expliquer je veux dire : trouver ou se trouve le cercle a l'origine du dans ces differentes formules, qui a priori n'ont rien a voir avec le cercle. La theorie de Fourrier le permet elle par exemple ?

[gg0]

Bonjour.

Historiquement, Pi a été défini à partir du cercle. Dans les mathématiques "savantes" actuelles, il est plutôt un zéro d'une fonction sinus définie analytiquement (séries entière), donc sans lien immédiat avec un cercle ou tout autre objet géométrique. Donc chercher le cercle n'est peut-être pas la bonne idée.

Cordialement.

[stefjm]

est un invariant du cercle ; par expliquer je veux dire : trouver ou se trouve le cercle a l'origine du dans ces differentes formules, qui a priori n'ont rien a voir avec le cercle. La theorie de Fourrier le permet elle par exemple ?

Une série de Fourier utilise des fonctions sinus et cosinus qui sont orthogonales au sens d'un produit scalaire.
Pi/2 n'est pas loin.

[syborgg]

Alors prenons l'exemple de la probabilite que 2 nombres entiers tires au hasard soient premiers entre eux : comment expliquer l'apparition de en termes de cercle ou de fonctions trigos ?

[gg0]

Pi est une limite de nombreuses séries (ce qui n'est pas surprenant vu son origine), et cette "probabilité" (*) est une limite ..

Il est tout aussi surprenant que 1+1/2+1/4+... donne 2. mais 2 ne fait pas rêver ...

Cordialement.

(*) ce n'est pas, au sens de la théorie des probabilités, une probabilité. C'est une fréquence limite.

[stefjm]

Il est tout aussi surprenant que 1+1/2+1/4+... donne 2. mais 2 ne fait pas rêver ...

2 me fait rêver car il apparait souvent en physique.
avec pi et i

[syborgg]

Pi est une limite de nombreuses séries (ce qui n'est pas surprenant vu son origine), et cette "probabilité" (*) est une limite ..

Il est tout aussi surprenant que 1+1/2+1/4+... donne 2. mais 2 ne fait pas rêver ...

Cordialement.

(*) ce n'est pas, au sens de la théorie des probabilités, une probabilité. C'est une fréquence limite.

Alors disons que ce qui est surprenant, c'est que cette frequence limite fasse intervenir justement une des series dont Pi est limite...
Mais je me demande : y a t il des choses en maths que tu trouves surprenantes ? si oui les quelles ?

[gg0]

J'ai renoncé depuis tout petit à croire que les nombres sont magiques. Je ne suis pas Pythagoricien.
Et une bonne formation en statistiques m'a fait arrêter de confondre coïncidence et causalité.

Maintenant, tu peux t'amuser à relier chaque apparition de pi avec l'existence d'un cercle. Vus les liens que les notions mathématiques ont entre elles, tu es sûr d'y arriver avec un peu d'imagination (et l'apprentissage ou le réapprentissage des mathématiques, disons d'un licencié en mathématiques de 1960 - quand on faisait beaucoup de géométrie).

Cordialement.

[eudea-panjclinne]

Mais je me demande : y a t il des choses en maths que tu trouves surprenantes ?

C'est une excellente attitude de s'étonner des choses mathématiques, de nombreuses découvertes ont été faites par des gens qui se sont posés des questions sur le pourquoi et l'origine de telles propriétés. On peut citer des exemples :
Un très ancien, on considère que c'est le fait étonnant que la diagonale du carré ne peut être exprimée par une fraction qui a conduit les anciens grecs à étudier les irrationnels.
L'étonnement de découvrir des logarithmes imaginaires avec des propriétés curieuses a conduit les mathématiciens du 18e s. à se poser des questions relativement aux fonctions multiformes et nombres complexes.
Pourquoi ne peut-on exprimer un arc d'ellipse avec des fonctions élémentaires ? Cette question récurrente mais insoluble au 18e siècle a conduit les mathématiciens à découvrir et étudier les fonctions elliptiques, à leur trouver une double période dont une complexe, ce qui a conduit les chercheurs à étudier les fonctions de variables complexes puis les surfaces de Riemann permettant de résoudre, par l'uniformisation, le problème des fonctions multiformes.

[gg0]

Effectivement, Eudea,

l'étonnement de voir relier des parties des mathématiques entre elles, ou de découvrir un rapport surprenant et inattendu est un des plaisirs des mathématiques; ça paie du travail de compréhension d'une preuve difficile. Mais c'est la preuve qui établit un rapport, et croire qu'il y a "quelque chose derrière" ne fait pas progresser la preuve. Même si, comme dans le cas de l'intégrale suivant, il y a bien un lien avec un cercle (qui permet de calculer l'intégrale par un procédé géométrique immédiat) :


Cordialement.

[eudea-panjclinne]

Mais c'est la preuve qui établit un rapport, et croire qu'il y a "quelque chose derrière" ne fait pas progresser la preuve.

Bien sûr, les intuitions, les inductions et d'une façon générale l'heuristique ne constituent seules pas des preuves. Ces procédés peuvent tout au plus servir, éventuellement, de guide au chercheur pour rédiger convenablement la preuve.

[syborgg]

J'ai renoncé depuis tout petit à croire que les nombres sont magiques. Je ne suis pas Pythagoricien.
Et une bonne formation en statistiques m'a fait arrêter de confondre coïncidence et causalité.

Maintenant, tu peux t'amuser à relier chaque apparition de pi avec l'existence d'un cercle. Vus les liens que les notions mathématiques ont entre elles, tu es sûr d'y arriver avec un peu d'imagination (et l'apprentissage ou le réapprentissage des mathématiques, disons d'un licencié en mathématiques de 1960 - quand on faisait beaucoup de géométrie).

Cordialement.

Je ne pense pas que les nombres sont magiques. Mais je suis pythagoricien dans le sens que pour moi les objets et les proprietes mathematiques ont une existence independante du cerveau humain, et qu'on les invente pas, on les decouvre. Et je pense que c'est le cas de beaucoup de chercheurs en maths. Ce qui m'etonne dans ce qui concerne ce fil, ce n'est pas pi en lui meme en tant que nombre, mais qu'il apparaisse dans tant de situations ou on ne l'attend pas a priori. Ensuite qu'on puisse expliquer a posteriori ces apparitions dans beaucoup de cas je n'en doute pas, et il est vrai que j'aurais pu un peu plus y reflechir avant de proposer une discution sur le sujet car certaines reponses etaient facilement accessibles.

Tu ne m'as pas dit s'il y a des choses qui te surprennent (qui t'etonnent) en maths, et si oui lesquelles ?
Moi oui, comme vous avez pu vous le remarquer ces derniers temps. Et dans ma these et mes recherches l'etonnement a propos de phenomenes mathematiques et la tentative d'en comprendre les raisons profondes ont ete un moteur principal.