Unicité ou généricité de l'identité d'Euler?

[invitee4cb12a5]

Pour compléter mon message précédent, si je prends un angle, disons en radians, , et que j'appelle l'application qui me donne sa valeur en degré, alors j'ai .

A gauche, j'ai un angle de dimension L/L, à droite, soit je considère 180 et comme des angles, soit comme des nombres, ce qui ne change rien au fait que le rapport soit adimensioné (mais exprimable en unité non SI comme des deg/rad si cela vous chante, mais quand même physiquement adimensioné). J'ai donc bien aussi du L/L à droite, et donc pas de problème de conversion, un angle est toujours de dimension L/L, quelque soit son unité (avec ma définition ci dessus).

Cordialement.
-----

[stefjm]

On en a déjà discuté, mais pour rappel on peut rapprocher la problématique particulière de l'angle à la confusion entre vecteur polaire et vecteur axial.

Et il y a une problématique approchante, la confusion entre vecteur et forme linéaire. Le premier est lié à l'opérateur de Hodge, le second aux opérateurs musicaux. Ceux-ci n'amènent de (vagues) soucis qu'avec la relativité et la problématique correspondante n'est pas perçue (par exemple les "vecteurs" inhomogènes (t,x) et (E,p) ne sont pas dimensionnellement proportionnels si on les prend toutes deux comme des 4-vecteurs, mais sont cohérentes si on voit la seconde comme une forme linéaire--en pratique les gens mettent des c pour homogénéiser sans se poser de question, en particulier pas la question pourquoi le c n'est pas mis de la même manière dans les deux cas, e.g., (ct, x) et (E/c, p).).

Il va falloir que je mange un peu de
http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_derivative
http://en.wikipedia.org/wiki/Musical_isomorphism

En gros le système de dimensions est trop simple, il marche bien pour les scalaires mais moins bien pour les autres "natures géométriques".

Tu as trouvé ou fait la classification géométrique des grandeurs physiques?
Il faudrait que je la fasse pour voir si cela me parle

Mon opinion est que la notion de dimension est assez limitée, elle est utile dans les cas simples, mais son extension est conceptuellement trop tordue pour rester utile. Les problèmes sous-jacents sont rarement compris, et le plus souvent niés, l'application de recettes étant suffisante pour éviter des conséquences gênantes.

Je le prend comme un challenge.

Pour compléter mon message précédent, si je prends un angle, disons en radians, , et que j'appelle l'application qui me donne sa valeur en degré, alors j'ai .
A gauche, j'ai un angle de dimension L/L, à droite, soit je considère 180 et comme des angles, soit comme des nombres, ce qui ne change rien au fait que le rapport soit adimensioné (mais exprimable en unité non SI comme des deg/rad si cela vous chante, mais quand même physiquement adimensioné). J'ai donc bien aussi du L/L à droite, et donc pas de problème de conversion, un angle est toujours de dimension L/L, quelque soit son unité (avec ma définition ci dessus).

Cette conversion est valide que l'angle soit dimensionné ou pas.
Elle est facile à faire quand il n'est question que d'une grandeur : ici l'angle.
C'est beaucoup plus délicat si vous faites de la physique en utilisant les tours ou les degrés pour exprimer les autres grandeurs qui dépendent de l'angle considéré sans dimension.
Je prend les paris pour des erreurs de 2pi et/ou 360 dans certaines expressions. (les couples ou les pulsations, par exemple)

Vous voyez ce que je veux dire?

De mon coté, je vois très bien ce que vous voulez dire. J'ai travaillé trrrrrès longtemps comme cela sans me poser de question, et je continue à le faire dans certain contexte. Mais pas dans ce fil.

Cordialement.

[Amanuensis]

Tu as trouvé ou fait la classification géométrique des grandeurs physiques?

Elle est "ambiante".

La distinction entre scalaires (masse, ...) et vecteurs (vitesses, ...) est faite dans le cadre du b.a.ba de la physique. L'extension proposée par les tenseurs est naturelle (et le cas de l'angle se traite dans ce cadre). Et après il y a les spineurs, ...

[invitee4cb12a5]

C'est beaucoup plus délicat si vous faites de la physique en utilisant les tours ou les degrés pour exprimer les autres grandeurs qui dépendent de l'angle considéré sans dimension.
Je prend les paris pour des erreurs de 2pi et/ou 360 dans certaines expressions. (les couples ou les pulsations, par exemple)

Vous voyez ce que je veux dire?

Je ne suis pas certain de vous comprendre, non. Au risque de me répéter, avec la tentative de définition de la dimension physique que j'ai donné (dont je concède qu'elle doit perfectible), l'angle ne peut pas être considéré comme une unité de base (ou unité fondamentale si vous préférez), puisqu'il peut-être exprimé en fonction de la longueur.

Cela ne veut pas dire que la grandeur physique "angle" n'existe pas, ce n'est juste pas une grandeur dite "fondamentale". A partir de là, suivant cette définition, elle est nécessairement sans dimension.

Par usage, on fixe l'unité de base de cette quantité physique comme étant le radian, car c'est plus facile pour les calculs. Rien ne vous empêche d'utiliser n'importe quelle unité qui représente cette grandeur, comme un nombre de tour, un nombre de degrés, ça ne change pas la nature de la dimension de l'angle, qui reste un angle, et par définition de dimension nulle (ou L/L si vous préférez, ce qui est équivalent). Après le reste n'est qu'une définition de votre système d'unité, et de passage d'un système à l'autre.

Vous faites intrinsèquement la même chose avec des grandeurs plus simples, sans vous poser de questions, par exemple en passant de cm a pouces, vous exprimez toujours la même grandeur physique, une longueur, pourtant il y a une transformation affine non triviale entre les deux systèmes, et je pari qu'il est aussi très facile de se tromper en faisant cette transformation. Doit on pour autant définir les longueurs en pouces comme étant une grandeur physique différente d'une longueur en cm ?

Cordialement.

[stefjm]

Elle est "ambiante".

La distinction entre scalaires (masse, ...) et vecteurs (vitesses, ...) est faite dans le cadre du b.a.ba de la physique. L'extension proposée par les tenseurs est naturelle (et le cas de l'angle se traite dans ce cadre). Et après il y a les spineurs, ...

Et pas d'ouvrage de référence qui formalise tout cela comme il faut? C'est quand même curieux.

[...]
Par usage, on fixe l'unité de base de cette quantité physique comme étant le radian, car c'est plus facile pour les calculs. [...]

Et pourquoi le radian est plus facile pour les calculs?
Parce que les conversions d'angles sont casse pieds.

Vous faites intrinsèquement la même chose avec des grandeurs plus simples, sans vous poser de questions, par exemple en passant de cm a pouces, vous exprimez toujours la même grandeur physique, une longueur, pourtant il y a une transformation affine non triviale entre les deux systèmes, et je pari qu'il est aussi très facile de se tromper en faisant cette transformation.

Pas pareil parce que justement, la dimension L est là pour savoir de quoi on parle.
Pas de risque de la perdre en route...

Doit on pour autant définir les longueurs en pouces comme étant une grandeur physique différente d'une longueur en cm ?

Pas du tout ce que j'ai proposé.
Je ne comprend d'ailleurs pas bien comment ce que j'ai écrit peut vous conduire à cette extrapolation?

Cordialement.

[invitee4cb12a5]

Et pourquoi le radian est plus facile pour les calculs?
Parce que les conversions d'angles sont casse pieds.

Ca c'est un constat, mon avis est qu'il n'y aucune justification physique à cela. La physique ne doit pas dépendre du choix de système d'unité, sinon c'est inquiétant. Alors tant qu'a faire, on essaye de choisir les unités de sorte que les calculs soient simples.

Pas pareil parce que justement, la dimension L est là pour savoir de quoi on parle.
Pas de risque de la perdre en route...

La dimension angle aussi est là, elle n'est juste pas fondamentale, vous pouvez l'appeler A si vous voulez, ça n'en reste pas moins une grandeur physique. Après, par définition, elle s'exprime en fonction de L, donc ce n'est pas une unité fondamentale. J'insiste, c'est par définition de unité fondamentale, que j'ai prit le soin d'énoncer, avec la distinction entre grandeur physique de base (comme la longueur) et grandeur physique (comme l'angle). J'attends toujours votre définition de grandeur physique de base, avec la justification (cohérente) que l'angle en soit une.

Pas du tout ce que j'ai proposé.
Je ne comprend d'ailleurs pas bien comment ce que j'ai écrit peut vous conduire à cette extrapolation?

C'est pourtant exactement ce que vous faites avec les angles, un simple changement de système d'unité, servant à représenter la même grandeur physique, et donc préservant la dimension. Si vous acceptez de préserver la dimension longueur par changement d'unité, vous devez aussi accepter de conserver la dimension angle par changement d'unité, sinon ça n'a aucune cohérence.

Bien sûr, j'ai bien compris que votre propos est plutôt : pourquoi l'angle n'est pas considéré comme une unité de base ? Cela n'est qu'une simple application de la définition de unité de base : elles doivent être indépendantes et toute grandeur physique doit pouvoir s'exprimer à partir de ces grandeurs. Dès lors que vous acceptez la longueur comme unité de base, l'angle n'est pas acceptable, je crois que vous savez pourquoi.

Bien sûr, si vous changez la définition, les conclusions ne tiennent plus, c'est pour cela que j'attends vos définitions pour juger de vos raisonnements, sinon ça n'a aucun sens.

Cordialement.

[stefjm]

Ca c'est un constat, mon avis est qu'il n'y aucune justification physique à cela. La physique ne doit pas dépendre du choix de système d'unité, sinon c'est inquiétant. Alors tant qu'a faire, on essaye de choisir les unités de sorte que les calculs soient simples.

Et c'est bien ce qu'on fait les mathématiciens en choisissant d'exprimer l'angle arbitrairement comme longueur de l'arc du cercle unité. Cela minimise le nombre de fois où sortent des 2pi.

La dimension angle aussi est là, elle n'est juste pas fondamentale, vous pouvez l'appeler A si vous voulez, ça n'en reste pas moins une grandeur physique. Après, par définition, elle s'exprime en fonction de L, donc ce n'est pas une unité fondamentale. J'insiste, c'est par définition de unité fondamentale, que j'ai prit le soin d'énoncer, avec la distinction entre grandeur physique de base (comme la longueur) et grandeur physique (comme l'angle). J'attends toujours votre définition de grandeur physique de base, avec la justification (cohérente) que l'angle en soit une.

Avoir un truc qui s'appelle A=L/L n'est pas très intéressant : L/L peut être aussi Nawak/Nawak. Pour vérifier la cohérence, ce n'est pas top.

Si l'angle a une dimension A indépendante, alors les notions de longueur d'arc et de longueur de rayon sont différentes.
Il est légitime (et arbitraire) de dire qu'un rayon et un rayon de courbure sont des choses différentes. (d'où la référence aux tenseurs et aux métriques)

Je ne dis pas que c'est facile à faire (il va falloir que je potasse un peu), ni que c'est utile. (mais depuis quand les mathématiques doivent être utiles? )

C'est pourtant exactement ce que vous faites avec les angles, un simple changement de système d'unité, servant à représenter la même grandeur physique, et donc préservant la dimension. Si vous acceptez de préserver la dimension longueur par changement d'unité, vous devez aussi accepter de conserver la dimension angle par changement d'unité, sinon ça n'a aucune cohérence.

Je n'ai pas de problème à accepter les deux.
Ce n'est pas pour autant que je propose une dimension différente pour le pouce!

D'ailleurs, un cas intéressant est l'altitude exprimée en une autre unité que les deux autres dimensions spatiales. Cela permet de différentier formellement l'axe vertical des deux autres horizontaux. (Les pilotes d'avion aiment bien, allez savoir pourquoi...)

Bien sûr, j'ai bien compris que votre propos est plutôt : pourquoi l'angle n'est pas considéré comme une unité de base ? Cela n'est qu'une simple application de la définition de unité de base : elles doivent être indépendantes et toute grandeur physique doit pouvoir s'exprimer à partir de ces grandeurs. Dès lors que vous acceptez la longueur comme unité de base, l'angle n'est pas acceptable, je crois que vous savez pourquoi.
Bien sûr, si vous changez la définition, les conclusions ne tiennent plus, c'est pour cela que j'attends vos définitions pour juger de vos raisonnements, sinon ça n'a aucun sens.

Je comprend et j'espère avoir répondu au dessus.

Un angle et une longueur en physique n'est pas pareil qu'un angle et une longueur en mathématique.

J'ai dis plus tôt que seul l'angle est partagé entre math et physique : je me suis trompé . J'ai oublié la longueur.

Cordialement.

[invitee4cb12a5]

Je vous conseil de commencer par définir rigoureusement ce que vous entendez par dimension.
Ma tentative de définition n'étant certainement pas des plus rigoureuses, je vous conseil plutôt de vous référer à

https://books.google.fr/books?id=r-Az53e-MTYC&pg=PA91&lpg=PA91&dq=Scali ng,+self-similarity,+and+intermediate+a symptotics&source=bl&ots=kxkco 3_5yi&sig=5xPLFZxxR-gwZ1M-_nixyjPMbS8&hl=fr&sa=X&ei=yuam VPHlHYbkapuagJgM&ved=0CHIQ6AEw CQ#v=onepage&q=Scaling%2C%20se lf-similarity%2C%20and%20intermed iate%20asymptotics&f=false]Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics.

Notamment, dans les sections 1.1.1, 1.1.2 et 1.1.3, un traitement plus en profondeur et plus rigoureux est fait (malheureusement il manque des pages sur google books, mais vous devez pouvoir trouver l'édition complète par ailleurs), définitions à l'appui. Ensuite, il ne s'agit que d'appliquer formellement les définitions.

Un point intéressant du livre se situe à la fin de la section 1.1.1, où l'auteur explique qu'un système d'unités, n'a pas besoin d'être minimal, au sens où il peut contenir plus que 7 unités pour exprimer toutes les grandeurs physiques. L'auteur donne l'exemple d'un système d'unité dans lequel on aurait la vitesse en noeuds, le temps en secondes et la distance en cm. Un tel système est possible, mais le danger est qu'on n'a alors plus v = d/t. C'est pour cela que l'on préfèrera utiliser seulement deux unités et utiliser le cm/s pour la vitesse.

C'est exactement pareil pour vos angles, rien ne vous interdit d'utiliser un système d'unités contenant Longueurs (par ex en mètres) + Angles (en degrés), mais dans ce système, vous n'aurez pas . On préfère donc n'utiliser que la longueur, et par usage on définit le radian comme L/L, càd sans unité (dans ce système).

Je vous souhaite bonne lecture,

Bien à vous.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Faut bien realiser quand meme que le nombre vraiment fondamental d'un point de vue maths, c'est , pas .
Edit: je repond surtout aux premiers messages, pas à ceux qui sont venus ensuite.

[Amanuensis]

(...)

Quelques erreurs d'attribution de citations, il me semble. Corrigeable?

[stefjm]

Quelques erreurs d'attribution de citations, il me semble. Corrigeable?

Bonjour,
Ce message pour annuler et remplacer le message
http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5074368 #post5074368
dans lequel j'ai fait dire à Amanuensis ce qu'avait dit linde.
Merci au modérateur qui archivera le message référencé ci-dessus.
Toutes mes excuses aux intéressés pour la gène occasionné.
Cordialement.

Elle est "ambiante".
La distinction entre scalaires (masse, ...) et vecteurs (vitesses, ...) est faite dans le cadre du b.a.ba de la physique. L'extension proposée par les tenseurs est naturelle (et le cas de l'angle se traite dans ce cadre). Et après il y a les spineurs, ...

Et pas d'ouvrage de référence qui formalise tout cela comme il faut? C'est quand même curieux.

[...]
Par usage, on fixe l'unité de base de cette quantité physique comme étant le radian, car c'est plus facile pour les calculs. [...]

Et pourquoi le radian est plus facile pour les calculs?
Parce que les conversions d'angles sont casse pieds.

Vous faites intrinsèquement la même chose avec des grandeurs plus simples, sans vous poser de questions, par exemple en passant de cm a pouces, vous exprimez toujours la même grandeur physique, une longueur, pourtant il y a une transformation affine non triviale entre les deux systèmes, et je pari qu'il est aussi très facile de se tromper en faisant cette transformation.

Pas pareil parce que justement, la dimension L est là pour savoir de quoi on parle.
Pas de risque de la perdre en route...

Doit on pour autant définir les longueurs en pouces comme étant une grandeur physique différente d'une longueur en cm ?

Pas du tout ce que j'ai proposé.
Je ne comprend d'ailleurs pas bien comment ce que j'ai écrit peut vous conduire à cette extrapolation?

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour,
Faut bien realiser quand meme que le nombre vraiment fondamental d'un point de vue maths, c'est , pas .

Rapport à ceci :

Bien sur qu'il y a un quelque part, et qu'il ne pourra pas etre enlevé.
Le point fondamental c'est que alors que et ca vous ne pourrez pas y couper. Or c'est bien la définition d'exponentielle comme qui est fondamentale, ou si vous preferez son statut de solution à l'equa diff X'=X.

[stefjm]

Je vous conseil de commencer par définir rigoureusement ce que vous entendez par dimension.
Ma tentative de définition n'étant certainement pas des plus rigoureuses, je vous conseil plutôt de vous référer à
https://books.google.fr/books?id=r-Az53e-MTYC&pg=PA91&lpg=PA91&dq=Scali ng,+self-similarity,+and+intermediate+a symptotics&source=bl&ots=kxkco 3_5yi&sig=5xPLFZxxR-gwZ1M-_nixyjPMbS8&hl=fr&sa=X&ei=yuam VPHlHYbkapuagJgM&ved=0CHIQ6AEw CQ#v=onepage&q=Scaling%2C%20se lf-similarity%2C%20and%20intermed iate%20asymptotics&f=false]Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics.

Merci pour les mots clefs.
J'ai l'impression en première lecture que l'étude se restreint aux grandeurs scalaires.

Un point intéressant du livre se situe à la fin de la section 1.1.1, où l'auteur explique qu'un système d'unités, n'a pas besoin d'être minimal, au sens où il peut contenir plus que 7 unités pour exprimer toutes les grandeurs physiques. L'auteur donne l'exemple d'un système d'unité dans lequel on aurait la vitesse en noeuds, le temps en secondes et la distance en cm. Un tel système est possible, mais le danger est qu'on n'a alors plus v = d/t. C'est pour cela que l'on préfèrera utiliser seulement deux unités et utiliser le cm/s pour la vitesse.

C'est exactement pareil pour vos angles, rien ne vous interdit d'utiliser un système d'unités contenant Longueurs (par ex en mètres) + Angles (en degrés), mais dans ce système, vous n'aurez pas . On préfère donc n'utiliser que la longueur, et par usage on définit le radian comme L/L, càd sans unité (dans ce système).

Oui, mais c'est plus complexe que cela.
C'est un peu comme le c=1 de la relativité et l'(in)homogénéité des 4vecteurs signalés par Amanuensis.
Ou la courbure si on pousse jusque là.

Cordialement.

[invitee4cb12a5]

Bonjour,

Je pense que vous prenez trop à coeur cette histoire de dimensionalité, qui n'est à mon avis pas un problème si on la définit correctement (par exemple, en utilisant la définition du lien que j'ai donné).
Si je me réfère à cette définition, alors la dimensionalité est entièrement caractérisée par le système d'unité choisi. Une démarche saine et "rigoureuse", consisterait alors de spécifier pour chaque problème quel est le système d'unité choisi.
Il n'y a aucune raison effectivement pour que ce système soit minimal (au sens de l'indépendance physique deux à deux des unités composant le système).

Votre problème est plutôt, que cette étape est implicite chez les physiciens, qui ne spécifient jamais le choix du système d'unité, qui doit souvent se déduire de leur texte.

Maintenant, si dès le départ, je spécifie que mon système est , alors mes angles doivent être tous sans dimensions, c'est la règle. En revanche, si je spécifie que je travaille avec le système , alors tous mes angles (et donc toutes mes formules) doivent faire intervenir dans angles en unité A.

Vous remarquerez que cette étape de définition (qui devient obligatoire si vous adoptez une approche plus "mathématique" de la notion de dimension), il n'y a plus aucune ambiguïté, puisque par exemple dans , la notion de radian (ou de degré) n'existe tout simplement pas.

Vous pouvez poussez le raisonnement encore plus loin pour vous apercevoir qu'une telle démarche règle, je pense, vos problèmes. Bien évidemment, je vous accorde que ceci n'est fait par personne. Maintenant, la plupart du temps, le "bon" choix de système d'unité dépend fortement du système considéré, et revient souvent à écrire de façon non rigoureuse que , et là plus de problème de dimension.

J'entends bien que votre problème est plutôt le passage d'un système d'unité à l'autre. En suivant la démarche que je vous propose, la question ne se pose plus, puisqu'une fois le système spécifié, on ne devrait plus en déroger.

Cordialement.

[Amanuensis]

mais c'est plus complexe que cela.

Oui, c'est plus complexe que ça. Mais d'un autre côté, traiter la question superficiellement n'est pas très gênant. Ou encore, la problématique est assez marginale, sans grandes conséquences ; plus pour les curieux qu'autre chose.

D'ailleurs y-a-t'il une quelconque raison de discuter ou de "débattre" autrement qu'entre curieux? (Et donc de se contenter d'échanger des faits, des pistes, des possibilités?)

----

Sinon, sur le fond, parler de m/m est intéressant: le mètre est une unité dont l'usage principal concerne des vecteurs. Et même pas la norme de ces vecteurs, car on peut voir la norme carrée comme l'application d'un opérateur donnant un scalaire, et l'opérateur peut changer la dimension (c'est exactement ce qu'il se passe en minkowskien, la norme carrée ne pouvant pas être à la fois L² et T²).

Du coup m/m apparaît littéralement comme la dimension résultat de la division d'un vecteur par un vecteur, ce qui n'a pas de sens tel quel (contrairement au cas des scalaires).

Au moins deux interprétations des m/m viennent à l'esprit. L'une est la comparaison de vecteurs colinéaires. L'autre est plus subtile: il y a des opérateurs linéaires transformant un vecteur en un vecteur ; la "dimension" de ces opérateurs est naturellement en m/m. Mais ce n'est plus exactement une "division" ; faut-il alors s'étonner que les propriétés ne soient pas intuitives?

En particulier d'un point de vue algébrique, la division de scalaires peut (par exemple) s'analyser dans le cadre du groupe (R+*, x), de structure particulièrement simple. Alors que celle du groupe des opérateurs linéaires sur les vecteurs, GL(R^3), l'est bien moins. La notion de dimension est simple dans le premier cas, et bien moins dans le second.

(Je ne développe pas la relation entre les opérateurs linéaires sur les vecteurs, les rotations et la notion d'angle, elle se reconstruit aisément...)

[Amanuensis]

PS:

il y a des opérateurs linéaires transformant un vecteur en un vecteur

Cela a bien sûr un rapport avec les tenseurs, mentionnés plus tôt dans cette discussion: ces opérateurs peuvent être vus comme des tenseurs d'ordre (1,1).

[invitee4cb12a5]

PS:



Cela a bien sûr un rapport avec les tenseurs, mentionnés plus tôt dans cette discussion: ces opérateurs peuvent être vus comme des tenseurs d'ordre (1,1).

Pourquoi faire aussi compliqué ? Un opérateur linéaire qui transforme un vecteur en un vecteur, c'est la définition d'un endormorphisme d'espace vectoriel, je ne saisis par pourquoi parler de tenseur ici (mais il est vrai que je n'ai pas suivi toutes les discussions mentionnés dans les posts précédents).

Cordialement.

EDIT: D'autant qu'un tenseur ne transforme pas un vecteur en un vecteur, mais en un scalaire.

[invite47ecce17]

Rapport à ceci :

Non, ca n'est pas exactement ce que j'avais en tete. Les raisons du caractère fondamental (encore que bon, ca veut pas dire grand chose) de paraissent plus profondes et essentiellement liées à la notion de periode et au fond sont veritablement geométriques, d'un point de vue géométrique \pi parait bien plus anecdotique de 2i\pi.
Je peux detailler ce que j'ai en tete si ca vous interesse.

[Médiat]

Bonjour Miss

Je peux detailler ce que j'ai en tete si ca vous interesse.

Un pdf à mettre dans les contributions des forumeurs ?

[invite47ecce17]

Bonjour Médiat,
J'en doute, ce serait vraiment tres long à rediger proprement, et hors de mes capacités pour certaines choses egalement (que je ne connais pas assez bien pour pouvoir effectivement rédiger qqch de serieux dessus).
Peut etre quand j'aurai (beaucoup) plus de temps.

[stefjm]

Non, ca n'est pas exactement ce que j'avais en tete. Les raisons du caractère fondamental (encore que bon, ca veut pas dire grand chose) de paraissent plus profondes et essentiellement liées à la notion de periode et au fond sont veritablement geométriques, d'un point de vue géométrique \pi parait bien plus anecdotique de 2i\pi.
Je peux detailler ce que j'ai en tete si ca vous interesse.

Tout ce qui touche aux unités, aux origines et aux périodes m'intéresse. (même au brouillon.)
C'est vrai que sort souvent, tout récemment ici :

Bonjour,
Je comprend la question comme : les fonctions sinus et cosinus sont-elles les seules bases possibles pour les fonctions périodiques?
Il me semble qu'il faut citer l'exponentielle d'argument imaginaire cachée derrière les fonction cos et sin.
On peut aussi retrouver la fonction donnée par gg0 :

x-E(x) (tracé) (E(x): partie entière)
comme partie imaginaire de la fonction
(tracé)

Dès qu'une périodicité est mise en évidence, les imaginaires permettent le traitement assez facilement.
(Je ne me souvenais plus du lien avec la partie entière, merci gg0.)

Cordialement.

[stefjm]

Pourquoi faire aussi compliqué ? Un opérateur linéaire qui transforme un vecteur en un vecteur, c'est la définition d'un endormorphisme d'espace vectoriel, je ne saisis par pourquoi parler de tenseur ici (mais il est vrai que je n'ai pas suivi toutes les discussions mentionnés dans les posts précédents).

Parce que c'est compliqué! Nous sommes entre curieux, n'est-ce pas?
Pour les personnes qui n'ont pas suivi toute l'histoire sur le forum de physique, je profite de votre remarque pour signaler le cas du produit vectoriel, largement utilisé en physique. (et la distinction vecteur axiaux ou polaires, puis les tenseurs.)

Si on considère des vecteurs dimensionnés [L], leur produit vectoriel est dimensionnés [L^2], ce qui change la dimension du vecteur. On fait alors "porter par un axe", une surface.

C'est en fait le même cas que pour les angles, dimensionné [L] si le rayon du cercle unité est dimensionné [L]. Le périmètre ou l'arc de cercle est alors dimensionné [L^2]. (même problématique, un axe porte une surface)

J'espère que cela aide à comprendre la problématique.

Cordialement.

[invite47ecce17]

On dévie un peu de la discussion initiale (dans un sens opposé).

Une des façons les plus simple et les plus elementaire de comprendre pourquoi représente qqch de plus pertinent geometriquement réside par exemple dans le theoreme des residus.
L'integrale d'une fraction rationnelle (ou d'une fonction meromorphe) dans le plan complexe sur un lacet c'est un multiple entier de , et ce fait relativement annecdotique vu comme ca se generalise en des considerations assez profondes, qui explique qu'il apparaisse tres souvent des 2i\pi de "normalisation" pour obtenir des objets entiers.
C'est le cas par exemple de la courbure, qui fait systémtiquement apparaitre de puissances de 2i\pi négatives.

De manière plus profonde on peut dire que c'est liée à la structure rationnelle sur la cohomologie de G_m (C^* si tu preferes), qui est à la base de toutes les notions de courbure. Et ca c'est un fait extrement profond. Qui est d'ailleurs à la base de la notion de période au sens moderne, qui sont essentiellement tous les nombres complexes qui proviennent de manière "naturelle" de la géométrie.
Le fait que e soit une periode est actuellement un probleme ouvert.

Pour résumer mon laius (probablement a cote de la plaque), il y a le fait que qui est bien sur lié à tes considerations, c'est l'obstruction à avoir une fonction logarithme definie sur tout C^*, et ce fait là est un fait essentiel mathématiquement, qui se retrouve partout (et qui empeche de travailler purement formellement comme tu le fais dans ton precedent message).

[invite47ecce17]

EDIT: D'autant qu'un tenseur ne transforme pas un vecteur en un vecteur, mais en un scalaire.

Pas necessairement. Il y a un isomorphisme canonique entre et l'espace des endomorphismes de E.

[invitee4cb12a5]

Parce que c'est compliqué! Nous sommes entre curieux, n'est-ce pas?

Par compliqué, je voulais simplement demander pourquoi introduire des objets compliqués (avec des définitions plus qu'approximatives), alors que des objets plus simples suffisent (et on ne prend pas le risque de se tromper dans la définition de ces objets).

Si on considère des vecteurs dimensionnés [L], leur produit vectoriel est dimensionnés [L^2], ce qui change la dimension du vecteur. On fait alors "porter par un axe", une surface.

Ca ne me choque pas, car géométriquement la norme du vecteur obtenu est bien l'aire du parallélogramme décrit par les deux vecteurs. Physiquement, c'est donc nécessaire que le produit vectoriel soit dimensionné L^2.

C'est en fait le même cas que pour les angles, dimensionné [L] si le rayon du cercle unité est dimensionné [L]. Le périmètre ou l'arc de cercle est alors dimensionné [L^2]. (même problématique, un axe porte une surface)

Dans le système d'unité , si le rayon du cercle unité est dimensionné , l'angle ne peut pas être dimensionné , sinon c'est incohérent (pour exactement la raison que vous écrivez).

Cordialement.

[invite47ecce17]

@ stefjm
En fait j'ai l'impression qu'il y a deux questionnement en 1 dans tes questions assez systematiquement (du moins sur ce sujet).
D'une part la notion de typage (qui est ta notion de dimension), un angle ca n'est pas un réel, on peut donner comme je te l'ai dit plusieurs fois un paramétrage de l'angle par un réel modulo 2\pi, mais on peut toujours choisir un paramétrage different.
Si tu considere par exemple que le cosinus est une fonction définie sur l'espace des angles que je noterai A, alors si tu es tres soigneux tu devrais parler de où a est un réel et \phi est le paramétrage de R mod 2pi sur A, ainsi le cosinus est une fonction qui s'applique vraiment à un angle, et pas à un réel mod 2\pi. Bien sur tu peux alors aussi parler de la fonction COS qui est la fonction qui s'applique à un réel* et qui vaut , dans la pratique on identifie COS et cos, ce qui resulte d'un choix de paramétrage. Ce qui m'amène à ton deuxieme point.

La naturalité de \pi, 2i\pi etc... et qui est plus en lien avec mon laius precedent.

*Il y aurait encore une 3eme fonction cosinus, définie elle sur le cercle ou meme encore sur la droite projective réelle, et on identifie en general toutes ces fonctions. Pour la meme raison qu'on ne fait pas de distinction entre la fonction x->x² quand elle est définie sur R ou sur [0,1]. Meme si il y a une difference.

[invitee4cb12a5]

Pas necessairement. Il y a un isomorphisme canonique entre et l'espace des endomorphismes de E.

Mea culpa, ne manipulant pas ce genre d'objets tous les jours, j'avais en tête qu'un tenseur était une forme multilinéaire, ce qui est une erreur de ma part.
Toutefois, il me semble très réducteur d'introduire le concept de tenseur pour, in fine, traiter d'endomorphisme.

Merci pour cet éclaircissement.

Cordialement.

[stefjm]

Une des façons les plus simple et les plus elementaire de comprendre pourquoi représente qqch de plus pertinent geometriquement réside par exemple dans le theoreme des residus.
L'integrale d'une fraction rationnelle (ou d'une fonction meromorphe) dans le plan complexe sur un lacet c'est un multiple entier de , et ce fait relativement annecdotique vu comme ca se generalise en des considerations assez profondes, qui explique qu'il apparaisse tres souvent des 2i\pi de "normalisation" pour obtenir des objets entiers.
C'est le cas par exemple de la courbure, qui fait systémtiquement apparaitre de puissances de 2i\pi négatives.
De manière plus profonde on peut dire que c'est liée à la structure rationnelle sur la cohomologie de G_m (C^* si tu preferes), qui est à la base de toutes les notions de courbure. Et ca c'est un fait extrement profond. Qui est d'ailleurs à la base de la notion de période au sens moderne, qui sont essentiellement tous les nombres complexes qui proviennent de manière "naturelle" de la géométrie.

Merci pour l'informormation. Je ne connaissais pas.

je relève que dans ce cadre, on peut définir comme , soit l'aire du cercle de rayon 1.
Si le rayon est dimensionné L, l'aire sera dimensionnée L^2.

Je ne vois pas de formulation équivalente pour le périmètre du cercle.

Pour résumer mon laius (probablement a cote de la plaque), il y a le fait que qui est bien sur lié à tes considerations, c'est l'obstruction à avoir une fonction logarithme definie sur tout C^*, et ce fait là est un fait essentiel mathématiquement, qui se retrouve partout (et qui empeche de travailler purement formellement comme tu le fais dans ton precedent message).

Que faut-il ajouter pour que ce que dit wolphram alpha soit correct mathématiquement?

Le fait que e soit une periode est actuellement un probleme ouvert.

Il faut toujours que je tombe sur des problèmes trop difficiles pour moi.
A défaut de savoir si e est une période, on sait déjà que ou peut être une base de logarithme.

En tout cas, merci pour ton éclairage.

[stefjm]

Ca ne me choque pas, car géométriquement la norme du vecteur obtenu est bien l'aire du parallélogramme décrit par les deux vecteurs. Physiquement, c'est donc nécessaire que le produit vectoriel soit dimensionné L^2.

Ben :
i,j,k vecteurs unitaires d'une base orthonormée directe.

Je multiplie par 2 les vecteur i et j

Adieu la base orthonormée.
(et en plus, le résultat dépend d'une orientation arbitraire.)

Dans le système d'unité , si le rayon du cercle unité est dimensionné , l'angle ne peut pas être dimensionné , sinon c'est incohérent (pour exactement la raison que vous écrivez).

Sinon, on obtient une longueur courbe (l'arc de cercle) de dimension [L^2], ce qui n'est pas si incohérent que cela.
J'ai moins de mal à voir associé à l'aire du disque unité, qu'associé au périmètre du cercle unité.
Dans le lien de MiPaMa sur la période, pi apparait comme une aire car intégal de dx.dy, un log sans dimension car intégral de dx/x et 2i.pi comme sans dimension pour la même raison.
Ce sont des points que j'avais plus ou moins déjà relevé lors de mes furetages.

Cordialement.

[stefjm]

@ stefjm
En fait j'ai l'impression qu'il y a deux questionnement en 1 dans tes questions assez systematiquement (du moins sur ce sujet).
D'une part la notion de typage (qui est ta notion de dimension), un angle ca n'est pas un réel, on peut donner comme je te l'ai dit plusieurs fois un paramétrage de l'angle par un réel modulo 2\pi, mais on peut toujours choisir un paramétrage different.
Si tu considere par exemple que le cosinus est une fonction définie sur l'espace des angles que je noterai A, alors si tu es tres soigneux tu devrais parler de où a est un réel et \phi est le paramétrage de R mod 2pi sur A, ainsi le cosinus est une fonction qui s'applique vraiment à un angle, et pas à un réel mod 2\pi. Bien sur tu peux alors aussi parler de la fonction COS qui est la fonction qui s'applique à un réel* et qui vaut , dans la pratique on identifie COS et cos, ce qui resulte d'un choix de paramétrage. Ce qui m'amène à ton deuxieme point.

La naturalité de \pi, 2i\pi etc... et qui est plus en lien avec mon laius precedent.<br>

*Il y aurait encore une 3eme fonction cosinus, définie elle sur le cercle ou meme encore sur la droite projective réelle, et on identifie en general toutes ces fonctions. Pour la meme raison qu'on ne fait pas de distinction entre la fonction x-&gt;x² quand elle est définie sur R ou sur [0,1]. Meme si il y a une difference.

Je n'ai pas l'impression qu'un simple paramètrage suffise pour faire de l'analyse dimensionnelle propre en physique.
Par exemple, des angles au carré sont sans dimension. (on les rencontre couramment et on dit que rad n'est pas une dimension pour évacuer le problème.)`
Difficile de différentier Angle et 1/Angle.
Encore merci, je comprend un peu mieux les trucs qui me gênent.
Cordialement.