Bonjour,
Je me suis posé une question bizarre à propos de l'identité d'Euler :
Pourquoi utiliser la base naturelle des logarithmes et pas une autre? (du genreou
Pourquoi utiliser le radian comme unité d'angle et pas une autre? (le tour par exemple)
Pour i, je ne vois pas trop comment le généraliser. (
Cela donnerait par exemple si on change de base
Je ne suis pas sûr de l'intérêt du truc, mais sait-on jamais.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour.
l'identité est apparue ainsi; l'exponentielle étant pour le mathématicien la fonction de base (la plus simple des fonctions ax puisque, par exemple, égale à sa dérivée) elle est restée.
Je ne vois pas, moi non plus, "l'intérêt du truc", désolé
Cordialement.
Salut
Il n' est pas question de radian dans cette formule .Envoyé par stefjm
Pi est un nombre comme e et i .
La question est peut-être : Pourquoi utiliser le radian dans la définition de l'exponentielle complexe en lien avec sin et cos.
Là aussi, c'est l'outil naturel. Contrairement aux astronomes chaldéens qui eurent besoin de diviser le temps (donc les portions du zodiaque) pour le mesurer, les mathématiciens se sont aperçus que le radian était la mesure naturelle des angles, pour des raisons de simplicité. De nombreuses formules ((sin(x))'=cos(x), sin x ~x en 0, ...) ne sont simples qu'en radians. D'ailleurs, on définit généralement tous ces objets (exponentielles, trigo, angles, ...) à partir de la série exp(z) qui donne immédiatement le lien entre les formes trigonométrique et exponentielle d'un complexe.
Cordialement.
Bonjour,
L'interrogation concernant la base et l'unité d'angle m'est venu suite à ce fil de physique sur la différence entre un nombre
Premier message : http://forums.futura-sciences.com/ph...de-langle.html
Changement de paramétrage pour l'angle (Merci MiPaMa) : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5051288
Un résumé (Merci Coussin) : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5053139
Adimensionnement systématique par Amanuensis : http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post5053639
Amanuensis : Exponentielle et log intervertissent la notion d'origine et d'unité.
Amanuensis : Comme déjà remarqué dans des fils anciens, le choix du radian est une sorte de minimisation du nombre de cas où des 2pi apparaissent...
C'est justement ce double coté naturel (X''+X=0 qui sort des
Par exemple, lors de l'utilisation de la base pi à la place de e, il apparait pi/ln(pi), valeur d'une fonction classique (nombre divisé par nombre de chiffre dans la base, avec continuité) pour la valeur de la baseJe ne vois pas, moi non plus, "l'intérêt du truc", désolé
Cela donne une approximation d'ingénieur
Ou plus sérieusement, si on s'intéresse à 1 :
Et au moins, pour eux, on a leur décomposition en fraction continue, alors que pourou
, cela ne parait pas encore gagné.
tan(1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, 21, 1, 23, 1, ...]
e^i = [1 + i; -2 + i, 1 + 3i, -2, 1 - 5i, -2, 1 + 7i, -2, 1 - 9i, -2, 1 + , ...] (using the Hurwitz expansion)
Curieux non, ce -2 qui sort une fois sur deux.
Franchement, je ne comprends pas ton attitude. Tu as participé un peu sur l'autre fil et tu devrais donc avoir compris que ce qui m'intéresse est la modélisation par des outils mathématiques de la notion de dimension physique. (et en particulier de celle de l'angle)
Pour le standard, j'ai tous mes diplômes, merci...
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Désolé,
je fuirai ce genre de questionnement (*), qui me semble impossible à traiter correctement, diverses méthodes ayant chacune son utilité. Juste une remarque : la notion d'angle ne relève ni d'un dimensionnement physique (pas d'étalon physique, ou de combinaisons d'unités nécessaire), ni d'un dimensionnement mathématique (aucune des significations du mot angle ne fait apparaître l'idée de degré de liberté). Et les notions de mesures d'angles, purement mathématiques, ne relèvent pas de l'habituelle théorie de la mesure, à laquelle on peut associer les mesures physiques.
Cordialement.
(*) " ce qui m'intéresse est la modélisation par des outils mathématiques de la notion de dimension physique. (et en particulier de celle de l'angle)"
Bonjour gg0 et merci pour le conseil.
Apparemment, tout le monde fuit ce questionnement, mathématiciens et physiciens.
Du coup, cela donne
1) des trucs de physiciens mal ficelés mathématiquement. (mais ça marchotte alors, on fait avec.)
2) une séparation étanche entre maths et physique.
3) des incompréhensions entre les deux mondes.
C'est ennuyeux car en physique, on mesure des angles physiques, mais
1) sans dimension physique parce que sinon, c'est le souk.
2) avec une unité (radian, grade, degré, millième, etc...) parce que sinon, on ne s'y retrouve pas.
Personne n'a jamais formaliser cela correctement?
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour,
Je ne vois pas le problème (du point de vue mathématique), par exemple, il existe une fonction sinus, que l'on peut composer avec d'autres fonctions, par exemple avec une fonction linéaire du genre
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
La base de logarithme la plus simple pour l'identité d'Euler est 23.14068269....
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour,
Tant qu'on ne manipule que des nombres (en mathématique) il n'y a pas de problèmes.
C'est quand on commence à dimensionner (physique) que cela n'est plus si simple.
x : angle en degré
180 : angle en degré
Le statut du coefficient
Tout ceci pour que l'argument du sinus soit un nombre.
Lors des dérivées, c'est ce coefficient dimensionné angle en degré qui intervient et dont on met la dimension sous le tapis parce que "c'est trop compliqué en physique".
On a exactement le même soucis avec
mais c'est moins grave en physique si on oublie la dimension car le coefficient dimensionné oublié vaut l'unité.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Ou plutôt :
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Curieusement (j'imagine) cette écriture ne m'avais pas échappé, et j'ai choisi volontairement ce que j'ai écrit dans le message. Je pense que stefjm comprends mon choix.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
C'est vraie que l'identité d'Euler dans cette base naturelle me plait assez. C'est beaucoup plus satisfaisant pour un physicien.Ou plutôt :
Pour le codage, j'ai jeté un oeil à la FC de
Pas évident...
Par contre, Le développement deen fraction continue fait intervenir 1111=11*101 et 11.
[0; 1111, 11, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 61, 3, 2083, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 9, 2, 28, 1, 3, ... ]
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour,
Je me permets d'apporter mon point de vue à cette discussion.
Je pense qu'il y a de la part de stefjm une confusion entre dimension physique et unité. Si je prends l'exemple d'une longueur, sa dimension physique est une longueur, et je peux choisir de l'exprimer en mètres, en cm, en pouces, ça ne change strictement rien à la dimension physique de la longueur (et si je passe d'une unité à l'autre, j'ai des facteurs de conversion en cm/pouce, etc, mais qui n'ont pas de dimension physique, étant le rapport entre deux longueurs).
Si je retourne aux angles, il est clair que l'angle est sans dimension physique, puisqu'on a (par exemple)
Bien cordialement.
Je ne confond pas puisque je m'intéresse à ces facteurs de conversions : voir mon post ici : http://forums.futura-sciences.com/ph...de-langle.html
Le choix de la dimension physique est arbitraire : On peut choisir de donner une dimension physique à un angle et de regarder comment traiter mathématiquement (donc proprement) cette dimension physique.Si je retourne aux angles, il est clair que l'angle est sans dimension physique, puisqu'on a (par exemple)
Pour l'exemple que vous donnez
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Je ne vois vraiment pas ce qui, physiquement, justifierai de distinguer la longueur d'un segment, de la longueur d'un arc de cercle (ou peut-être ai-je mal compris votre propos).
Si j'interprète correctement votre propos, pour que votre définition de la dimension de l'angle soit cohérente, il vous faut introduire au système de dimensions physique de base (je rappelle : longueur, masse, durée, intensité électrique, intensité lumineuse, quantité de matière, température), les "dimensions" supplémentaires de longueur d'arc et d'angle.
Pourquoi vouloir ajouter 2 dimensions alors que 7 suffisent ?
D'autant plus que cela vous amène a devoir différencier longueur d'un segment et longueur d'arc, ce qui est assez douteux.
EDIT: en fait ajouter une dimension supplémentaire, puisqu'on pourrait représenter la longueur d'arc a partir de longueur et angle.
Pace que cela pose des soucis avec les rad/s où on met les radians pour ne pas se merder un
Ou bien avec les
Je ne refais pas tout l'historique ici, pour des informations sur le "pourquoi faire cela", voir :
http://forums.futura-sciences.com/ph...de-langle.html
L'idée m'est venu en voyant tous les soucis que cela pose aux personnes qui cherchent à réfléchir et à concilier correctement ce qu'elles apprennent en mathématique et en physique.
Quelques discussions sur ce sujet sur le forum de physique. (Et curieusement, la polémique n'est jamais très loin...)
http://forums.futura-sciences.com/ph...ian-carre.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...ime-joule.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...k-reduite.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...une-unite.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...-grandeur.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...ur-minute.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...e-coupure.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...ple-joule.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...dimension.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...le-moment.html
Et j'en oublie.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Donc, si je récapitule, votre problème ce n'est pas la dimension physique de l'angle (qui est nécessairement nulle, je ne refais pas l'explication, des tas d'arguments ont été donnés dans les liens que vous citez), mais plutôt le manque de rigueur des physiciens, qui omettent l'unité de l'angle dans leurs résultats, le plus souvent par convention (certes malsaine, puisque rarement justifiée).
Vous êtes quand même d'accord pour dire qu'il n'est pas nécessaire d'introduire de dimension à l'angle, puisque celle-ci peut être obtenue à partir des 7 unités "fondamentales" ? D'autant plus que le prix à payer selon vous est de devoir différencier longueur d'arc et longueur de segment, ce qui devrait vous perturber plus que la (non) dimension physique de l'angle.
Si vous êtes d'accord avec mon propos, il s'agit donc bien d'un problème d'unité et non de dimension, et oui très souvent il y a des abus et omissions, pour éviter les "unités à rallonge".
Cordialement.
Pas que.
L'angle étant une grandeur physique, elle n'a aucune raison d'être non dimensionné si on souhaite la dimensionner. C'est un choix arbitraire.
Pour adimensionner longueur de rayon, longueur d'arc et d'angle proprement, cela donne :
Pire que cela. D'où mon appel à l'aide auprès des mathématiciens.
Visiblement, ce n'est pas facile de partager des notions de mathématique (angle adimensionné) et de physique (angle dimensionné)
Propos réducteur.
Dimension ou unité, c'est un peu pareil dans le contexte de cette discussion.
Il y a un coefficient numérique à gérer (du genre pi/pi ou pi/180) et le lien entre les maths (nombre) et la physique (dimension physique)
Evidement, si vous partez du principe qu'un angle est sans dimension, inutile de discuter avec moi qui suis capable d'envisager les deux cas : Avec ou sans dimension.
A priori, sur ce fil, un angle physique a une dimension d'angle.
Je cherche les outils mathématiques pour raccrocher proprement la physique et les mathématiques qui voit en un angle un simple nombre.
Il y a deux "bases" à considérer :
1) celle des logarithmes (e ou autre base)
2) celle des rotations. (pi, 2pi ou autre chose.)
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour,
Il me semble que si vous voulez donner un sens mathématique à la notion de dimension (et non d'unité) il faut en donner une définition mathématique, avez-vous une idée de ce que cela pourrait-être, ou demandez-vous l'aide des mathématiciens pour établir cette définition (et ne sachant pas ce que vous en attendez, je suis incapable d'être de la moindre utilité) ; peut-être il y a-t-il des idées à prendre dans la théorie des types.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Et cela donne la clef d'une indétermination classique en physique!
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Merci Médiat.
C'est bien cela le but rechercher : un typage fort.
Le truc amusant, c'est que tant que les physiciens manipulent leurs grandeurs (mètres, secondes, etc...) sans interaction avec les mathématiques, il n'y a pas de problèmes.
Les problèmes apparaissent lorsqu'il faut partager une grandeur commune : ici l'angle.
Du coup, ça fait des trucs boiteux d'un coté ou de l'autre.
d'où les nombreux fils en physique sur ce thème. (h hbar, longueur d'onde (longueur d'arc) ou longueur d'onde réduite (longueur d'un segment), couple énergie, fréquence pulsation, etc...)
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Vous semblez tellement obnubilé par votre volonté de donner une dimension physique à l'angle, que vous ne prenez pas la peine de lire ce que j'ai écris (et que bien d'autres avant moi vous ont aussi écrit).Dimension ou unité, c'est un peu pareil dans le contexte de cette discussion.
D'autant plus que mon post précédent ne vous donnait pas nécessairement tort, je vais donc tenter une dernière fois de vous exposer mon point de vue (qui n'engage que moi, n'étant ni vraiment physicien, ni vraiment mathématicien, mais quelque part entre les deux).
Peu importe le point de vue abordé (physique ou mathématique), la notion de dimension ne fait sens que si elle est définie correctement. Or, jamais vous ne définissez ce que vous entendez par dimension, et après vous venez nous parler de rigueur.
Il est donc normal, puisque vous êtes dans l'incapacité de définir ce que vous entendez par dimension, que les gens, ici ou ailleurs, interprètent ce terme au sens usuel, c'est à dire (pardonnez mon manque de rigueur, sic, ce qui prouve bien encore une fois qu'il n'y aucun consensus là dessus) "tout ce qui peut être obtenu à partir des 7 unités fondamentales".
Notez que si l'on accepte, ce qui est votre cas, je l'ai bien compris, qu'un angle est un rapport de longueur, alors l'angle n'a aucune raison d'être défini comme unité fondamentale, puisque obtenu à partir de longueur, que l'on a déjà choisie comme unité fondamentale.
Maintenant, c'est ce que j'essayais de vous dire, libre à vous de définir la notion de dimension physique autrement, en incluant l'angle comme unité fondamentale, mais êtes vous certain qu'il y ait un bénéfice à cela ?
Je vois bien à quelle genre de situation vous pensez lorsque vous dites qu'il peut y avoir un gain à attribuer une dimension physique à l'angle, mais je pense que vous devriez aussi regarder quels seraient les inconvénients (plus d'unités de base, quel argument physique justifierai de distinguer arc de cercle et segment, etc).
En revanche, si vous remplacez "dimension physique" par "unité" dans votre discours, alors là cela change radicalement la donne, car c'est bien ça qui vous pose problème, le choix de l'unité de base pour représenter l'angle, et non de la dimension qui est, si on utilise la définition usuelle, nécessairement nulle.
Je pars du principe qu'un angle est sans dimension, par définition, en revanche, je ne nie pas qu'un angle ait une unité (éventuellement en m/m, ou de manière équivalente, en rad). Maintenant, encore une fois, c'est une question de définition (et de rigueur dimensionEvidemment, si vous partez du principe qu'un angle est sans dimension, inutile de discuter avec moi qui suis capable d'envisager les deux cas : Avec ou sans dimension.
Cordialement.
C'est exactement ce que sous-entend mon message précédent, vous m'avez devancé (tout en étant à mon avis plus clair, merci). Pour appuyer un peu ce que dis stefjm (et pour aussi lui montrer que je ne fais pas que le contredire), la définition des concepts physiques (notamment de dimension) n'est rarement aussi claire qu'en mathématiques, d'où parfois des interprétations douteuses et des confusions possibles, voire des interprétations différentes.
C'est bien le soucis.
La dimension physique est un truc de physicien qui marche bien pour à peu près tout sauf pour les angles.
Quand on cherche à l'étendre à l'angle, cela coince en mathématique. (ou en physique)
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Je tente une définition plus rigoureuse, conforme à l'intuition des physiciens. Il me semble difficile d'éviter l'argument circulaire pour les définitions qui suivent.
Grandeur physique : On appelle grandeur physique toute propriété de la nature qui peut-être mesurée ou calculée (Inspiré de http://fr.wikipedia.org/wiki/Grandeur_physique
Grandeur physique de base : Les 7 grandeurs physique de base sont
Dimension d'une grandeur physique : C'est l'unité de la grandeur physique, exprimée en fonction des 7 grandeurs physique de base, dans un système d'unité choisi (conventionnellement, le système SI), en suivant les règles de calculs usuelles.
Alors, conformément à cette définition, la dimension de l'angle est nulle, puisque exprimable comme L/L. Maintenant, toujours possible d'adapter pour inclure l'angle, le problème à mon avis étant du coup la non indépendance entre longueur et angle, nécessitant de changer radicalement la définition de dimension physique.
Peut-être cela vous conviendra t'il, mais si on s'en tenait à cette définition, il ne serait jamais question de radian, mais de m/m en SI.
Cordialement.
EDIT: Je crois qu'on s'éloigne toutefois de l'intérêt mathématique de la chose.
J'ai lu; je connais par coeur même. C'est ce que j'ai appris à l'école, il y a très longtemps.
En gros avoir les mêmes facilités de manipulation que pour les autres grandeurs dimensionnées.
Par exemple pour contrôler l'homogénéité qui se perd avec la non dimension d'angle, ou pour changer d'unité d'angle. Je veux travailler en tours plutôt qu'en radian.
Ce n'est pas parce que j'accepte un point de vue que j'exclus l'autre point de vu.
Je suis près à affronter les inconvénients si je peux différentier une longueur d'onde d'une longueur d'onde réduite. (par exemple et tout ce que j'ai déjà cité)
Le fait qu'il y ait une dimension associée à l'unité simplifie le traitement.
Je pense que la dimension physique est associée à l'aspect algébrique (nombre i de la relation d'Euler) et l'unité est associée au nombre (et à la base e). Reste la géométrie (pi) et son pendant physique.
En math, c'est le cas, et en physique, on peut le dimensionner.Je pars du principe qu'un angle est sans dimension, par définition, en revanche, je ne nie pas qu'un angle ait une unité (éventuellement en m/m, ou de manière équivalente, en rad). Maintenant, encore une fois, c'est une question de définition (et de rigueur dimension
Pourquoi croyez-vous qu'on conseille aux étudiants de toujours travailler en radian? Parce que les changement d'unité d'angles sont très casse gueule à cause du non dimensionnement de l'angle.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Et que faites vous des degrés (et autres) pour les conversions?
Pour le L/L, il y a des longueurs courbes et des longueurs droites ce qui est différent physiquement.
En gros : L est la longueur et 1/L la courbure. (ou le contraire)
Un peu...
Si vous voulez parler physique, il y a le fil que j'ai cité en ouverture. Il est là pour cela.
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Avec ce choix de définition, le degré n'a rien à faire ici, puisque j'exprime la grandeur "angle" en fonction de la grandeur "longueur" et j'en fais ma définition de "grandeur physique appelée angle". Son unité est alors nécessairement de la forme L/L, donc selon le point de vue, nulle, m/m (SI), ou par usage historique radian. Tout cela ne change pas la nature de la "grandeur angle", et ces unités sont complètement équivalentes, donc je peux tout à fait m'autoriser à remplacer l'une par l'autre si ça me chante (si ça rend le résultat plus compréhensible).
Evidemment, il serait souhaitable de ne pas le faire, et de s'en tenir tous au mêmes conventions, mais ce n'est pas le cas en général.
Pour ce qui est de l'angle exprimé en degré, ce n'est qu'un changement d'unité, qui ne change pas la nature de la grandeur physique, qui reste de dimension L/L, mais exprimée dans un système d'unité non conventionnel (si l'on admet que conventionnel = SI).
On en a déjà discuté, mais pour rappel on peut rapprocher la problématique particulière de l'angle à la confusion entre vecteur polaire et vecteur axial.
Et il y a une problématique approchante, la confusion entre vecteur et forme linéaire. Le premier est lié à l'opérateur de Hodge, le second aux opérateurs musicaux. Ceux-ci n'amènent de (vagues) soucis qu'avec la relativité et la problématique correspondante n'est pas perçue (par exemple les "vecteurs" inhomogènes (t,x) et (E,p) ne sont pas dimensionnellement proportionnels si on les prend toutes deux comme des 4-vecteurs, mais sont cohérentes si on voit la seconde comme une forme linéaire--en pratique les gens mettent des c pour homogénéiser sans se poser de question, en particulier pas la question pourquoi le c n'est pas mis de la même manière dans les deux cas, e.g., (ct, x) et (E/c, p).).
En gros le système de dimensions est trop simple, il marche bien pour les scalaires mais moins bien pour les autres "natures géométriques".
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Mon opinion est que la notion de dimension est assez limitée, elle est utile dans les cas simples, mais son extension est conceptuellement trop tordue pour rester utile. Les problèmes sous-jacents sont rarement compris, et le plus souvent niés, l'application de recettes étant suffisante pour éviter des conséquences gênantes.
Dernière modification par Amanuensis ; 02/01/2015 à 15h35.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
