Dimension de l'angle

[invite7ce6aa19]

Ben, ci-dessus ce message!

Une constante de temps s'exprime en s/radian

Là je vois.

il y a des maladresses qui pointent.


Quand on a une expression A.exp (i.w.t) celle-ci représente un phénomène périodique et donc géométriquement représenté par un cercle dans le plan complexe. Donc la notion d'angle existe quand on teta= 2.Pi.n (n entier) on a fait n tours ou 2.Pi.n radians


w= 2.pi.f avec f est la fréquence avec f = 1/T

et l'exponentielle s'écrit:

exp ( i.2.Pi.t/T)

on voit que t/T est sans dimension et T s'exprime en seconde

Par contre on peut avoir:

exp (-a.t)

dans ce cas il n' y a pas de mouvement périodique (donc pas d'angle) mais une décroissance exponentielle. on peut écrire:

exp(-t/tau) où Tau est unité de temps (pas de radians, pas de notion d'angle) qui caractérise la décroissance

Il y a le couple aussi. (N.m/rad)

Là aussi il y a une confusion possible.

Un couple c'est:

C = F.R

Le travail d'une force c'est:

dW = F.dL

On voit que couple et travail on même unité et pourtant cela n'a rien à voir physiquement (une malheureuse coïncidence).

Comme dL = R.d (teta)

dW = F.R.d(teta) = C.d(teta)

-----------------------------------------------------------------------

On peut donc dire que le couple c'est un travail par unité d'angle donc en N.m/rad

qu 'il ne faut pas confondre avec le fait qu 'un couple c'est le produit d'une force par une longueur donc en N.m
----------------------------------------------------------------------

Il y a donc 2 systèmes d'unité qui ceux tous deux de dimension N.m mais dont le contenu physique est différent. Un couple qui ne travaille pas s'exprime en N.m alors que le travail d'un couple est en N.m/rad ceci vient simplement du fait que dL= R.d(teta) cad que la distance de travail de la force qui dépend de dL est caché sous la forme de l'angle d(teta).



Objections?
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[stefjm]

Là je vois.
il y a des maladresses qui pointent.

Nan...

Quand on a une expression A.exp (i.w.t) celle-ci représente un phénomène périodique et donc géométriquement représenté par un cercle dans le plan complexe. Donc la notion d'angle existe quand on teta= 2.Pi.n (n entier) on a fait n tours ou 2.Pi.n radians

w= 2.pi.f avec f est la fréquence avec f = 1/T
et l'exponentielle s'écrit:
exp ( i.2.Pi.t/T)
on voit que t/T est sans dimension et T s'exprime en seconde
Par contre on peut avoir:
exp (-a.t)
dans ce cas il n' y a pas de mouvement périodique (donc pas d'angle) mais une décroissance exponentielle. on peut écrire:
exp(-t/tau) où Tau est unité de temps (pas de radians, pas de notion d'angle) qui caractérise la décroissance

Je connais l'aspect temporel.
Ce premier ordre a aussi une réponse fréquentielle et devine quoi une pulsation de coupure qui vaut
et aussi une fréquence de coupure qui vaut

Comprends tu mieux mes problèmes de qui sont des nombres et dont l'unité radian saute?
D'un coté rad/s et de l'autre 1/s pour la première relation. (et pour la seconde, ce n'est pas mieux!)

On voit que couple et travail on même unité et pourtant cela n'a rien à voir physiquement (une malheureuse coïncidence).

On peut la lever avec le radian.

On peut donc dire que le couple c'est un travail par unité d'angle donc en N.m/rad
qu 'il ne faut pas confondre avec le fait qu 'un couple c'est le produit d'une force par une longueur donc en N.m

Je lis bien ce que tu as voulu écrire?
deux unités différentes dans le même système pour une même grandeurs physiques?
Pas clair pour moi.

Il y a donc 2 systèmes d'unité qui ceux tous deux de dimension N.m mais dont le contenu physique est différent. Un couple qui ne travaille pas s'exprime en N.m alors que le travail d'un couple est en N.m/rad ceci vient simplement du fait que dL= R.d(teta) cad que la distance de travail de la force qui dépend de dL est caché sous la forme de l'angle d(teta).

C'est clair, sauf que le travail d'un couple est en N.m si je te suis?

Objections?

Surtout sur la relation entre la pulsasion de coupure en rad/s et la constante de temps en s.

Cordialement.

[coussin]

Comprends tu mieux mes problèmes de qui sont des nombres et dont l'unité radian saute?

L'unité radian ne saute pas. Une pulsation est en rad.s-1, une fréquence en Hertz. Et 1 Hz=2*pi rad.s-1.

[stefjm]

L'unité radian ne saute pas. Une pulsation est en rad.s-1, une fréquence en Hertz. Et 1 Hz=2*pi rad.s-1.

La pulsation de coupure d'un premier ordre à -3dB étant en rad/s et égal à l'inverse de la constante de temps, cela nous fait une constante de temps en s/rad...

Tout le monde oublie le radian et exprime la constante de temps en seconde. (moi compris sauf quand je réfléchis.)

[coussin]

J'ai rien compris
Pour moi, une pulsation est associée à une fonction oscillante et une constante de temps à une exponentielle décroissante. Exp(i*omega*t) et Exp(-t/tau) quoi...

[stefjm]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Diagram..._premier_ordre

Pour un premier ordre, la fonction de transfert s'écrit au choix



Pour un bête circuit RC, cela donne

[invite60be3959]

J'ai rien compris
Pour moi, une pulsation est associée à une fonction oscillante et une constante de temps à une exponentielle décroissante. Exp(i*omega*t) et Exp(-t/tau) quoi...

Je crois que stefjm parlait d'un circuit en régime alternatif!

[doul11]

Pour un premier ordre, la fonction de transfert s'écrit au choix

Ou encore

[stefjm]

Ou encore

et dans ce cas





avec les mêmes ennuis d'homogénéïté.

[coussin]

Toujours pareil
Mais je crois saisir que c'est un truc qui oscille en perdant de l'énergie, nan J'ai plutôt l'habitude de traiter ça avec une fréquence (pulsation plutôt ) complexe . Bah c'est un truc qui oscille avec une période secondes (c'est là* le piège ! ) et dont l'amplitude a diminué de 1/e après secondes.
Où est le problème ?

* Bah ouais : c'est pour que le truc oscillant a « fait un tour », donc revient à comment il était à la période d'avant

[invite686ac3e5]

Un couple c'est:

C = F.R

Le travail d'une force c'est:

dW = F.dL

On voit que couple et travail on même unité et pourtant cela n'a rien à voir physiquement (une malheureuse coïncidence).

Comme dL = R.d (teta)

dW = F.R.d(teta) = C.d(teta)

-----------------------------------------------------------------------

On peut donc dire que le couple c'est un travail par unité d'angle donc en N.m/rad

qu 'il ne faut pas confondre avec le fait qu 'un couple c'est le produit d'une force par une longueur donc en N.m
----------------------------------------------------------------------

Il y a donc 2 systèmes d'unité qui ceux tous deux de dimension N.m mais dont le contenu physique est différent. Un couple qui ne travaille pas s'exprime en N.m alors que le travail d'un couple est en N.m/rad ceci vient simplement du fait que dL= R.d(teta) cad que la distance de travail de la force qui dépend de dL est caché sous la forme de l'angle d(teta).



Objections?

Ah non aucune. je commence même à me poser des questions...

[invite686ac3e5]

Je me suis lancé dans quelques recherches sur le net, ya deja eu des post intéressant sur le sujet notamment dans le forum :
http://forums.futura-sciences.com/ph...dimension.html
J'ai comme l'impression au final que c'est par commodité que l'on a laissé tomber la dimension de téta, et que je viens de me rentre compte que la dimension de i était homogène a l'inverse de la dimension de téta. On zappe tout ca, quitte a faire des oublies parfois sur l'unité, comme la constante de temps (en s/rad).
La prudence devient de mise, quand on décide réintroduire la dimension têta.
têta² est adimensionné, tout comme i². D’où le danger quand on introduit une dimension a têta surtout quand on manipule en aveugle comme en AD.
je me coucherai moins con ce soir.
cordialement,

[coussin]

J'ai comme l'impression au final que c'est par commodité que l'on a laissé tomber la dimension de téta

On a rien laissé tombé du tout… Trainez partout des L^0 dans vos AD dès qu'il y a un angle, qu'on en finisse… Tout le monde sera content : une fréquence en T^-1 et une pulsation en L^0T^-1.

[Amanuensis]

Bonjour,

J'ai comme l'impression au final que c'est par commodité que l'on a laissé tomber la dimension de téta

Oui, mais pas seulement. Le résumé que vous donnez ensuite est correct, mais on en déduit aisément que c'est risqué à utiliser, et le bilan avantages/risques moyenné sur tout le monde n'est pas en faveur des avantages. Et les discussions sur le sujet montrent qu'une majorité de personnes préfèrent ne pas réfléchir aux arguments et botter la question en touche avec des arguments rhétoriques grossiers sans argumenter au fond.

Le "compromis" courant (ne mettre l'unité d'angle que pour les angles eux-mêmes et la vitesse angulaire) reflète à la fois le bilan avantages/risques moyen (il y a quand même un avantage à mettre une unité aux angles et à la vitesse angulaire) et la difficulté "sociale" du sujet (on obtient une présentation générale contradictoire, avec l'angle disparaissant arbitrairement, mais faut l'accepter).

Il n'y a pas qu'une seule "vérité", si on s'en tient à l'idée qu'est "vrai" ce qui est opérationnel. Dans ce cas comme beaucoup d'autres, la meilleure compréhension est obtenue quand on comprend aussi bien les deux approches, et votre message semble indiquer que vous êtes sur cette voie.

Cordialement,

[stefjm]

Bonjour à tous,

Toujours pareil
Mais je crois saisir que c'est un truc qui oscille en perdant de l'énergie, nan J'ai plutôt l'habitude de traiter ça avec une fréquence (pulsation plutôt ) complexe . Bah c'est un truc qui oscille avec une période secondes (c'est là* le piège ! ) et dont l'amplitude a diminué de 1/e après secondes.
Où est le problème ?

* Bah ouais : c'est pour que le truc oscillant a « fait un tour », donc revient à comment il était à la période d'avant

Pas de problème particulier : C'est juste éclairant de garder le radian.

je me coucherai moins con ce soir.

En cas d'insomnie, il y a quelques fils :
Historique FSG:
http://forums.futura-sciences.com/ph...k-reduite.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...une-unite.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...le-moment.html

Plus récent :
http://forums.futura-sciences.com/ph...ion-unite.html

On a rien laissé tombé du tout… Trainez partout des L^0 dans vos AD dès qu'il y a un angle, qu'on en finisse… Tout le monde sera content : une fréquence en T^-1 et une pulsation en L^0T^-1.

Ne te fais pas plus bête que tu n'es!
Ecrire radian=L^0 n'apporte aucune contrainte. (ajouter l'équation 1=1 dans l'AD n'est pas d'une efficacité foudroyante!)

Par contre, c'est intéressant car cela lie le radian à la longueur, ce que dit aussi MissPacMan.

J'avais fais des tentatives rad=L^1 qui conduise à des L^2=1, L=1/L, dont j'avais causé là :
http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post2863363
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post1739874

Il n'y a pas qu'une seule "vérité", si on s'en tient à l'idée qu'est "vrai" ce qui est opérationnel. Dans ce cas comme beaucoup d'autres, la meilleure compréhension est obtenue quand on comprend aussi bien les deux approches, et votre message semble indiquer que vous êtes sur cette voie.

Heureux de te revoir.
J'espère que je suis bilingue et que je vais réussir à comprendre un peu mieux.
Un vrai jeux de piste!

Cordialement.

[coussin]

J'avais fais des tentatives rad=L^1 qui conduise à des L^2=1, L=1/L, dont j'avais causé là :

Toi aussi ne te fais pas plus bête que tu n'es… Bien entendu qu'en posant rad=L^1 on arrive à des absurdités puisque rad=L^0.
J'ai du mal à comprendre comment cette discussion peut durer aussi longtemps (pis c'est ta spécialité en plus de remonter périodiquement tes vieux sujets, hein )

[stefjm]

L'absurdité L=1/L n'est pas de mon fait, c'est lorsqu'on veut à la fois le système d'unité basé sur (h,c) et celui basé sur (c,G).

Et puis ce n'est pas de ma faute non plus si c'est rad^2 qui est sans dimension et pas radian^1.

Cherchez les pistes est intéressant et les incompréhensions des autres m'aident à avancer, puisqu'il me faut faire des efforts pour comprendre aussi!

Cordialement.

[invite69d38f86]

Je ne vois pas non plus l'intéret.
Mais pour répondre au dimensionnement des sinus par exemple,
comme sin( x) = x - x3/3!+ etc on ajouterait des choses de dimensions différentes.

[invite686ac3e5]

Je ne vois pas non plus l'intéret.
Mais pour répondre au dimensionnement des sinus par exemple,
comme sin( x) = x - x3/3!+ etc on ajouterait des choses de dimensions différentes.

nan je viens de le dire, un angle au carrée, comme i², est sans dimension. ca reste cohérent...

[coussin]

Mais bien sûr…

[stefjm]

Mais bien sûr…

Je ne comprends pas ta remarque un brin ambigüe.

Dans le développement en série de e^{ix}, c'est ix qui est sans dimension, d'où le développement façon classique.
Dans celui du sinus et du cosinus, il n'y a plus de i mais comme x^2=[1], cela reste cohérent.

T'es jaloux ou quoi?

[invite47ecce17]

Bonjour,
Je remonte cette vieille discussion car j'ai reflechi à la notion d'angle (du plan) recemment (les vacances dans le pay berrichon sont propices à la reflexion!) et quelle etait la manière la plus propre de l'introduire, et je sais que ca fera plaisir à Stefjm.
En fait si je relis la réponse que j'avais faite à l'epoque

dans un espace muni d'un produit scalaire, on montre qu'il existe un unique reel a, defini a 2pi pres tel que (u,v)=||u||.||v|| cos(a), on appelle angle entre u et v la classe de ce reel

si elle est correcte, je m'apercois qu'elle est finalement eloigné de l'approche naive de ce qu'"est" un angle et qu'il y a peut etre plus pertinent comme réponse.

Du coup, je proposerai plutot comme définition d'angle plan (dans le plan affine) une paire de droite non parallèle à rotation+translation pres, un angle orienté etant un couple de droite à rotation+translation pres, il est facile de montrer qu'une fois choisi une origine, tout angle peut etre représenté par une paire dont l'intersection est l'origine et dont une des droites est l'axe des abscisses et de s'assurer que l'ensemble des angles orientés est alors en bijection avec la droite projective réelle qui est elle meme isomorphe (en tant que variété lisse par exemple) à S1, finalement le fait d'associer un réel modulo 2\pi à un angle est... assez "élaboré" (pas au sens difficile mais au sens qu'il ya beaucoup de choix et de constructions intermediaires à faire entre).

Et c'est exactement le point du vue du rapporteur, un rapporteur c'est un jeu de representants des differente couple de droites à rotation+translation pres, ca c'est naturel... c'est la graduation du rapporteur qui elle résulte d'un choix, dans ce cadre le fait qu'il y ait plusieurs "unités" pour l'angle provient simplement du fait qu'il y a dix mille manière de paramétriser le cercle. La plus "naturelle" mathémtiquement consiste à voir le cercle comme R/Z via l'exponentielle, et c'est de là que vient le "radian" (qui je le repete n'a pas d'existence mathémtique), un choix different d'unité est simplement un choix de paramétrisation different du cercle.

Bon désolé encore pour le deterrage (surtout que je m'apercois qu'il apporte pas grand chose, en imaginant ce que j'allais ecrire ca me paraissait plus pertient qu'en le voyant là ecrit).

[Nicophil]

Bonjour,

voir le cercle comme R/Z via l'exponentielle,

C'est-à-dire ?

[Médiat]

Bonjour,

Je suppose que MiPaMa pense à

[invite47ecce17]

C'est-à-dire ?

Je suppose que MiPaMa pense à

Tout à fait.
Il est d'ailleurs tres amusant de prouver les theoreme de géométrie euclidienne à partir de la definition que j'ai proposé, notamment prouver que la somme des angles d'un triangle vaut un angle plat est d'une telle facilité que je me demande pourquoi on ne propose pas cette preuve au collégiens (a vrai dire je n'avais jamais eu de preuve de ce resultat dans ma scolarité).

[stefjm]

[...]
Et c'est exactement le point du vue du rapporteur, un rapporteur c'est un jeu de representants des differente couple de droites à rotation+translation pres, ca c'est naturel... c'est la graduation du rapporteur qui elle résulte d'un choix, dans ce cadre le fait qu'il y ait plusieurs "unités" pour l'angle provient simplement du fait qu'il y a dix mille manière de paramétriser le cercle. La plus "naturelle" mathémtiquement consiste à voir le cercle comme R/Z via l'exponentielle, et c'est de là que vient le "radian" (qui je le repete n'a pas d'existence mathémtique), un choix different d'unité est simplement un choix de paramétrisation different du cercle.

Bonjour,
Merci pour vos relances et explications.
J'arrive à comprendre le coté naturel de voir le cercle comme R/Z, mais du coup, je verrais plutôt l'unité 1 comme plus naturelle. (le tour.)

plutôt que

Je suppose que MiPaMa pense à

En physique, ce n'est qu'un changement d'unité physique sans conséquence pour la grandeur dimensionnée angle.
De nombreux physiciens-ingénieurs-techniciens écrivent et comprennent des trucs du genre



En math, c'est un changement de paramétrage qui revient bien à poser une égalité entre angle dimensionné, via une classe d'équivalence. Non?

En physique, ce qui est intriguant pour moi est le fait qu'il sorte des indéterminations de un peu partout.
ou .
fréquence ou pulsation.
constante de temps ou constante de temps normalisée.
longueur d'onde ou longueur d'onde réduite.
etc...

Avec à chaque fois des ennuis de dimensions physiques si on ne fait pas sauter la dimension physique de l'angle en argumentant un truc du genre : Ah, mais oui, ici, c'est des maths, donc pas de radian qui n'a pas d'existence mathématique. Cf MiPaMa. (2\pi est un nombre sans dimension, pas un angle.)

Evidement, quand on fait cela, il vaut mieux être en radian, sinon, c'est très casse gueule. (Mais c'est sans doute plus pour une raison d'habitude qu'autre chose. Non?)

Bon désolé encore pour le deterrage (surtout que je m'apercois qu'il apporte pas grand chose, en imaginant ce que j'allais ecrire ca me paraissait plus pertient qu'en le voyant là ecrit).

Ca me permet de comprendre mieux, donc ça me va bien.
En recoupant avec les interventions d'Amanuensis sur le sujet, j'y vois plus clair.
Surtout n'hésite pas à continuer.
Cordialement.

PS: Je réfléchis encore à tes interventions à propos de la phase en physique et de la phase déroulée.
http://forums.futura-sciences.com/ph...-physique.html
http://forums.futura-sciences.com/ma...rap-phase.html

[Amanuensis]

Bonjour,
Merci pour vos relances et explications.
J'arrive à comprendre le coté naturel de voir le cercle comme R/Z, mais du coup, je verrais plutôt l'unité 1 comme plus naturelle. (le tour.)


plutôt que

Il y a confusion quelque part ; l'unité de 1 tour est pour la seconde formule, pas la première, car . (Ce qui est normal, puisqu'on parle de R/Z: l'incrément de Z est 1.)

Et la première expression est celle pour les radians, puisque

[stefjm]

Même en réfléchissant, j'arrive à m'embrouiller.
Quoi qu'on choisisse comme normalisation, il sort un 2\pi quelque part? (Comment apparait-il d'ailleurs?)
Le choix arbitraire du radian comme unité qui n'existe pas en math est motivé par quoi?

[invite47ecce17]

Bien sur qu'il y a un 2\pi quelque part, et qu'il ne pourra pas etre enlevé.
Le point fondamental c'est que alors que et ca vous ne pourrez pas y couper. Or c'est bien la définition d'exponentielle comme qui est fondamentale, ou si vous preferez son statut de solution à l'equa diff X'=X.

Ensuite effectivement vous pouvez choisir de voir le parametrage comme R/2\pi Z, qui s'envoie sur le cercle via e^ix ou comme R/Z qui s'envoie sur le cercle via e^i2\pi x

[Amanuensis]

Le choix arbitraire du radian comme unité qui n'existe pas en math est motivé par quoi?

Par exemple par la définition de cosinus et sinus :

Et de là par l'équa diff , et autres...

Comme déjà remarqué dans des fils anciens, le choix du radian est une sorte de minimisation du nombre de cas où des 2pi apparaissent...