Dimension de l'angle

[Amanuensis]

suite... J'ai oublié sin(x) approché par x près de 0, ce qui a un usage important (linéarisation).
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[stefjm]

Bien sur qu'il y a un 2\pi quelque part, et qu'il ne pourra pas etre enlevé.
Le point fondamental c'est que alors que et ca vous ne pourrez pas y couper. Or c'est bien la définition d'exponentielle comme qui est fondamentale, ou si vous preferez son statut de solution à l'equa diff X'=X.

ou bien encore sont aussi des nombres intéressants.
Et au moins, pour eux, on a leur décomposition en fraction continue, alors que pour ou , cela ne parait pas encore gagné.
tan(1) = [1; 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, 21, 1, 23, 1, ...]
e^i = [1 + i; -2 + i, 1 + 3i, -2, 1 - 5i, -2, 1 + 7i, -2, 1 - 9i, -2, 1 + , ...] (using the Hurwitz expansion)

Ensuite effectivement vous pouvez choisir de voir le parametrage comme R/2\pi Z, qui s'envoie sur le cercle via e^ix ou comme R/Z qui s'envoie sur le cercle via e^i2\pi x

Ah, finalement, ça me rassure un peu.

Par exemple par la définition de cosinus et sinus :
Et de là par l'équa diff , et autres...
suite... J'ai oublié sin(x) approché par x près de 0, ce qui a un usage important (linéarisation).

Ca, c'est le coté sympa normalisé à 1 et de l'autre coté moins sympa, il sort des pulsations partout, plutot que des fréquences.

Comme déjà remarqué dans des fils anciens, le choix du radian est une sorte de minimisation du nombre de cas où des 2pi apparaissent...

Je n'ai pas du les lire, ou alors, ce n'était pas écrit si clairement.
C'est un choix de physicien, parce que d'après MiPaMa, les mathématiciens n'ont pas ce choix? Un angle n'a pas d'unité (ou s'exprime en radian qui n'existe pas en math).

Cordialement.

[Amanuensis]

C'est un choix de physicien, parce que d'après MiPaMa, les mathématiciens n'ont pas ce choix? Un angle n'a pas d'unité (ou s'exprime en radian qui n'existe pas en math).

À mon avis, c'est affaire d'opinion. C'est comme un système de coordonnées, ou une origine, ou une constante d'intégration, ce sont des "jauges", faut bien en choisir une, le choix est arbitraire, et la commodité prime en maths aussi bien qu'en physique.

Mon attitude de base est toujours la même: mieux vaut comprendre toutes les opinions et savoir s'adapter au contexte que chercher à être normatif quand il n'y a pas de raison importante à une norme. (Cela va faire marrer ceux qui connaissent ma profession superficiellement...)

[invitef29758b5]

C'est un choix de physicien, parce que d'après MiPaMa, les mathématiciens n'ont pas ce choix? Un angle n'a pas d'unité (ou s'exprime en radian qui n'existe pas en math)

Une unité en math , ça n' a pas de sens .
Une même équation peut s' appliquer à des problèmes physique très différents .
C' est uniquement quand je dit : "Soit x le prix du kilo de patates" que x prend une dimension .
Et il faut en plus que j' ajoute "en Euro" pour lui attribuer une unité .

[Amanuensis]

Une unité en math , ça n' a pas de sens .

Normatif...

[invitef29758b5]

Qui a décrété que quand on écrit e^ix , x doit obligatoirement représenter un angle ?

[coussin]

Qui a décrété que quand on écrit e^ix , x doit obligatoirement représenter un angle ?

En tout cas, ça doit être sans dimension.

[stefjm]

Qui a décrété que quand on écrit e^ix , x doit obligatoirement représenter un angle ?

Je ne sais pas trop ce que tu veux dire par obligatoirement?
e^ix est un cercle dans le plan complexe, alors du cercle à l'angle...

[Nicophil]

Bonjour,
C'est un point du cercle.

[Nicophil]

... ou sans doute plutôt le vecteur dans le plan complexe (2D) de norme 1 et d'argument x.

[invitef29758b5]

e^ix est un cercle dans le plan complexe, alors du cercle à l'angle...

...il y a toute la distance entre l' algèbre et la mesure de la terre (géométrie)

[Amanuensis]

Qui a décrété que quand on écrit e^ix , x doit obligatoirement représenter un angle ?

La formule doit être d'Euler, non?

Maintenant, on peut effectivement considérer les fonctions cosinus et sinus sans aucun rapport avec la notion d'angle.

[Amanuensis]

En tout cas, ça doit être sans dimension.

Cela ressemble à un mantra.

[stefjm]

D'autant plus que dans le cas de la série entière qui définit l'exponentielle, le rayon de convergence est infini.
Cela permet de définir plutôt facilement l'exponentielle d'une dimension (ou d'une unité)
Comme la dimension est multiplicative, cela ne va pas trop mal.

@Nico : je ne comprends pas l'intérêt de ta remarque. e^(ix) décrit le cercle quand x décrit 0..2oi. C"est une évidence.

@Dynamix : On n'est jamais obligé de reconnaître quoi que ce soit quand on le manipule.

[coussin]

Cela ressemble à un mantra.

Pas du tout, c'est juste du bon sens... Tout argument d'une fonction acceptant un développement de Taylor (comme cos et sin cf. votre message précédent...) doit être sans dimension sinon ce développement de Taylor ne peut pas être homogène.

[Nicophil]

Un angle n'a pas d'unité (ou s'exprime en radian qui n'existe pas en math).

Le radian, le degré sont des unités en géométrie.

...il y a toute la distance entre l' algèbre et la mesure de la terre (géométrie)

Mais la géométrie, c'est des maths, pas de la physique.
Nous avions commencé à discuter des dimensions en géométrie ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html

[Amanuensis]

Pas du tout, c'est juste du bon sens...

Non, juste une opinion. Que je comprends d'ailleurs. Mais je comprends aussi l'opinion opposée. Ce que je ne comprends pas c'est l'attitude visant à faire passer une opinion pour une vérité.

Tout argument d'une fonction acceptant un développement de Taylor (comme cos et sin cf. votre message précédent...) doit être sans dimension sinon ce développement de Taylor ne peut pas être homogène.

C'est comme dire que toute fonction dérivable en physique ne peut qu'avoir un argument sans dimension parce qu'approchable par une fonction affine. Un argument dimensionné donne des dérivées successives dimensionnées, c'est tout.

La vitesse angulaire s'exprime en rad/s, par exemple. cos(theta) pour un mouvement circulaire (pas nécessairement uniforme, mais Cinfini) aura bien en général un développement de Taylor, dont il est aisé d'analyser l'homogénéité.

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Il y a bien des arguments en faveur de l'opinion consistant à refuser l'angle comme dimension (malgré l'existence de différentes unités), mais je ne trouve pas celui-là parmi les plus convaincants.

[coussin]

Dans cos(theta), theta est un angle sans dimension, non ? Quel rapport avec la vitesse angulaire en rad/s ?
Cet argument d'homogénéité qui ne vous convainc pas, je le trouve massue.
Le cosinus d'une quantité dimensionnée ne peut pas exister. Prouvez-moi le contraire.

[Nicophil]

Le cosinus d'une quantité dimensionnée ne peut pas exister. Prouvez-moi le contraire.

En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions dont la variable est une mesure d'angle.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...om%C3%A9trique

Par définition, elles ne s'appliquent qu'à des variables qui ont pour dimension une mesure d'angle = qui sont de dimension "angle".

[coussin]

Ok et que déduisez-vous de cette dimension [angle] d'une analyse dimensionnelle d'une développement de Taylor ? Moi je déduis que [angle]=1...

[invite47ecce17]

En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions dont la variable est une mesure d'angle.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Foncti...om%C3%A9trique

Par définition, elles ne s'appliquent qu'à des variables qui ont pour dimension une mesure d'angle = qui sont de dimension "angle".

C'est de toute façon faux (ou plutot ca n'a pas vraiment de sens en fait).

[invite47ecce17]

Au passage pour fixer les choses, on peut aller voir ce qu'en dit bourbaki ici
http://sites.mathdoc.fr/archives-bou..._iecnr_030.pdf (page 64)
leur définition est tres proche de celle que j'ai proposé plus haut (enfin en meme temps elle est si naturelle).

Au passage, on peut dire que la notion d'unité est une forme de typage. Si la notion d'unité est absente des mathematiques, les notions sont par contre tres typées (bien plus qu'en physique), et la question de l'unité (ou de l'argument des fonctions trigo) pour l'angle, pourrait etre par exemple "l'exponentielle (complexe) est elle définie sur R ou sur R/Z" ce qui montre bien l'absurdité de la question en l'ecrivant puisqu'il y a bijection fonctorielle entre les applications de R dans ce qu'on veut 2pi periodique et celle de R/Z, qui preserve a peu pres toutes les structure que l'on veut.

[Nicophil]

Une dimension n'a pas de dimension.
Un angle n'a pas de dimension, pour la bonne raison que l'angle est une dimension.

Le radian est une unité de mesure d'angle comme l'hectare est une unité de mesure d'aire. Et quelle est la dimension d'une aire ? une aire n'a pas de dimension, pas plus qu'une longueur ou une masse : l'aire, la longueur, la masse sont des dimensions.

Mais d'un autre côté, les géomètres disent qu'une aire est de dimension 2 (dans un espace de dimension 3, parce que dans un espace de dimension 4, une aire est de dimension 3)...
Ainsi, on pourrait peut-être dire qu'un angle est de dimension "rotation" (alors qu'un vecteur serait de dimension "translation") ?

[coussin]

Qu'est ce qui cloche avec la définition usuelle de l'angle ( deux droites non parallèles, le quotient de l'arc de cercle par le rayon qui le porte...) ?
Pourquoi en chercher une autre ?

[invitef29758b5]

Mais d'un autre côté, les géomètres disent qu'une aire est de dimension 2

Tu mélanges la dimension au sens mathématique et la dimension au sens physique .
En math on parle de N dimensions sans se préocuper de ce qu' elles représentent.
U = R.I , c' est pareil que Z = X.Y
En physique la dimension de Z dépend de ce que représentent X et Y

On ne parle ici que d' angle .
La notion d' angle est assez floue .
Ne devrait on pas plutôt parler d' arc ?
La longueur d' un arc divisée par son rayon , c' est nettement moins flou .
Et ça a l' avantage d' être par définition sans dimension ...

[invite47ecce17]

Ben la definition usuelle est celle de Bourbaki, on en cherche pas une autre (enfin pas moi en tout cas), je ne la connaissais simplement pas, et j'ignorais meme que Bourbaki en avait fournit une.
Et comme je l'ai dit, la notion d'angle (entre deux demi droites) en tant que telle (suivant la def de bourbaki par exemple) est pas tres profonde. On peut s'en passer totalement, tellement elle est proche de la notion de point du cercle. Mais ca reste une notion intuitive qui permet de "comprendre geométriquement" ce qu'il se passe.

Ensuite stefjm et d'autre s'interessent à la version physique de la notion et de l'interet de lui attribuer une dimension, une unité etc...

[Amanuensis]

Si la notion d'unité est absente des mathematiques,

Assez intéressant à analyser en prenant en compte la polysémie du terme "unité".

On peut approcher cela de la pratique (en physique) à remplacer c par 1.

[Amanuensis]

Le cosinus d'une quantité dimensionnée ne peut pas exister. Prouvez-moi le contraire.

C'est circulaire: tout exemple qu'on vous donnera sera interprété dans votre système de pensée (d'opinions) et le confortera tautologiquement.

C'est bien le problème avec des opinions sur des sujets fondés sur un arbitraire (la notion de dimension est arbitraire). On peut se fabriquer des systèmes cohérents en partant d'une opinion ou d'une autre.

Personnellement, l'intérêt que je trouve à ces systèmes circulaires est de les comparer, de comprendre chaque système (ici chaque notion plus ou moins large du concept de "dimension") en tant que tout circulairement cohérent, mais aussi (surtout) ce que les différents systèmes ont en commun. Ici, non pas à défendre telle ou telle approche normative du concept de dimension, mais ce qu'est une dimension indépendamment du système normatif choisi.

Une mesure angulaire est intéressante pour une telle analyse justement parce qu'il y a désaccord entre les opinions.

Les "défis" posés par les normatifs (tel ce à quoi réagit ce message) n'ont aucun intérêt en tant que défi à relever (on sait d'entrée qu'on entre dans des circularités), mais sont très intéressant pour l'analyse des différentes manières dont est approché le concept de dimension.

[invite47ecce17]

Assez intéressant à analyser en prenant en compte la polysémie du terme "unité".

On peut approcher cela de la pratique (en physique) à remplacer c par 1.

Oui, ce fil a été une occasion pour moi d'y reflechir et je trouve, en tout humilité, que la notion d'unité et de dimension physique a pour analogue en maths cette notion de typage auquel je faisais reference.
La notion d'unité physique est finalement tres proche de la notion de paramétrage. L'ensemble des longueurs peut etre paramétré par l'ensemble des réels, se fixer une unité, une longueur de référence, c'est se fixer se paramétrage par le choix de sur qui va s'envoyer 1.
Dans ce contexte si Angle est l'espace des angles (suivant ma déf ou celle de bourbaki dont la mienne est une resucée) alors radian peut etre vu comme l'application de R dans Angles qui à t associe la classe de la demi droite {ae^it, a\in R+}, et l'application degré celle qui a t associe ae^{it\pi/180}, ecrire la mesure de l'angle vaut n radians, c'est dire que c'est l'angle radian(n), et pareil pour degré.
Il faut noter que dans mon laius il y a deja une identification implicite celle de U(1) avec l'espace des angles, mais l'identification entre les deux est naturelle (en un sens que je vais pas définir).

[Amanuensis]

Pas bien sûr que mon sous-entendu ait été perçu: la notion d'unité (à un certain sens) est très courante en mathématiques! C'est ce qui est représenté par le nombre 1 par exemple.

La notion d'unité physique est finalement tres proche de la notion de paramétrage. L'ensemble des longueurs peut etre paramétré par l'ensemble des réels, se fixer une unité, une longueur de référence, c'est se fixer se paramétrage par le choix de sur qui va s'envoyer 1.

Je pense que c'est proche, ou la même chose, que ce que j'ai appelé une "jauge" plus tôt. Le choix d'une référence vient d'une symétrie (d'un automorphisme). Dans le cas additif on appelle cela une "origine", dans le cas multiplicatif (symétrie d'échelle) la référence est une "unité". Dans les cas plus compliqués on va appeler cela une "jauge" (genre jauge de Lorenz pour le potentiel électro-magnétique). Dans d'autre cas on a des termes spécialisés (comme référentiel inertiel en cinématique galiléenne ou minkowskienne).

Ce qui est commun à ces cas est que le choix est essentiellement arbitraire, et que les résultats qualitatifs sont indépendants du choix (indépendance reflétant la symétrie sous-jacente).

Dans ce contexte si Angle est l'espace des angles (suivant ma déf ou celle de bourbaki dont la mienne est une resucée) alors radian peut etre vu comme l'application de R dans Angles qui à t associe la classe de la demi droite {ae^it, a\in R+}, et l'application degré celle qui a t associe ae^{it\pi/180}, ecrire la mesure de l'angle vaut n radians, c'st dire que c'est l'angle radian(n), et pareil pour degré.

J'arrive aisément à faire entrer ce texte avec ma manière de voir. Il faut distinguer le "concept" (ici angle) et ses représentations, celles-ci étant multiples et formant un ensemble présentant une symétrie (ici d'échelle).