A propos de Pi

[Médiat]

pour moi les objets et les proprietes mathematiques ont une existence independante du cerveau humain, et qu'on les invente pas, on les decouvre.

Alors qui les à inventés ?

La majorité des logiciens (voir Krivine par exemple) ne "croient" (1) pas à cette idée.

(1) A moins que l'on me donne une démonstration
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[gg0]

Bonsoir Syborgg,

tu te dis Pythagoricien, mais sans doute est-ce une confusion de nom, car ce que tu développes se traduit habituellement pas "je suis platonicien". Les Pythagoriciens formaient (*) une secte religieuse à base de nombres (**), assez virulente pour avoir été bannie plusieurs fois des cités grecques. Un des avatars est la numérologie. Cependant on voit refleurir ce genre d'idée actuellement, sous la forme "tout est programme informatique" (***), cœur des espérances en intelligence artificielle, entre autres de ceux qui veulent construire un "cerveau artificiel".
Ma position personnelle est intermédiaire entre la tienne et ce que dit Médiat des logiciens. Il me semble que les mathématiciens inventent des outils mathématiques, mais qu'une fois cette invention faite, ils découvrent ce que ces outils permettent de prouver. Il me semble difficile de croire que l'outil "vecteur" (du plan) préexistait à son invention, à la charnière su dix-neuvième et du vingtième siècle, même si la notion de "force" de Newton était déjà une prémisse de l'idée. Mais ce qui a été inventé (sous différentes formes qui se sont révélées isomorphes, longueur/direction/sens, différence de points, bipoints équipollents, matrices 1x2, ..) était vraiment inventé pour servir, on aurait pu travailler dans un autre formalisme.

"Tu ne m'as pas dit s'il y a des choses qui te surprennent (qui t’étonnent) en maths, et si oui lesquelles ?" Je m'attendais à ce genre de questions, et ma réponse était prête : "Tout. Et rien."
Tout, car je n'ai toujours pas trouvé de raison à ce que 6 fois 7 fasse 42 (****), je sais le prouver depuis tout petit, mais je n'ai pas de raison. Et rien, parce que l'étude de la philosophie des sciences et des maths m'a permis de comprendre qu'on ne donne pas le pourquoi des choses, seulement le comment. Ce qui ne m'interdit pas de trouver spectaculaires certaines passerelles, et de me souvenir de mon plaisir de voir la trigonométrie (pas très clairement présentée au lycée) apparaître comme un sous-produit de l'étude des séries entières.

Avant de finir, je te propose d'essayer de trouver pourquoi apparaît par l'intermédiaire de la fonction de Gauss (ou la fonction erf) dans le théorème central limite. Qui est une des grandes idées des statistiques.

Cordialement.


(*) à l'époque de Pythagore, puis pendant plusieurs siècles.
(**) idée de base : "tout est nombre"; au départ, nombre voulait dire entier au moins égal à 2.
(***) un peu en déclin depuis qu'on a constaté que le "programme génétique" était tout sauf un algorithme. L'expression des gènes est dominée par le lieu où elle s'exerce et des influences chimiques héritées.
(****) et en plus, 1/7 = 0,142857...

[syborgg]

Alors qui les à inventés ?

La majorité des logiciens (voir Krivine par exemple) ne "croient" (1) pas à cette idée.

(1) A moins que l'on me donne une démonstration

Bon deja, Grothendieck c'est sur qu'il pensait ca (il suffit de lire ses nombreux ecrits), et ce n'est pas des moindres.
Ensuite si tu entends parler Serre du programme de Langlands il est fort probable qu'il le pense aussi.
Idem pour Connes.
Sur pour Cantor.
En fait des que tu est chercheur et que tu touches a des questions qui relient profondement des sujets qui n'ont a priori rien a voir, tu est tente de penser ceci ne serait ce que de facon passagere, meme si ton esprit rationnel te souffle que c'est du delire.
Et tous les physiciens theoriques sont je pense tentes de le penser aussi.

[syborgg]

gg0 oui, je voulais dire platonicien en effet. Et je suis d'accord avec tes precisions : l'outil est invente pour decouvrir des choses qui sont independantes de l'esprit humain.
En ce qui concerne le theoreme central limite, mes connaissances en proba sont a peu pres nulles. Mais minushabens parlait au debut du fil du fait que Pi intervient en proba a cause de la fonction t --> exp(it), est ce de ca dont il s'agit ?

[gg0]

Non,

tu peux aller voir "fonction erf".

[Médiat]

En fait des que tu est chercheur et que tu touches a des questions qui relient profondement des sujets qui n'ont a priori rien a voir, tu est tente de penser ceci ne serait ce que de facon passagere,

Ben non jamais je n'ai eu cette tentation, et je maintiens ce que j'ai dit à propos des logiciens, désolé, mais je n'ai pas l'âme religieuse (croire en quelque chose dont on ne sait pas ce que c'est, où c'est, d'où cela vient, à quoi cela resemble, de quoi c'est fait etc.)

Que Connes soit platonicien ne fait aucun doute, mais il n'est pas logicien que je sache.

[Médiat]

Bonsoir gg0

Il me semble que les mathématiciens inventent des outils mathématiques, mais qu'une fois cette invention faite, ils découvrent ce que ces outils permettent de prouver.

Une version du point 3 ?
https://forums.futura-sciences.com/e...ml#post6203479

[gg0]

Effectivement,

en reprenant ce que dit un intervenant logicien d'un autre forum, "toutes les propriétés mathématiques prouvées ne sont que des rassemblements d'évidences".
Cela si on considère que les mathématiques sont le rassemblement des preuves déjà établies (*). Cependant, si on les considère comme la résolution de problèmes, tant qu'on n'a pas établi la preuve (ou si on ne la connaît pas), les notions élaborées sont des éléments du "monde mathématique" et les outils mathématiques sont des moyens de découvrir ce "monde". Enfin pour tous ceux qui utilisent les mathématiques pour comprendre le monde concret, la logique et les mathématiques sont seulement des outils, les preuves des mathématiciens ne les intéressent que pour savoir comment utiliser ces outils.

Pour moi qui ne suis pas logicien, les trois aspects sont tout aussi valables.

Cordialement.

(*) Et encore ... comprendre les preuves sans utiliser des "outils" (qui ne sont que des noms permettant de résumer, mais prennent une signification intuitive à l'usage) est hors de portée des humains dès qu'on est loin des preuves basiques. Par exemple le théorème de D'Alembert, écrit dans le formalisme ZFC peut-il même être lu ?

[Médiat]

en reprenant ce que dit un intervenant logicien d'un autre forum, "toutes les propriétés mathématiques prouvées ne sont que des rassemblements d'évidences".

Même si ce n'est pas faux, je n'aime pas cette façon de dire car elle donne une idée fausse (ou nous fait tomber dans le paradoxe sorite)

Cela si on considère que les mathématiques sont le rassemblement des preuves déjà établies (*). Cependant, si on les considère comme la résolution de problèmes, tant qu'on n'a pas établi la preuve (ou si on ne la connaît pas), les notions élaborées sont des éléments du "monde mathématique" et les outils mathématiques sont des moyens de découvrir ce "monde". Enfin pour tous ceux qui utilisent les mathématiques pour comprendre le monde concret, la logique et les mathématiques sont seulement des outils, les preuves des mathématiciens ne les intéressent que pour savoir comment utiliser ces outils.

+1

Par exemple le théorème de D'Alembert, écrit dans le formalisme ZFC peut-il même être lu ?

Absolument pas , et cela serait de peu d'intérêt, ce qui est intéressant (voir plus), c'est de savoir que l'on peut le faire

Cordialement

[gg0]

on est d'accord !

Voir cependant "Il peut le dire" (vers 4 mn 55)

Cordialement.

[Médiat]

on est d'accord !

Voir cependant "Il peut le dire" (vers 4 mn 55)

Cordialement.

Je n'ai même pas cliqué, je connais par cœur

Cordialement

[stefjm]

on est d'accord !
Voir cependant "Il peut le dire" (vers 4 mn 55)

Je n'ai même pas cliqué, je connais par cœur

Bonjour,
J'ai l'impression d'avoir déjà vécu cette conversation, et c'était déjà à propos de pi!
https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/829767-formules-de-pi-2.html#post6225242

Envoyé par stefjm
Par curiosité, à quoi ressemble une formule de ZF qui donne ?

Envoyé par Médiat
Vous savez bien qu'en mathématiques, savoir que l'on peut faire, vaut mieux que faire

Envoyé par Médiat
Dois-je en conclure que vous savez faire ?
[...]
De plus, si savoir faire est plus important que faire, il faut néanmoins prouver que l'on sait faire : à vous de jouer



Je l'avoue, je suis un bot, pas forcément clever...

Cordialement.
Edit : https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post6225141

[invite9dc7b526]

Que Connes soit platonicien ne fait aucun doute, mais il n'est pas logicien que je sache.

on pourrait arguer que s'agissant de mathématiques, l'opinion des mathématiciens est plus pertinente que celle des logiciens

mais quoi qu'il en soit, ces question philosophiques n'ont pas beaucoup d'incidence sur les mathématiques qui se font.

[invitedd63ac7a]

Je ne vois pas pourquoi les logiciens serait les chefs de file des agnostiques des mathématiques en refusant tout platonisme.

Dans mon opinion le platonisme est plus une sensation, une impression fugitive et difficilement "cernable" en termes précis que laisse dans notre esprit l'activité mathématique. C'est analogue, toujours à mon sens, à une pensée religieuse qui nous pousse ou non à croire en l'existence de quelque chose qui nous dépasse et ceci hors toute rationalité.

[syborgg]

Mediat : je ne sais pas ce que tu entends par "logiciens" : mais si tu y inclus la theorie des modeles moderne, il y doit y avoir pas mal de platoniciens ou au moins a tendance platonicienne; ne serait ce que parmi ceux que j'ai cotoye directement ou indirectement, Pillay, Shelah, Wagner le sont probablement.
Je ne sais pas non plus ce que tu entends par "religieux" car c'est un mot fourre-tout tres propice a des malentendus divers et varies.
Personellement en tout cas, je trouve tout aussi ridicule les positions d'agnostique/materialiste revendiquee avec tant de ferveur que c'en est presque... religieux, que celles a l'exact oppose des barjos de la religion du genre creationnistes.
Les debats Dawkins-Chopra m'ennuient profondement car ca ne mene a rien.
J'ai plutot une position intermedaire : je crois en la science materialiste car elle fonctionne a merveille et c'est magnifique, mais je reste ouvert a la possibilite qu'il existe des mysteres qui depassent l'entendement humain ordinaire (je ne pretends pas que Pi en fasse parti cependant).

[syborgg]

Ah et pour rester dans la pure logique bien classique, il serait interessant de savoir si Godel n'etait pas platonicien, ce qui ne me surprendrait pas.

[syborgg]

Bonjour,
J'ai l'impression d'avoir déjà vécu cette conversation, et c'était déjà à propos de pi!
https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/829767-formules-de-pi-2.html#post6225242

Envoyé par stefjm
Par curiosité, à quoi ressemble une formule de ZF qui donne ?

Envoyé par Médiat
Vous savez bien qu'en mathématiques, savoir que l'on peut faire, vaut mieux que faire

Envoyé par Médiat
Dois-je en conclure que vous savez faire ?
[...]
De plus, si savoir faire est plus important que faire, il faut néanmoins prouver que l'on sait faire : à vous de jouer



Je l'avoue, je suis un bot, pas forcément clever...

Cordialement.
Edit : https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post6225141

Mediat a raison, en logique et surtout en theorie des ensembles, souvent on sait sans aucun doute qu'il serait possible d'ecrire des formules du premier ordre qui decrivent une situation, mais on ne le fait jamais car ces formules seraient horribles a ecrire et a lire, et que cela n'apporterait rien de plus.

[invite51d17075]

Dans mon opinion le platonisme est plus une sensation, une impression fugitive et difficilement "cernable" en termes précis que laisse dans notre esprit l'activité mathématique. C'est analogue, toujours à mon sens, à une pensée religieuse qui nous pousse ou non à croire en l'existence de quelque chose qui nous dépasse et ceci hors toute rationalité.

même ressenti de ma part. ( à part concernant le "fugitif et difficilement cernable"(*) )
d'ailleurs, Platon était un fervent "croyant".

(*) la platonisme dans sa version première est très clairement exposée.

[stefjm]

croisement ansett
Je ne doute pas un seul instant que Médiat ait raison.
C'est juste que je n'ai pas la moindre idée de l'allure générale de ces formules, n'ayant jamais étudié d'assez près cette logique.

[gg0]

Syborgg

il serait interessant de savoir si Godel n'etait pas platonicien

D'après plusieurs de ses biographe, c'était le cas, il pensait qu'une "bonne raison" permettrait de choisir pour l'hypothèse du continu.

Cordialement.

[invite6486d7bd]

Petite réflexion personnelle (qui vaut ce qu'elle vaut étant donné mon faible niveau mathématique).
A mon sens, Pi n'est pas mystérieux, c'est juste un nombre dont la valeur pratique est inconnaissable mais qui est connu par sa définition (sa valeur théorique exprimée sous la forme d'un rapport des éléments d'une forme géométrique "parfaite").

D'autre part, il est invérifiable au sens physique du terme, c'est un nombre qui s'autojustifie.
Lorsqu'on additionne des unités, qu'on fait 7*6 par exemple, on peut le vérifier (du moins on est tous d'accord de l'avoir fait), mais lorsqu'on dit que la nieme décimale de pi vaut tant, il arrive un moment ou n est si grand qu'on ne peut plus le vérifier (on le prend pour vrai).
D'ailleurs on ne passe pas par sa valeur lorsqu'on emploi pi dans des domaines des mathématiques qui ne font pas directement appel à sa définition, mais par sa valeur théorique.
Vous allez me dire que c'est un peu mélanger le réel et la théorie, certes, mais il faut admettre qu'il n'y a pas de preuve que pi puisse même exister (dans le sens où il peut exister un nombre qui soit le rapport d'un diamètre et d'un rayon).
Le signe de cette impossibilité est peut-être le fait que le nombre de ses décimales est infini ? (Ce qui est un principe valable pour tous les autres nombres de ce type, si on veut être cohérent).
Pour ma part je distingue "le nombre" incomplet, qui n'est pas le nombre pi (il n'y a pas d'approximation possible en théorie), et "le nombre pi", qui n'est pas un nombre mais une définition.

[syborgg]

Petite réflexion personnelle (qui vaut ce qu'elle vaut étant donné mon faible niveau mathématique).
A mon sens, Pi n'est pas mystérieux, c'est juste un nombre dont la valeur pratique est inconnaissable mais qui est connu par sa définition (sa valeur théorique exprimée sous la forme d'un rapport des éléments d'une forme géométrique "parfaite").

D'autre part, il est invérifiable au sens physique du terme, c'est un nombre qui s'autojustifie.
Lorsqu'on additionne des unités, qu'on fait 7*6 par exemple, on peut le vérifier (du moins on est tous d'accord de l'avoir fait), mais lorsqu'on dit que la nieme décimale de pi vaut tant, il arrive un moment ou n est si grand qu'on ne peut plus le vérifier (on le prend pour vrai).
D'ailleurs on ne passe pas par sa valeur lorsqu'on emploi pi dans des domaines des mathématiques qui ne font pas directement appel à sa définition, mais par sa valeur théorique.
Vous allez me dire que c'est un peu mélanger le réel et la théorie, certes, mais il faut admettre qu'il n'y a pas de preuve que pi puisse même exister (dans le sens où il peut exister un nombre qui soit le rapport d'un diamètre et d'un rayon).
Le signe de cette impossibilité est peut-être le fait que le nombre de ses décimales est infini ? (Ce qui est un principe valable pour tous les autres nombres de ce type, si on veut être cohérent).
Pour ma part je distingue "le nombre" incomplet, qui n'est pas le nombre pi (il n'y a pas d'approximation possible en théorie), et "le nombre pi", qui n'est pas un nombre mais une définition.

Pi est un nombre reel au sens qu'on donne au mot "nombre reel" depuis le 19eme siecle. Maintenant si tu veux rentrer dans le debat des constructivistes de remettre en cause la definition de "nombre reel" ca nous menerait sur un autre terrain... Ouvre un nouveau fil si tu veux

[invite51d17075]

D'autre part, il est invérifiable au sens physique du terme

oui, c'est aussi mon avis.
mais moins pour la suite du propos.
c'est un nombre "construit", mais il a bien une "identité" mathématique définie.
......

... mais il faut admettre qu'il n'y a pas de preuve que pi puisse même exister (dans le sens où il peut exister un nombre qui soit le rapport d'un diamètre et d'un rayon).

justement si.
c'est sa première définition mathématique.
donc il "existe" mathématiquement.

ps: il n'est pas nécessaire de savoir écrire litérallement un nombre pour pouvoir le définir.

[Médiat]

on pourrait arguer que s'agissant de mathématiques, l'opinion des mathématiciens est plus pertinente que celle des logiciens

Pourrait-on dire que concernant la façon dont a été imaginé une voiture, l'opinion d'un conducteur est plus pertinente que celle des ingénieurs qui l'on conçues ?

mais quoi qu'il en soit, ces question philosophiques n'ont pas beaucoup d'incidence sur les mathématiques qui se font.

+1, je dirais même aucune qui soit pertinente

[Médiat]

Je ne vois pas pourquoi les logiciens serait les chefs de file des agnostiques des mathématiques en refusant tout platonisme.

Je ne vois pas bien où j'ai dit cela

[Médiat]

Mediat : je ne sais pas ce que tu entends par "logiciens" : mais si tu y inclus la theorie des modeles moderne, il y doit y avoir pas mal de platoniciens ou au moins a tendance platonicienne; ne serait ce que parmi ceux que j'ai cotoye directement ou indirectement, Pillay, Shelah, Wagner le sont probablement.

Ayant rencontré Shelah, je doute ; et Krivine s'est exprimé très clairement contre.

[Médiat]

Ah et pour rester dans la pure logique bien classique, il serait interessant de savoir si Godel n'etait pas platonicien, ce qui ne me surprendrait pas.

Gödel s'est revendiqué platonicien (aucun doute sur ce point), mais :
1) il ne fait pas partie des contemporains
2) il a écrit une "preuve" de l'existence de dieu

[Médiat]

A mon sens, Pi n'est pas mystérieux, c'est juste un nombre dont la valeur pratique est inconnaissable mais qui est connu par sa définition

Je ne comprends pas bien la notion de valeur pratique, mais a priori je dirais que ces deux remarques s'applique aussi à 42.

[syborgg]

Ayant rencontré Shelah, je doute ; et Krivine s'est exprimé très clairement contre.

Tu crois vraiment que si tu demandais a Shelah si il decouvre les maths ou si il les invente, il te dirais qu'il les invente ?.... peu etre, mais c'est peu probable a mon avis vu le contenu de son oeuvre...
Mais peu importe, ce que je dis c'est qu'une grande partie des mathematiciens ont vraiment la sensation de decouvrir des choses qu'ils leur sont independantes. Bien sur qu'il y en a qui pensent tout inventer (et c'est tout a fait respectable) , mais je ne pense pas que ca soit la majorite loin de la. Et peu etre que cette position est plus representee chez les logiciens, je n'en sait rien.

[Médiat]

ce que je dis c'est qu'une grande partie des mathematiciens ont vraiment la sensation de decouvrir des choses qu'ils leur sont independantes. Bien sur qu'il y en a qui pensent tout inventer (et c'est tout a fait respectable) , mais je ne pense pas que ca soit la majorite loin de la.

Et je n'ai pas contesté ce point.