Quelle est la nature des Mathématiques ?

[hubald]

Question d'ordre général à laquelle je n'ai pas trouvé la section appropriée puisqu'il ne semble pas y avoir de forum général Mathématique.

à votre avis , les mathématiques sont elles une invention ou une découverte. Je veux dire sont-elles une création de l'esprit humain, ou plutôt une structure fondamentale qui existe depuis la création de l'univers que l'on ne fait que manipuler.

Ce qui m'emmène à me poser la question est que beaucoup de phénomène physique semblent avoir été prédit, de façon abstraite certes, mais quand même, bien avant leur observation concrète. (ondes radio, relativité,énergie nucléaire,anti-matière, trou noir, expansion de l'univers, echo du bing bang, etc)

Comme si les mathématiques avaient un pouvoir divinatoire.

Qu'en pensez-vous ?
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[choom]

Réponse un peu simpliste : dès que l’univers, à sa naissance, a fait apparaître 2 entités distinctes et en même temps une quasi infinité, le concept de nombre apparaît, même s’il faut attendre les hommes ( ou des E.T.s ailleurs... ) pour en formaliser les concepts et l’utilisation dans ce que nous appelons mathématique. En ce sens, les hommes ne font que découvrir la «*mathématicité*» de la nature.
L’exemple le plus frappant est la physique quantique, où tout est finalement ramené à des états discrets.
Bien cordialement,
Choom

[jacknicklaus]

à votre avis , les mathématiques sont elles une invention ou une découverte.

lire par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Platon...h%C3%A9matique


De nombreux scientifiques et non des moindres (Penrose) sont platoniciens.
Pour ma part, j'adhère à ce courant de pensée.

[Deedee81]

Salut,

puisqu'il ne semble pas y avoir de forum général Mathématique.

Il y a le forum de mathématiques du supérieur.
Ceci dit la question est plutôt d'ordre épistémologique (voire philosophique, mais attention, la philosophie n'est pas un thème autorisé sur Futura).
Il y a aussi une part concernant la physique dans ton message. Mais ça reste une question d'épistémologie (pourquoi les maths marchent-t-elles si bien (*) ).
Je déplace donc en épistémologie.


(*) J'ai une source que tu apprécieras peut-être mais je ne vais pas la donner ici, because auto-promotion, je te contacte par MP.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post1733773

[albanxiii]

Bonjour,

Ce qui m'emmène à me poser la question est que beaucoup de phénomène physique semblent avoir été prédit, de façon abstraite certes, mais quand même, bien avant leur observation concrète. (ondes radio, relativité,énergie nucléaire,anti-matière, trou noir, expansion de l'univers, echo du bing bang, etc)

Quel est le rapport entre tout cela et les mathématiques ? Vous ne donnez des exemples que de physique...

[hubald]

Le rapport avec les mathématiques c'est que tout les exemples physique que je donne ont été préditent par des équations mathématiques longtemps avant leur observation ou expérimentation physiques

[pm42]

Le rapport avec les mathématiques c'est que tout les exemples physique que je donne ont été préditent par des équations mathématiques longtemps avant leur observation ou expérimentation physiques

C'est un rapport lointain. D'autant que ce n'est pas un hasard mais exactement ce qu'on attend d'une théorie : qu'elle explique ce qu'on observe certes mais aussi qu'elle fasse de prédictions vérifiables.

Vu que tu cites des théories qui ont été validées, il est normal que tu trouves ce genre de prédiction.

Toutefois, ta réflexion rejoint celle bien connue de Wigner et de son texte "la déraisonnable efficacité des mathématiques". Tu peux essayer de lire sur ce sujet.

[Deedee81]

As-tu été voir la ref que je t'ai indiqué en MP ?

La Méthode scientifique montre bien la construction :
- données expérimentales
- analyse et propriétés (sous forme de corrélations, par exemple une relation linéaire entre deux grandeurs)
- hypothèses physiques, modèle physique
- modélisation mathématique (grandeurs mathématiques ayant les mêmes propriétés "numériques" que les grandeurs physiques)
- élaboration mathématique (développement de la théorie, en gardant à l'esprit qu'il y a une correspondance physique)
- validation

Je simplifie. Il y a aussi des détails importants que je n'ai pas cité plus des variations (par exemple, pour améliorer une théorie existante, on ne part pas from scratch. Il y a aussi les unifications de théories).

Mais dans tous les cas, la partie mathématique n'est qu'une étape. Ceci est surtout la conséquence du fait que les mathématiques sont par excellence l'image de la rigueur et de la logique.

Mais les maths ne sont pas qu'un langage, elles ont aussi un rôle constitutif et une efficacité étonnante. C'est ce dont je parle beaucoup aussi dans la ref que j'ai donnée. Wigner aborde aussi cela (je n'ai pas lu le texte de Wigner mais j'ai lu d'autres choses de lui, c'est un bon auteur).

[Deedee81]

Mais dans tous les cas, la partie mathématique n'est qu'une étape.

C'est aussi le cas de tous les exemples que tu as cité. Bon, on va pas s'éparpiller, tu peux choisir un de tes exemples et on peut approfondir la question sur ce cas précis, si tu veux.

[roro222]

les mathématiques sont elles une invention ou une découverte. Je veux dire sont-elles une création de l'esprit humain, ou plutôt une structure fondamentale qui existe depuis la création de l'univers que l'on ne fait que manipuler.

Bonjour
Je pencherais plutôt vers une découverte.
Même les animaux ont la notion du nombre. Si je retire un chat de sa portée, la mère va miauler et le chercher désespérément.
1 + 1 = 2
Indépendamment de l'homme et même de l'univers.
La logique ne peut pas ne pas être
L'homme ne fait que mettre des mots sur cette "substance"

Si la mécanique quantique semble défier la logique, c'est que nous avons pas encore découvert sa profonde nature.

[Médiat]

Salut

Wigner aborde aussi cela .

https://forums.futura-sciences.com/e...ml#post4169531
https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post6138900

[Deedee81]

Attention de ne pas confondre physique et mathématique.

Le monde et son fonctionnement sont ce qu'ils sont. On ne peut que le découvrir (par l'observation, l'expérience).
Et évidemment, on va calquer les mathématiques utilisées sur ces découvertes. C'est notamment le cas de la numérotation (que ce soit par nous ou par le chat ).
Les mathématiques ont ainsi un fort enracinement historique et physique.

Mais les mathématiques, ce n'est pas que ça. Et souvent les mathématiques, surtout depuis deux siècles, sont développées pour elles-mêmes. Et il y a énormément de liberté dans leur construction. Les mathématiques en soi sont donc une invention.

Si la mécanique quantique semble défier la logique, c'est que nous avons pas encore découvert sa profonde nature.

Ca veut dire quoi "nature profonde" ????

Sion, la logique formelle sous-tendant les relations entre observables quantiques en MQ est bien connue : https://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_logic
De plus, on sait très bien interpréter la mécanique quantique. On a suffisamment progressé dans ce domaine pour bien la comprendre, même s'il reste sans doute quelques questions importantes. J'ai récapitulé tout ça ici : http://www.scribd.com/doc/50186918/M...tique-Tome-VII

La principale difficulté vient du fait que la MQ est très exotique, ce n'est pas la physique du quotidien (et comme signalé, la logique de ses observables n'est pas la logique classique).
Ce qui fait qu'il faut la connaitre pour l'interpréter. Et donc nécessite d'avaler des tonnes de travaux théoriques difficiles (d'où le fait que je n'aborde ça que dans le tome VII ci-dessus !)
C'est assez différent pour ça de la physique classique que nous connaissons, au moins, intuitivement.
C'est sans doute pour cela qu'un profane ne peut pas vraiment comprendre la MQ même en s'aidant d'une bonne vulgarisation. Et cela lui donne une aura de mystère qui s'est tout de même fortement estompée depuis quelques decennies (en tout cas depuis le fameux "personne ne comprend la MQ" de Feynman qui en plus est toujours cité hors contexte )

[ansset]

Salut,

Salut

https://forums.futura-sciences.com/e...ml#post4169531
https://forums.futura-sciences.com/m...ml#post6138900

les liens dans le premier post cité ne marchent pas ( ou plus ).
pour ma part, j'ai du mal à intégrer cette vision platonicienne dure , qui donnerait un sens ontologique aux maths.
il suffit pour cela de voir la nature des développements du dernier siècle, pour observer des "constructions" totalement indépendantes des domaines de la physique.

ps : en fait, je m'en fous aussi un peu, je trouve ces réflexions assez peu utiles, et m'excusant auprès de ceux qui y accordent de l'importance ( sentiment très perso )

[LeMulet]

à votre avis , les mathématiques sont elles une invention ou une découverte. Je veux dire sont-elles une création de l'esprit humain, ou plutôt une structure fondamentale qui existe depuis la création de l'univers que l'on ne fait que manipuler.

A mon avis, la raison nécessité une première étape qui est la catégorisation.

C'est, je pense, sa force et en même temps sa faiblesse.
Car rien ne permet d'affirmer que le monde est raisonnable... et qu'il se décompose en petites parties par nature, c'est à dire lorsqu'on ne fait pas appel au prisme de la raison.
D'ailleurs, l'existence d'un hasard intrinsèque inhérent au monde quantique permet, à mon avis, de nous le rappeler.

[Médiat]

Salut,

les liens dans le premier post cité ne marchent pas ( ou plus ).

Effectivement le 2 et le 4 sont mort ...

pour ma part, j'ai du mal à intégrer cette vision platonicienne dure , qui donnerait un sens ontologique aux maths.

Comme la très grosse majorité des logiciens modernes, je n'y arrive pas non plus

ps : en fait, je m'en fous aussi un peu, je trouve ces réflexions assez peu utiles, et m'excusant auprès de ceux qui y accordent de l'importance ( sentiment très perso )

Voilà, pour moi, le point essentiel et j'ajoute :


https://forums.futura-sciences.com/e...ml#post6067346

[eudea-panjclinne]

Et souvent les mathématiques, surtout depuis deux siècles, sont développées pour elles-mêmes. Et il y a énormément de liberté dans leur construction. Les mathématiques en soi sont donc une invention.

Que les mathématiques en soi sont une invention humaine, j'en suis également persuadé. Mais la liberté dans leur construction doit être modulée par le fait que les inventeurs/chercheurs mathématiciens ne sont pas des intelligences pures coupées du monde extérieur et on ne peut nier que leurs recherches sont orientés par différents facteurs... peu mathématiques:
- leurs collègues
- arguments économiques (crédits alloués à certaines recherches moins à d'autres)
- leur vie privée et sociale
- leur goûts personnels
etc
Influences difficiles à évaluer, mais qui après coup peuvent donner l'impression qu'un certain platonisme est à l'oeuvre dans les mathématiques.
L'invention des calculs différentiel et intégral n'est pas sortie ex nihilo des cerveaux de Newton et Leibniz. Ils arrivent en fin de course d'un intense bouillonnement intellectuelle qui les précéda depuis 70 ans sur les nouveaux concepts d'infiniment petits. Les mathématiciens des 18e et du début du 19e siècle ressentirent alors que les mathématiques étaient à découvrir. Ce que faisaient Euler et les autres en jouant à l'envie avec les nouveaux symboles du calcul différentiel.

[Deedee81]

Salut,

Que les mathématiques en soi sont une invention humaine, j'en suis également persuadé. Mais la liberté dans leur construction doit être modulée par le fait que les inventeurs/chercheurs mathématiciens ne sont pas des intelligences pures coupées du monde extérieur et on ne peut nier que leurs recherches sont orientés par différents facteurs... peu mathématiques:
- leurs collègues
- arguments économiques (crédits alloués à certaines recherches moins à d'autres)
- leur vie privée et sociale
- leur goûts personnels
etc
Influences difficiles à évaluer, mais qui après coup peuvent donner l'impression qu'un certain platonisme est à l'oeuvre dans les mathématiques.
L'invention des calculs différentiel et intégral n'est pas sortie ex nihilo des cerveaux de Newton et Leibniz. Ils arrivent en fin de course d'un intense bouillonnement intellectuelle qui les précéda depuis 70 ans sur les nouveaux concepts d'infiniment petits. Les mathématiciens des 18e et du début du 19e siècle ressentirent alors que les mathématiques étaient à découvrir. Ce que faisaient Euler et les autres en jouant à l'envie avec les nouveaux symboles du calcul différentiel.

Je suis d'accord avec ce raisonnement. Il y a bien deux aspects différents des maths et la frontière est extrêmement floue entre les deux (et les liens profonds).
Difficile de faire la part des choses.

[albanxiii]

Le rapport avec les mathématiques c'est que tout les exemples physique que je donne ont été préditent par des équations mathématiques longtemps avant leur observation ou expérimentation physiques

De mon point de vue vous confondez la fin (la physique) et le moyen (les mathématiques).
Je pensais que votre question portait sur la mathématique elle même, sa structure interne, ses objets abstraits, comment on en vient à les définir pour rendre la mathématique cohérente.
En fait, il semble que non, puisque vous ne regardez pas ces aspects, vous les considérez juste comme un outil pour faire autre chose que des maths. C'est plus le côté "les mathématiciens purs et durs ont construits telles classes d'objets, et par on ne sait quel miracle, il se troue que c'est parfaitement adapté pour être utilisé par les physiciens" (c'est un cas de figure possible, l'inverse est également possible, les physiciens peuvent faire des cochonneries mathématiques, qui deviennent des théories une fois que les mathématiciens s'en sont emparés... et les intermédiaires entre ces deux situations sont possibles).

Toutefois, ta réflexion rejoint celle bien connue de Wigner et de son texte "la déraisonnable efficacité des mathématiques". Tu peux essayer de lire sur ce sujet.

Effectivement, ça me semble plus en rapport avec le sujet de préoccupation de hubald.

[ansset]

Que les mathématiques en soi sont une invention humaine, j'en suis également persuadé. Mais la liberté dans leur construction doit être modulée par le fait que les inventeurs/chercheurs mathématiciens ne sont pas des intelligences pures coupées du monde extérieur et on ne peut nier que leurs recherches sont orientés par différents facteurs... peu mathématiques:
(…..)
etc
Influences difficiles à évaluer, mais qui après coup peuvent donner l'impression qu'un certain platonisme est à l'oeuvre dans les mathématiques.

certes mais cela illustre plutôt les chemins de réflexions possibles, qui ne sont pas forcement coupés de l'interaction avec l'environnement, ce qui est assez éloigné de la proposition/question initiale :

à votre avis , les mathématiques sont elles une invention ou une découverte. Je veux dire sont-elles une création de l'esprit humain, ou plutôt une structure fondamentale qui existe depuis la création de l'univers que l'on ne fait que manipuler.

Au sens où toute construction mathématique serait in finé préexistante ( sous quelle forme d'ailleurs ? ) à sa formalisation.

[Deedee81]

ce qui est assez éloigné de la proposition/question initiale :

Je ne pense pas car hulbald ne citait que des exemples de physique, pas des maths.

Il faudra(it) que hulbald précise sa question (et éventuellement suive ma suggestion plus haut de choisir un des exemples et on pourrait approfondir la manière dont on est arrivé à ce résultat. Ca peut être instructif)

[Médiat]

J'ai retrouvé deux commentaires que je faisais à propos de

Ce sujet a déjà été débattu ici-même, voici ce que je disais (et je n'ai pas changé d'avis ) :

1) Les maths ne se trouvent pas dans la nature ==> inventées
2) Historiquement les maths sont parties d'observations ==> découvertes
3) Dès que l'on a établi des axiomes (inventés) toutes les conséquences sont pré-existantes puisque incluses, de façon éventuellement cachée, dans les axiomes (donc découvertes).
4) Les mathématiques sont l'ontologie de l'être (thèse de Badiou) mais celle-ci "ne peut se réaliser que dans la forclusion réflexive de son identité", autrement dit elles sont découvertes pour peu que l'on croit les inventer.

Deux auto-commentaires :
a) Il va de soi que le mathématicien a une expérience du monde sensible, et une histoire qui le rapproche de ses prédécesseur, donc il ne s'agit pas d'invention ex-nihilo, mais c'est le cas de tous les inventeurs (de l'inventeur du trésor de Rackham le Rouge au concours Lépine).

b) Dans ma pratique de la recherche, j'ai toujours eu le sentiment d'inventer (et non de "soulever des pierres" (rien de désobligeant dans cette expression)), et je ne serais pas surpris que ce soit le cas de ceux qui font de la physique théorique (que ce soit avant ou après les expériences).

c) J'ajoute, histoire de justifier le point 1 que les tenants d'un platonisme au pied de la lettre, affirmant que, par exemple IN existait avant les mathématiciens, n'ont jamais pu l'exhiber, et que croire en cette existence est du même ordre que croire en une licorne rose invisible, et que cette croyance élude généralement une question subséquente : si IN a été découvert par les mathématiciens, qui l'a inventé ? Et j'ai peur qu'en partant dans cette direction on fasse, au mieux, de la métaphysique, au pire, de la théologie, mais, en tout état de cause, pas des maths.

d) J'ajoute aussi (afin d'expliciter la remarque : "de façon éventuellement cachée"), concernant le point 3, que même si le grand théorème de Fermat est une conséquence de certains axiomes, j'ai du mal à ne pas accorder à Fermat un statut d'inventeur pour avoir inventé la question, et à accorder le même statut à Wiles pour avoir inventé le chemin qui mène à la démonstration.

[ansset]

Je ne pense pas car hulbald ne citait que des exemples de physique, pas des maths.

Il faudra(it) que hulbald précise sa question……..

effectivement car il ne faut pas confondre les deux domaines, et son titre parle bien des maths.
les démarches ( recherches , "découvertes" ) en physique étant, comme chacun sait, d'un autre ordre.

[Deedee81]

d) J'ajoute aussi (afin d'expliciter la remarque : "de façon éventuellement cachée"), concernant le point 3, que même si le grand théorème de Fermat est une conséquence de certains axiomes, j'ai du mal à ne pas accorder à Fermat un statut d'inventeur pour avoir inventé la question, et à accorder le même statut à Wiles pour avoir inventé le chemin qui mène à la démonstration.

On dit parfois que les mathématiques sont une grande tautologie, tout développement/théorème/démonstration n'est qu'une reformulation des postulats et définitions.
C'est certainement un peu exagéré car c'est tout de même la part majoritaire du travail en mathématiques et comme le suggère ta remarque il faut trouver le chemin.

Maiks il n'empêche que tout découle des postulats et définitions et ceux-ci sont inventés / choisis. Je ne dirais pas de manière arbitraire, il y a bien entendu des critères/raisons aux choix fait. Mais on pourrait partir de tout ce qu'on veut.

Face à ça, j'ai énormément de mal à comprendre le point de vue platoniste (on voit clairement que je suis formaliste). Face à cette remarque, comment pourrait-on diable imaginer que tout cela préexiste ???

Et c'est foncièrement différent de la physique. D'où d'ailleurs le côté passionnant de cette articulation entre mathématiques et physique (bien que moins mystérieux il me semble qu'il n'y paraît).

[Médiat]

Maiks il n'empêche que tout découle des postulats et définitions et ceux-ci sont inventés / choisis. Je ne dirais pas de manière arbitraire, il y a bien entendu des critères/raisons aux choix fait. Mais on pourrait partir de tout ce qu'on veut.

"J'ai entendu dire" (donc aucune garantie) que l'école mathématique russe (soviétique en fait), par ailleurs excellente, avait tenté de générer des théories, plus ou moins aléatoirement à partir d'axiomes, mais que cela n'avait rien donné.

Et c'est foncièrement différent de la physique.

Pas forcément tant que cela (mais c'est une bonne approximation, aux erreurs de mesure près ), même si le physicien doit se confronter "à la réalité", car cela force à se poser la question de la nature de celle-ci et surtout la question de la perception que nous en avons, ce qui nous entraine vers la philosophie (ce qui ne me dérange pas, mais est hors charte).

[ansset]

Pas forcément tant que cela (mais c'est une bonne approximation, aux erreurs de mesure près ), même si le physicien doit se confronter "à la réalité", car cela force à se poser la question de la nature de celle-ci et surtout la question de la perception que nous en avons, ce qui nous entraine vers la philosophie (ce qui ne me dérange pas, mais est hors charte).

Oui, le premier point est une réalité de son travail. ( et pas juste une condition supplémentaire )
c'est pourquoi j'aurais tendance à relativiser cette comparaison.
par ailleurs la(les) méthodologie(s) suivies dans les champs de la physique sont de ce fait bien plus contraignantes.
enfin, même les théories physiques ( en recherche fondamentale ) ont leur histoire , leurs constructions progressives.
voir par exemple l'historique de la théorie des cordes:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théori...rie_des_cordes

pour ce qui concerne ton second point, je suis assez mal informé pour savoir si les chercheurs ( en physique théorique ) sont plus ou moins philosophes , platoniciens, ou peu , ou pas du tout !
après tout quand on a basculé du modèle Newtonien à celui de la RG, on a totalement changé de paradigme.
difficile donc d'affirmer qu'un modèle théorique est théoriquement exact, et aurait donc une valeur ontologique.

[Deedee81]

mais que cela n'avait rien donné.

Ce n'est si surprenant (au moins intuitivement).

aux erreurs de mesure près

[LeMulet]

Il me semble qu'on se focalise sur la question des mathématiques, mais la problématique qui se pose n'est pas spécifique aux mathématiques.
La question est celle de l'existence et de l'être (il suffit de chercher le mot (verbe être) dans le premier message) des concepts.

Concernant le terme "existence", il y a deux approches, l'approche scientifique qui défini ce terme d'une manière parfaitement valide et l'approche métaphysique qui le défini autrement. Cette deuxième définition étant seule en rapport avec la définition, qui ne peut être que métaphysique, de l'être.

La réponse scientifique ne doit donc se focaliser que sur le concept d'existence, telle qu'elle peut être formulée de manière scientifique.

Il convient donc, avant toute chose, de définir le concept d'existence tel qu'il doit être compris en terme scientifique.
En espérant que quelqu'un soit en mesure de fournir cette définition, pour commencer.

[Deedee81]

Il convient donc, avant toute chose [...]

Pas d'accord. Il convient avant tout autre chose que hubald précise sa question car là ce n'est pas clair (suffit de voir les réponses, la question a été comprise de plusieurs manières).
Après on pourra voir ce qu'il faut définir, expliquer, etc...

[pm42]

Après on pourra voir ce qu'il faut définir, expliquer, etc...

Et si possible, on évitera la métaphysique qui n'a pas grand chose à faire ici...