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Intégrale plutôt compliquée.




  1. #1
    PierreR3

    Intégrale plutôt compliquée.

    Bonjour à tous, je me permet de créer un post parce que je ne parviens - vraiment pas - à trouver la solution à l'intégrale suivante :

    Cos²(x)
    --------------------- dx
    Sqrt(1-sin(x))

    Pouvez vous m'aider ? Au moins pour le démarrage ?

    Merci beaucoup.

    Pierre.

    -----


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  3. #2
    albanxiii

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Bonjour et bienvenue sur le forum,

    On ne trouve pas de solution à une intégrale, on la calcule.
    Vous connaissez les règles de Bioche ?
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  4. #3
    gg0

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Bonjour.

    Quelles sont les bornes ?

    Cordialement.


  5. #4
    PierreR3

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Bonsoir, non je ne connais pas les règles de Bioche. Je connais le changement de variable, l'intégration par partie et par décomposition en fractions simples.

  6. #5
    PierreR3

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    De π à 3π/2

    Bonne soirée.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    pm42

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Tu la mets dans WolframAlpha, il te donne la solution et la 1ère étape en changement de variable pour la calculer.

  9. #7
    PierreR3

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Justement, j'ai un Time out lorsque je la met dans Wolfram Alpha, je n'ai donc pas la première étape du changement de variable :/

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  11. #8
    pilum2019

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    une solution pas très élégante :
    on pose u = sin(x) . u est négatif compte tenu de l'intervalle de x.
    u = 0 si x = pi et u =-1 si x =3pi/2

    du = cos(x) dx avec cos(x) = - sqrt(1-u²)
    donc (1) dx = - du / sqrt(1-u²)


    de plus on a : (2) cos²(x) = 1 - u² et (3) sqrt(1-sin(x))=sqrt(1-u)

    en combinant (1) (2) et (3) on trouve

    intégrale de -sqrt(1+u) du , de 0 à -1

    ou si on veut intégrale de sqrt(1+u) du -1 à 0
    Dernière modification par pilum2019 ; 15/03/2019 à 22h56.

  12. #9
    ansset

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    la dérivée de rac(1+sin(x)) donne une idée pour première étape:
    du style : u(x)=2cos(x) ; v'(x)=cos(x)/(2rac(1+sin(x))
    donc on commence par une IPP.

    ensuite dans le terme qui reste à intégrer le 1+sin(x) sous la racine est embêtant.
    avec y=pi/2-x on change le sin en cos.
    puis si y=2z
    1+cos(2z)= 2cos²(x) .........

    on peut aussi commencer par le chgt du sin en cos.
    Dernière modification par ansset ; 15/03/2019 à 23h39.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  13. #10
    PierreR3

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    J'ai essayé t'a technique mais j'obtiens -2/3 et la bonne réponse est 2/3 ( avec les bornes). La différence que j'ai avec ton calcul est lorsque je pose u, tu obtiens un -du au numérateur. D'où vient le moins ?

  14. #11
    gg0

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    "du = cos(x) dx avec cos(x) = - sqrt(1-u²)
    donc (1) dx = - du / sqrt(1-u²)"

    Cordialement.

  15. #12
    PierreR3

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Oui j'avais bien vu mais je ne comprend pas d'où vient le moins avant la racine

    cos(x) = - sqrt(1-u²)

    Parce que, sauf erreur de ma part, cos(arcsin(u)) = sqrt(1-u²) non ?

  16. #13
    gg0

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Heu ... le cos étant négatif, serait bien en peine d'être égal à une racine carrée. Et pas besoin de faire intervenir une arcsin.

    donc, par définition de la racine carrée


    Cordialement.

  17. #14
    PierreR3

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Ok parfait, merci de votre aide, j'ai tout compris

    Par contre, imaginons que je doive calculer l'intégrale indéfinie, est ce possible ?

    Bonne soirée.

  18. #15
    gg0

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Oui,

    ce sont les mêmes calculs, les bornes n'ont servi qu'à savoir le signe de cos(x). Mais évidemment, comme la fonction à intégrer n'est définie que sur certains intervalles où cos ne s'annule pas, et que l'expression est différente d'un intervalle au suivant, il y a des expressions conditionnelles (dépendant de l'intervalle sur lequel on cherche une primitive).

    C'est bien pour cela que je t'ai demandé les bornes dès le début. Si tu m'avais dit qu'il s'agissait d'une primitive, j'aurais demandé "sur quel intervalle ?".

    Cordialement.

  19. #16
    PierreR3

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Bonsoir, je vous remercie pour tout le temps passé à me répondre.

    Bonne soirée.

  20. #17
    ansset

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    apparemment , ça se "primitive" avec une formule unique.
    en tout cas Wolfram en donne une. ( non triviale )
    pas vérifié si elle était valable sur tout intervalle.

    et trop tard ce soir pour essayer de la retrouver.
    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #18
    ansset

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    ps : ça ressemble à ma méthode bourrine, avec des cght de variables ( décalage de pi/2 puis de y=x/2 ), vu l'allure de la solution.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  22. #19
    gg0

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    Effectivement, il y a une expression simple unique. Donc la question du signe de cos est un artéfact de la méthode de calcul; une autre méthode de calcul évite sans doute de se poser cette question.

    Cordialement.

  23. #20
    ansset

    Re : Intégrale plutôt compliquée.

    oui, mais bien entendu que on parle de tout intervalle, c'est au départ entre 0 et 2pi.
    car la fonction est tj >= 0, et la primitive proposée est cyclique, donc non croissante sur R.
    sinon, la fonction présente un point de rebroussement ( non dérivable) en x=3pi/2.
    il doit y avoir une astuce de calcul qui tient compte de cette spécificité.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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