Bonjour à tous, je me permet de créer un post parce que je ne parviens - vraiment pas - à trouver la solution à l'intégrale suivante :
Cos²(x)
--------------------- dx
Sqrt(1-sin(x))
Pouvez vous m'aider ? Au moins pour le démarrage ?
Merci beaucoup.
Pierre.
Bonjour et bienvenue sur le forum,
On ne trouve pas de solution à une intégrale, on la calcule.
Vous connaissez les règles de Bioche ?
Not only is it not right, it's not even wrong!
Bonjour.
Quelles sont les bornes ?
Cordialement.
Bonsoir, non je ne connais pas les règles de Bioche. Je connais le changement de variable, l'intégration par partie et par décomposition en fractions simples.
De π à 3π/2
Bonne soirée.
Tu la mets dans WolframAlpha, il te donne la solution et la 1ère étape en changement de variable pour la calculer.
Justement, j'ai un Time out lorsque je la met dans Wolfram Alpha, je n'ai donc pas la première étape du changement de variable :/
une solution pas très élégante :
on pose u = sin(x) . u est négatif compte tenu de l'intervalle de x.
u = 0 si x = pi et u =-1 si x =3pi/2
du = cos(x) dx avec cos(x) = - sqrt(1-u²)
donc (1) dx = - du / sqrt(1-u²)
de plus on a : (2) cos²(x) = 1 - u² et (3) sqrt(1-sin(x))=sqrt(1-u)
en combinant (1) (2) et (3) on trouve
intégrale de -sqrt(1+u) du , de 0 à -1
ou si on veut intégrale de sqrt(1+u) du -1 à 0
Dernière modification par pilum2019 ; 15/03/2019 à 23h56.
la dérivée de rac(1+sin(x)) donne une idée pour première étape:
du style : u(x)=2cos(x) ; v'(x)=cos(x)/(2rac(1+sin(x))
donc on commence par une IPP.
ensuite dans le terme qui reste à intégrer le 1+sin(x) sous la racine est embêtant.
avec y=pi/2-x on change le sin en cos.
puis si y=2z
1+cos(2z)= 2cos²(x) .........
on peut aussi commencer par le chgt du sin en cos.
J'ai essayé t'a technique mais j'obtiens -2/3 et la bonne réponse est 2/3 ( avec les bornes). La différence que j'ai avec ton calcul est lorsque je pose u, tu obtiens un -du au numérateur. D'où vient le moins ?
"du = cos(x) dx avec cos(x) = - sqrt(1-u²)
donc (1) dx = - du / sqrt(1-u²)"
Cordialement.
Oui j'avais bien vu mais je ne comprend pas d'où vient le moins avant la racine
cos(x) = - sqrt(1-u²)
Parce que, sauf erreur de ma part, cos(arcsin(u)) = sqrt(1-u²) non ?
Heu ... le cos étant négatif, serait bien en peine d'être égal à une racine carrée. Et pas besoin de faire intervenir une arcsin.
donc, par définition de la racine carrée
Cordialement.
Ok parfait, merci de votre aide, j'ai tout compris
Par contre, imaginons que je doive calculer l'intégrale indéfinie, est ce possible ?
Bonne soirée.
Oui,
ce sont les mêmes calculs, les bornes n'ont servi qu'à savoir le signe de cos(x). Mais évidemment, comme la fonction à intégrer n'est définie que sur certains intervalles où cos ne s'annule pas, et que l'expression est différente d'un intervalle au suivant, il y a des expressions conditionnelles (dépendant de l'intervalle sur lequel on cherche une primitive).
C'est bien pour cela que je t'ai demandé les bornes dès le début. Si tu m'avais dit qu'il s'agissait d'une primitive, j'aurais demandé "sur quel intervalle ?".
Cordialement.
Bonsoir, je vous remercie pour tout le temps passé à me répondre.
Bonne soirée.
apparemment , ça se "primitive" avec une formule unique.
en tout cas Wolfram en donne une. ( non triviale )
pas vérifié si elle était valable sur tout intervalle.
et trop tard ce soir pour essayer de la retrouver.
cordialement.
ps : ça ressemble à ma méthode bourrine, avec des cght de variables ( décalage de pi/2 puis de y=x/2 ), vu l'allure de la solution.
Effectivement, il y a une expression simple unique. Donc la question du signe de cos est un artéfact de la méthode de calcul; une autre méthode de calcul évite sans doute de se poser cette question.
Cordialement.
oui, mais bien entendu que on parle de tout intervalle, c'est au départ entre 0 et 2pi.
car la fonction est tj >= 0, et la primitive proposée est cyclique, donc non croissante sur R.
sinon, la fonction présente un point de rebroussement ( non dérivable) en x=3pi/2.
il doit y avoir une astuce de calcul qui tient compte de cette spécificité.
