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L2 Matrice



  1. #1
    Spirou

    L2 Matrice


    ------

    (Décidément, je fais beaucoup de math aujourd'hui ).

    Cette fois ci ma question portera sur un exercice avec une matrice que voici:



    La première question est:

    Trouver une relation entre A² A et I (matrice identité 3x3).

    Je calcule A² donc et trouve:



    Par conséquent A² = A + 2I.

    Deuxième question:

    En déduire que A est inversible et déterminer presque sans calcul l'inverse de A.

    Pour dire que A est inversible je ne sais pas trop quoi dire.

    Par contre pour calculer l'inverse je pars de A² = A + 2I et transforme ça en:



    Et je trouve donc la matrice:



    Troisième question: (et là ca se complique pour moi)

    Trouver à partir de la relation de la 1ère question les valeurs propres possibles de A.

    Dois je calculer le polynome caractéristique de A² puis en déduire ses valeurs propres puis appliquer à A :

    VP(A) = VP(A²) - 2I

    Où y a t-il une autre façon de procéder?

    Merci.

    -----

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  3. #2
    gothal

    Re : L2 Matrice

    Bonjour,

    Si je ne me trompe pas X²-x-2 est un polynome annulateur de A
    Donc le spectre de A est inclu dans les racines de ce polynome.

  4. #3
    Coincoin

    Re : L2 Matrice

    Salut,
    Pour dire que c'est inversible, tu as juste à exhiber son inverse.

    Ensuite, prend un vecteur propre, appliqueA² dessus, utilise l'égalité que tu as, et regarde ce que ça te donne comme condition sur la valeur propre.
    Encore une victoire de Canard !

  5. #4
    Spirou

    Re : L2 Matrice

    Merci à vous deux pour vos réponses.

    Citation Envoyé par gothal
    Bonjour,

    Si je ne me trompe pas X²-x-2 est un polynome annulateur de A
    Donc le spectre de A est inclu dans les racines de ce polynome.
    Désolé je ne sais pas ce qu'est le spectre de A, après une ptite recherche j'ai cru comprendre que c'était la matrice avec les valeurs propres?

    Citation Envoyé par Coincoin
    Salut,
    Pour dire que c'est inversible, tu as juste à exhiber son inverse.
    Donc en gros il me suffit d'écrire ?

    Citation Envoyé par Coincoin
    Ensuite, prend un vecteur propre, appliqueA² dessus, utilise l'égalité que tu as, et regarde ce que ça te donne comme condition sur la valeur propre.
    Dans les exercices qu'on fait on calcule les vecteurs propres à partir des valeurs propre (polynome caractéristique>valeurs propres>vecteurs propres).

    Comment trouver un vecteur propre sans cela?

  6. #5
    Coincoin

    Re : L2 Matrice

    Donc en gros il me suffit d'écrire ?
    Disons qu'il te suffit de dire que tu as , donc tu as un truc de la forme BA=I, donc A est inversible d'inverse B...

    Dans les exercices qu'on fait on calcule les vecteurs propres à partir des valeurs propre (polynome caractéristique>valeurs propres>vecteurs propres).

    Comment trouver un vecteur propre sans cela?
    Je t'ai pas dit de le trouver... Soit X un vecteur propre de valeur propre associée . Qu'est-ce que l'équation A²=A+2I t'apprends sur ?
    Encore une victoire de Canard !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Spirou

    Re : L2 Matrice

    Citation Envoyé par Coincoin
    Disons qu'il te suffit de dire que tu as , donc tu as un truc de la forme BA=I, donc A est inversible d'inverse B...

    Je t'ai pas dit de le trouver... Soit X un vecteur propre de valeur propre associée . Qu'est-ce que l'équation A²=A+2I t'apprends sur ?

    J'vais ptet dire une bêtise mais je tente quand même, si est valeur propre de A alors ?

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  10. #7
    Coincoin

    Re : L2 Matrice

    Oui, tout à fait ! Pourquoi ? Et quelles sont alors les valeurs possibles de ?

    (Ce que disait Gothal n'est rien d'autre que ça, mais en termes techniques...)
    Encore une victoire de Canard !

  11. #8
    Spirou

    Re : L2 Matrice

    Citation Envoyé par Coincoin
    Oui, tout à fait ! Pourquoi ? Et quelles sont alors les valeurs possibles de ?

    (Ce que disait Gothal n'est rien d'autre que ça, mais en termes techniques...)


    Pourquoi? Et bien je ne vois pas quoi dire a part que... étant donné que est une valeur propre de A alors est une valeur propre de A² etc... Mais est ce que cela suffit ...

    Sinon, les valeurs possible sont -1 et 2 si je ne me trompe pas. Mais je m'attendais à 3 valeurs propres pour A... Ai je loupé quelque chose?

  12. #9
    Coincoin

    Re : L2 Matrice

    Mais est ce que cela suffit
    Dis comme ça, bof. Il suffit de dire que d'une part et . Tu égalises les 2, tu dis que X est non-nul (vecteur propre) et hop !
    Mais je m'attendais à 3 valeurs propres pour A... Ai je loupé quelque chose?
    Tu dois en avoir une qui a une multiplicité de 2 ou 3...
    Encore une victoire de Canard !

  13. #10
    Spirou

    Re : L2 Matrice

    Citation Envoyé par Coincoin
    Dis comme ça, bof. Il suffit de dire que d'une part et . Tu égalises les 2, tu dis que X est non-nul (vecteur propre) et hop !
    Merci pour l'explication

    Citation Envoyé par Coincoin
    Tu dois en avoir une qui a une multiplicité de 2 ou 3...
    C'est ce que je pensais, mais y a t-il un moyen de savoir quelle valeur propre sera double?

    Sinon en utilisant le polynôme caractéristique je viens de trouver que c'est 2 la valeur propre double.

    Dans la suite de l'exercice il est question de montrer que A est diagonalisable, j'avais pour habitude de répondre a cette question en disant qu'il y a 3 valeurs propres, mais si ce ne sont pas 3 valeurs propres distinctes, mon argument tient quand même?

    Sinon après on demande de trouver P inversible et D diagonale telles que:



    chose que je sais faire avec polynôme caractéristique puis valeurs propres (qui constituent D) puis vecteurs propres (pour P).

    Mais y a t-il un autre moyen d'y arriver en utilisant ce qui a été fait précédemment? Si j'avais eu 3 valeurs propres distinctes possibles cela aurait été plus simple mais là... il m'est impossible de savoir quelle valeur propre est double sans calculer le polynôme caractéristique ... non?

  14. #11
    Coincoin

    Re : L2 Matrice

    il m'est impossible de savoir quelle valeur propre est double sans calculer le polynôme caractéristique ... non?
    Il n'y a pas de moyen immédiat. Mais le plus simple a mon avis est de déterminer le sous-espace propre correspondant à chaque valeur propre. Ca te servira pour la suite... Le polynôme caractéristique ne t'apprendra rien de plus étant donné que tu as déjà les valeurs propres potentielles.
    j'avais pour habitude de répondre a cette question en disant qu'il y a 3 valeurs propres, mais si ce ne sont pas 3 valeurs propres distinctes, mon argument tient quand même?
    S'il y a des valeurs propres multiples, il faut que la dimension de l'espace propre associé soit égale à la multiplicité de la valeur propre.
    Encore une victoire de Canard !

  15. #12
    Spirou

    Re : L2 Matrice

    Citation Envoyé par Coincoin
    Il n'y a pas de moyen immédiat. Mais le plus simple a mon avis est de déterminer le sous-espace propre correspondant à chaque valeur propre. Ca te servira pour la suite... Le polynôme caractéristique ne t'apprendra rien de plus étant donné que tu as déjà les valeurs propres potentielles.
    S'il y a des valeurs propres multiples, il faut que la dimension de l'espace propre associé soit égale à la multiplicité de la valeur propre.
    En effet je n'avais pas assez réfléchis.

    Par contre en calculant les vecteurs propres pour 2 je tombe sur quelque chose d'étrange.

    Je suis censé trouver 2 vecteurs propres, non?





    Si je mets chacunes variables à 0 je peux obtenir 3 vecteur différents .

    Est il temps que j'aille dormir ou y a t-il vraiment un souci?

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  17. #13
    supernovus

    Re : L2 Matrice

    tu trouves x+y+z=0. Ca démontre que le sous-espace propre est un plan, de dimension deux comme tu cherchais a le montrer. Prends deux vecteurs non colinéaires dans ce plan et c'est terminé..tu n'en fabriqueras jamais trois avec ton truc !

  18. #14
    Spirou

    Re : L2 Matrice

    Citation Envoyé par supernovus
    tu trouves x+y+z=0. Ca démontre que le sous-espace propre est un plan, de dimension deux comme tu cherchais a le montrer. Prends deux vecteurs non colinéaires dans ce plan et c'est terminé..tu n'en fabriqueras jamais trois avec ton truc !

    En effet merci, j'ai réussi à finir l'exercice.

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