Bonjour à tous,
J'aimerais montrer l'intégrale suivante:
avec
Normalement, elle peut être intégrée par parties, mais je ne sais pas comment on fait pour remplacer les dx et dy par dz.
J'ai essayé avec la règle de Leibniz, mais je ne vois pas comment faire avec le dz ?
Quelqu'un aurait une piste ?
Merci
Tu pars de l'intégrale de gauche.
Comme tu l'indiques on fait un changement de variable dans l'intégrale en y, en posant z = x - y.
donc dz = - dy.
Pour les bornes : si y = 0, alors z = x. Et si y = A, alors z = x - A.
Donc l'intégrale en y devient :
intégrale de x à x - A du terme -f(z)dz.
Ce qui devient :
intégrale de x - A à x du terme f(z) dz.
Or au départ, nous avons une intégrale double en x et en y, en intégrant d'abord en y.
Après le changement de variable, on obtient donc une intégrale double en x et en z, en intégrant d'abord en z, sur le domaine suivant :
0 <= x <= A , et x - A <= z <= x.
C'est un domaine paramétré en x.
On va le paramétrer en z, de façon à pouvoir changer l'ordre d'intégration.
Un simple dessin permet de voir que si on paramètre en z, on obtient deux sous-domaines :
Sous-domaine 1 : -A <= z <= 0 et 0 <= x <= z + A
Sous -domaine 2 : 0 <= z <= A et z <= x <= A
Ensuite on intègre sur chaque sous-domaine, en INTEGRANT D'ABORD en x, et on obtient le résultat demandé.
A noter que pour le sous-domaine 1, on n'obtient pas immédiatement ce qu'on veut, mais comme f est paire...
Pardon, mais je ne maitrise pas le latex...
Dernière modification par pilum2019 ; 21/03/2019 à 21h15.
Les règles du forum non plus !Envoyé par pilum2019
Rappel :
Merci d'en tenir compte.nous suggérons à ceux qui savent résoudre les exercices de ne pas en poster des corrections complètes, mais de privilègier des indications, rappels de méthode, etc. Ceci permet évidemment de tirer profit au maximum des possibilités du forum : l'accompagnement est en général bien plus profitable à l'auteur du fil qu'un corrigé tout fait.
C'est bien entendu déjà la politique pratiquée sur ce forum, ce message s'adressant en particulier aux nouveaux.
Not only is it not right, it's not even wrong!
deux remarques :
je ne comprend pas la démo proposée.
je n'arrive pas au même résultat mais simplement à
il suffit de vérifier avec la fonction
ps : fait rapidement, donc pas à l'abri d'une boulette.
edit: correction, j'ai vu ma boulette !
désolé.
Comme quoi, il n'était pas facile cet exercice...
la critique de la modération doit se faire par MP, cf. la charte du forum.
Après, il faut vraiment que je me mette au latex.
Dernière modification par albanxiii ; 23/03/2019 à 21h03.
Bonjour pilum2019,
Merci beaucoup pour la réponse.
Jusqu'ici:
C'est un domaine paramétré en x pour l'intérieur de la parenthèse ?
En fait, j'ai un peu de mal à calculer l'intégrale à l'intérieur de la parenthèse, puisque je ne connais pas sa primitive.
Y a-t-il une technique spéciale ?
Si j'intègre par parties
et
j'obtiens
Ensuite, avec la règle de Leibniz je trouve
Je ne vois pas très bien comment ca se passe dans les trois petits points (...). De plus, j'ai perdu un facteur 2 quelque part
Je n'ai pas tout compris le changement de paramètre ni le partage en sous-domaine d'intégration ...
Explications avec schémas :
intégration double.pdf
Bonjour pilum2019,
Merci beaucoup d'avoir pris la peine de réaliser ces schémas.
Leur clarté m'a permis de bien comprendre cette intégrale, qui est bien plus simple que je ne le pensais au début.
Bonjour,
En fait, il y a un cas plus général: lorsque les deux bornes différentes, on doit avoir
Si A=B alors on arrive au résultat précédent.
Dans quel sens on effectue l'intégration pour arriver à ce résultat ?
Merci
Soit
on pose z = x-y
on a
on fait une IPP avec U = F(x), dU = F'(x)dx, V = x, dV = dx
on fait t = B-x alors
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Bonjour jacknicklaus,
Merci infiniment pour cette démonstration algébrique directe et brillante.
Merci aussi d’avoir pris le temps d’utiliser Latex, qui donne à la démonstration toute sa splendeur.
