Logarithme de base a

**mehdi_128** · 10/04/2019, 12h44

Bonjour,

Je n'ai pas compris la première question.

Nom : log.png
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invite51d17075 · 10/04/2019, 13h24

bonjour,
soit f_a(x) telle que f_a'(x)=a/x ( x >0 )
on demande simplement de montrer qu'il existe une unique fonction f_a .
on peut faire un raisonnement par l'absurde.
ps : il est précisé f(a)=1 !!

**mehdi_128** · 10/04/2019, 13h38

Soit $x >0$
Supposons qu'il existe 2 fonctions $f_a ,f_b$ telles que $f_a '(x) = \dfrac{a}{x}$ et $f_b '(x) = \dfrac{b}{x}$ avec $f_a(1)=f_b(1)=0$

Ainsi : $\int_{1}^x \dfrac{a}{u} du = \int_{1}^x \dfrac{b}{u} du$

Soit : $f_a (x) - f_a (1) = f_b(x) - f_b(1)$

Or : $f_a(1)=f_b(1)=0$ donc $\forall x >0 : f_a(x) = f_b(x) \Rightarrow f_a = f_b$

**mehdi_128** · 10/04/2019, 13h59

Pour la question 2 j'ai un souci je ne vois pas comment partir

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite51d17075 · 10/04/2019, 15h18

déjà, la démo est curieuse puisque tu pars de deux dérivées diff !!!
pour la 2) suggestion
montrer d'abord que tous les ln_z(x) sont proportionnels entre eux.
et que pour tout a ln_a(a)=1

**mehdi_128** · 10/04/2019, 15h33

Comment rédigeriez vous la 1 ?

Pas compris l'indication pour la 2.

invite51d17075 · 10/04/2019, 17h31

pour la 1) tu compares des intégrales et non des primitives.
pire : tu en arrives à la conclusion que toutes les fct log sont identiques !

soit f_a(x) avec f_a(1)=0 et f_a'(x)=a/x
f_aest une primitive de f_a'.
comme elle sont toutes égale à une cte près , la condition f_a(1)=0 la rend unique.

il y a eu croisement avec gg0

**gg0** · 10/04/2019, 17h33

Pour la 1, tu as fait l'inverse de ce que tu veux prouver. Au lieu de prouver que deux fonctions f_a sont égales, tu as pris deux fonctions fa et fb égales (ton égalité des intégrales) ! Et tu réussis à prouver ... qu'elles sont égales ! Beau travail !

Pars de deux fonction f_a et g_a définies par les mêmes relations.

**mehdi_128** · 10/04/2019, 18h20

D'accord merci. J'ai compris Ansset.

Mais suivant la méthode de GGo j'ai un doute :

Une primitive de $f_a'$ est : $f_a(x) + K$

Quelle est une primitive de $g_a'$ ?

invite51d17075 · 10/04/2019, 18h46

f_aet g_asont sensées avoir les mêmes propriétés, donc la même dérivée a/x et avec f_a(1)=g_a(1)=0
on en déduit qu'elle sont identiques.

pour la deux , tu peux faire ton calcul intégral.
$\int_1^x (a/t) dt$
et sortir le a de l'intégrale.
tu obtiendra f_a(x) en fonction de a et de ln(x). ( soit f₁(x))

attention: cette formule n'est pas usuelle.
dans le sens ou logarithme tel qu'il est défini dans ton exercice n'est pas le log_a habituel.

**gg0** · 10/04/2019, 20h58

Bonsoir Mehd_128.

Une technique très classique pour démontre l'unicité d'un on=bjet mathématique est de supposer qu'on en a deux, donc ici de supposer qu'on a deux fonctions f et g définies sur $]0,+\infty[$ qui vérifient
$f'(x)=\frac a x,\ f(0)=1$ .
$g'(x)=\frac a x,\ g(0)=1$ .
Et de prouver que $f=g$ ; ce qui est à la portée d'un élève de terminale.

invite51d17075 · 10/04/2019, 21h05

tite faute de frappe f(1)=g(1)=0
t'ai je refilé ma dyslexie épisodique ?

cordialement.

**gg0** · 10/04/2019, 22h44

Effectivement, j'ai inversé. Merci Ansset.

**mehdi_128** · 10/04/2019, 23h02

Ok merci pour vos réponses.

Pour la II je trouve : $f_a(x) = a \ln(x)$

Pour la III :

$u(x) = f_a(xy) = a \ln(xy)$

Je trouve : $u'(x) = \dfrac{a}{x}$

Après je bloque.

invite51d17075 · 10/04/2019, 23h09

tu bloques ou tu préfères comprendre un corrigé ?

déjà pourquoi passer par les ln.
u_y(x)=f_a(xy)
mais OK, on trouve bien u_y'(x)=a/x
qu'en déduire sur u_y(x).
attention une primitive est à une cte près. ( qui dépend de y )
la suite consiste à déterminer cette cte....
à toi.

**mehdi_128** · 11/04/2019, 07h05

Une primitive de $u_y '(x)$ est : $a \ln(x) + K$

Donc : $u_y (x) = f_a(x) + K$

Soit : $f_a(xy) = f_a(x) + K$

Pour $x=1$ on obtient : $f_a(y) = f_a(1) + K$ donc $K=f_a(y)$

On a montré : $f_a(xy) = f_a(x) + f_a(y)$

Pour la IV, facile :

Pour $y = \dfrac{1}{x}$ : $f_a(1)=f_a(x) + f_a( \dfrac{1}{x})$ donc $0 = f_a(x) + f_a( \dfrac{1}{x})$ soir $f_a( \dfrac{1}{x}) =-f_a(x)$

Je réfléchis à la V

**mehdi_128** · 11/04/2019, 08h47

Pour la V :

Soit $x>0$ . Si $r \in \mathbb{N}$ Notons $r=n$

Alors : $f_a (x^n) = f_a(x) + \cdots f_a(x) = n f_a(x)$

Si $r \in \mathbb{Z^-}$ . Notons $r=-n \leq 0$

$f_a (x^r) = f_a (x^{-n})=f_a (\dfrac{1}{x^n}) = - f_a(x^n) = - n f_a(x) = rf_a(x)$

Considérons maintenant : $r \in \mathbb{Q}$ Alors : $r = \dfrac{p}{q}$

$f_a(x^r)=f_a( x^{\dfrac{p}{q})})=$

Là je bloque.

invite51d17075 · 11/04/2019, 08h55

c'est quand même l'appli directe des questions précédentes:
on peut partir par exemple de
$x^{\frac{p}{q}}=(x^{\frac{1}{q}})^p$

**mehdi_128** · 11/04/2019, 11h05

$f_a(x^r)=f_a( x^{\dfrac{p}{q})})= p f_a( x^{\dfrac{1}{q}})$

C'est ici que je bloque... 1/q n'est pas un entier relatif donc je ne peux pas utiliser ce que j'ai fait avant.

invite51d17075 · 11/04/2019, 12h03

et si j'écris :
$x=x^{\frac{q}{q}}$
et que j'applique le premier raisonnement .....
tu vas peut être penser : ha oui, c'était tout bête !
entre "bloquer" et chercher un peu une astuce ?

**mehdi_128** · 11/04/2019, 12h34

Je ne vois pas à quoi votre astuce pourrait servir.

invite51d17075 · 11/04/2019, 13h37

tu as montré :
$f_a( x^{\dfrac{p}{q})})= p f_a( x^{\dfrac{1}{q}})$
de mon coté je propose :
$x=x^{\frac{q}{q}}$ donc
$f_a(x)=qf_a(x^{\frac{1}{q}})$ soit
$f_a(x^{\frac{1}{q}})=\frac{1}{q}f_a(x)$
on en déduit
$f_a( x^{\dfrac{p}{q}})=\frac{p}{q}f_a(x)$

**mehdi_128** · 11/04/2019, 18h36

Merci Ansset !

La VI : $\forall x>0 : \ln'(x) = \dfrac{1}{x} >0$ donc la fonction ln est strictement croissante.

La VII je ne saisis pas. Il faut juste redonner les limites de ln ou il faut redémontrer la valeur de la limite ?

invite51d17075 · 11/04/2019, 19h14

les redémontrer je suppose, tout comme les questions précédentes sur les propriétés des logarithmes.

**mehdi_128** · 11/04/2019, 20h04

Ah d'accord.

Comme la fonction ln est strictement croissante sur $]0,+\infty[$ , par théorème, elle admet une limite finie ou infinie en $+ \infty$ .

Par ailleurs on a montré que : $\ln(2^n) = n \ln(2)$

Or : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} n \ln(2) = + \infty$

En posant $X=2^n$ : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \ln(2^n) = \lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \ln(X) = + \infty$

Or $\ln(\dfrac{1}{x}) = - \ln(x)$ en posant $X= \dfrac{1}{x}$ : $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln(\dfrac{1}{x}) = \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} - \ln(x) = - \infty = \lim\limits_{X \rightarrow 0} \ln(X)$

**gg0** · 11/04/2019, 20h46

Envoyé par mehdi_128

En posant $X=2^n$ : $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \ln(2^n) = \lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \ln(X) = + \infty$

De la même façon :
$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \sin(n\pi) = 0$
En posant $X=n \pi$ , on en déduit
$\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \sin(X) = 0$

Mais comme X n'est pas n'importe quel réel, ça ne prouve pas que la limite de la fonction $\sin$ à l'infini est 0 (elle n'a d'ailleurs pas de limite).

Il te reste à démontrer que $\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \ln(t) = + \infty$

Cordialement.

**mehdi_128** · 11/04/2019, 21h59

Bien vu GGo.

La démo de mon livre de MPSI serait-elle fausse ?

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**b@z66** · 11/04/2019, 22h48

Envoyé par mehdi_128

Bien vu GGo.

La démo de mon livre de MPSI serait-elle fausse ?

Pièce jointe 386810

La démonstration de ton précédent commentaire est pertinente mais incomplète vu qu'elle ne prend en compte que des valeurs discrètes de X. En se servant en plus de la monotonie de la fonction ln, ça doit suffire.

**mehdi_128** · 11/04/2019, 22h55

Je n'ai pas compris c'est où qu'on utilise la monotonie pour trouver la limite...

invite51d17075 · 11/04/2019, 23h32

il faut utiliser la stricte croissance de ln.
en plus ton travail fait avec tes 2^n.
ce qui te permet d'écrire clairement la lim en +l'inf ( avec la formule de définition )

Logarithme de base a

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