Bonjour à tous,

je travaille actuellement sur le modèle d'un bioréacteur, et j'aurai besoin de votre aide.
J'explique rapidement le modèle :

On souhaite dépolluer un lac et pour cela on utilise des bioréacteurs que l'on connecte en circuit fermé au lac à dépolluer.
A l'intérieur du bioréacteur se trouve un dépolluant appelé biomasse, et cette biomasse se développe en dégradant simultanément le polluant dans l'eau.
A la sortie du bioréacteur, on filtre la biomasse à l'aide d'un décanteur pour ne pas la rejeter dans le lac et on renvoie l'eau nettoyé dans le lac.

On note y(t) (resp z(t)) la concentration au temps t de polluant dans le bioréacteur (resp dans le lac) et x(t) celle de la biomasse présente dans le bioréacteur.
On note de plus u >0 une constante qui définit la loi de croissance de la biomasse et Q le débit entrant sortant du bioréacteur et e <<1.

On a alors un système différentiel (1) :

x'(t) = ux(t)y(t) - Qx(t)
y'(t) = -ux(t)y(t) + Q(z(t) - y(t)) avec x(0) = x0 > 0 , y(0) = y0 >0 et z(0) =z0 >0
z'(t) = eQ(y(t) - z(t))

On veut alors justifier le phénomène lent rapide c'est à dire "séparer" les équations du système (1). En gros cela induit, pour les processus ayant cours dans le bioréacteur d'une part, et dans le lac d'autre part, des échelles de temps très diffèrent et on veut procéder à une simplification du du modèle en faisant intervenir deux échelles de temps : le temps lent t et le temps rapide s.
On veut donc justifier le passage de (1) aux deux systèmes suivants :

x's) = ux(s)y(s) - Qx(s)
y'(s) = -ux(s)y(s) -Q(l-y(s))
x(0) = x0 >0
y(0) = l > 0 ici la concentration du lac z(t) est considérée comme constante vis à vis de la variable s et notée l.

et
z'(t) = Qe(yinf - z(t)) avec yinf = Q/u < l.

Pour justifier cela on note (xe,ye,ze) les solutions de (1), et je dois montrer que tout d'abord les fonctions xe,ye,ze sont strictement positives au cours du temps.
j'ai déja montré que xe était strictement positive, mais je bloque sur la démonstration des deux autres.
J'ai essayé comme pour la première de supposer par exemple que ye s'annuler en un point t* et montrer qu'il existait une solution du système de la forme
t |--> (x1(t) , 0, z1(t)) qui coïncidaient avec (xe(t),ye(t),ze(t)) au points t* ce qui par Cauchy-Lipschitz entraîne une absurdité.
Je n'ai pas réussi à aboutir avec cette méthode, j'ai réussi à montrer que forcément t* < 0 .

Auriez vous des pistes ?

Pour terminer la preuve je dois ensuite montrer que xe,ye,ze sont bornées sur tout compact indépendamment de e et de même pour leurs dérivées.
Puis, Avec Ascoli on extrait des sous suites (xen) , (yen) et (zen) qui converge uniformément sur tout compact vers des fonctions notées x,y,z.
Et enfin je dois montrer que z' = 0 forcément et passer à la limite pour obtenir ce que l'on veut.

Pour ceux qui me liront, merci de votre aide.
Bien cordialement