Anneau de polynômes

[maatty]

Bonjour à tous,

j'ai une question sur un point de cours qui m'échappe. Dans le "Combes" il est écrit que si l'on considère l'anneau des polynômes A[X], où A commutatif et unitaire, alors si B est un polynôme de coefficient dominant inversible alors on peut faire la division euclidienne de tout polynôme P par B: P = BQ + R, d°(R)<d°(B) et on a unicité du coupe (Q,R).

La démonstration est simple et il me semble en comprendre tous les points. Cependant, dans le Gourdon, l'auteur indique qu'il y a existence de (Q,R) et de plus, unicité si A est intègre. C'est le point qui m'échappe. Il ne me semble pas que l'intégrité de l'anneau soit nécessaire (je ne vois pas dans la démonstration de l'unicité, l'utilisation de l'intégrité de l'anneau). Pourriez-vous m'éclairer?

Merci d'avance
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[invite9dc7b526]

Si A n'est pas intègre il existe a,b non nuls tels que ab=0. Si c est un autre élément de A et si on a c=aq+r, alors on a aussi c=aq+ab+r=a(q+b)+r et donc la division n'est pas unique.

[maatty]

Bonjour, je vous remercie pour votre réponse mais je bloque tout de même sur quelque chose .

Il est possible d'avoir tel que bc=0 mais on a une hypothèse sur le coefficient dominant de b qui est inversible et cela me pose problème.
Pour l'unicité on suppose: . Si on suppose que alors en notant e le coefficient dominant de q-q' et d celui de b (qui est inversible donc) on a car même si l'anneau n'est pas intègre comme d inversible, d.e=0=>e=0 (en multipliant par l'inverse de d) or e ne peut être nul puisque c'est le coefficient dominant de q-q' non nul. Ainsi en raisonnant sur les degrés des polynômes on a:
or
d'où l'absurdité. on aboutit à q=q' et donc r=r'.

Je suis désolé si un point m'échappe mais il me semble que le cas cité ne peut se produire en raison de l'inversibilité du coefficient de b. Y a-t-il un endroit où je me trompe?
Merci

[slivoc]

salut !

effectivement, dans les anneaux de polynômes, il n' y a pas besoins de l' intégrité de l' anneaux de base pour avoir unicité dans la division euc. par un polynome à coeff dominant inversible, comme tu viens de le prouver !
Je viens de regarder le Gourdon, et sa phrase ne dit en fait rien sur ce qui se passe dans le cas où l' anneau A n' est pas intègre ( bien qu' elle laisse penser qu il n' y a pas toujours unicité ...)

Bonne journée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

ah oui j'avais zappé la question du coefficient dominant inversible...

[maatty]

Merci à vous pour cette confirmation;
bonne soirée