Questions Maths: Apprentissage-Pédagogie

[JB Science]

Bonjour à tous.

C'est avec grand plaisir que j'ai rejoint ce forum et que j'ouvre ce topic qui a vraisemblablement déjà été abordé mais pas avec toutes les questions aussi poussées, nombreuses que je me pose: d'où l'intérêt tout particulier d'ouvrir un topic spécifique!


Cette année j’ai donc refait ma L1 en Sciences et techniques en Maths Physique avec option chimie. Cette année s'est beaucoup mieux passée que l'année dernière et j'ai donc eu mes résultats et je passe en L2 en filière concours en Maths Physique. Mais malheureusement je sens qu'il y a toujours des fragilités qui peuvent demeurer importantes en maths.

Ayant des difficultés en mathématiques, je me demandais comment augmenter ses capacités intellectuelles notamment en maths ( ayant des difficultés dans cette matière et désirant poursuivre les études dans cette filière).

Quelles sont les ressources interactives que vous me conseillez ? J’ai pensé à prendre un abonnement chez des revues scientifiques qui traitent ces thématiques de manière récurrente mais entre Science et Vie, Science et Avenir, Pour la Science, La Recherche, ou encore Tangente mais on est d’accord c’est bon pour la culture générale mais ça n’aide pas réellement pour progresser dans l'aspect technique en maths?

Une question me tourmente depuis des années: y-a-t-il des esprits faits et pas faits pour les maths? Comment augmenter ses capacités en maths? Y-a-t-il des revues, méthodes, livres, tutos, sites....qui peuvent nous aider à partir du bon pied en nous exposant une méthodologie adaptée ?

Afin d'être plus précis dans mes interrogations, j'évoque précisément ce qui me pose problème en maths.

En fait en maths, il y a pas mal de choses qui me posent problème, à commencer par les problèmes parfois analytiques où il faut utiliser pleins d'outils sans forcément que ce ne soit explicites, les démonstrations théoriques j'ai beaucoup de mal, les lettres...

Et le problème des maths c'est que ce n'est pas vraiment du calcul mais c'est produire un raisonnement. Comment améliorer sa logique, sa compréhension, son raisonnement? Car si les cours et exos ne sont pas suffisants: ne faut-il pas revenir aux fondements de la logique et du raisonnement? Si c'est le cas comment l'appliquer avec les mathématiques pour en ressentir les effets?

Le problème c'est que comme notre prof de maths d'algèbre du premier semestre nous évoquait: Les maths c'est produire un raisonnement c'est du cours les maths ce n'est pas que des exos si l'on veut avoir une bonne compréhension des maths... Et en quelque sorte être capable de résoudre n'importe quel exercice ( ce n'est pas la vision qu'on nous donne au lycée qui consiste à dire que les maths c'est juste des exos ). En maths il y a bien évidemment une partie calculatoire et exercice importante mais il faut je pense très bien comprendre le cours et être capable de faire des exos théorique c'est ça qui est difficile c'est ça que j'aimerais savoir faire... et en maths j'ai aussi du mal avec les exercices qui demande au raisonnement de découler de manière analytique genre dans les types problèmes...comme en physique d’ailleurs.

N'est-il pas possible de savoir si l'on a les capacités intellectuelles pour faire des maths à un niveau élevé.... Indépendamment le fait d'augmenter ses capacités intellectuelles qui est je pense très compliqué, y-a-t-il différents moyens de stimuler son cerveau pour lui donner davantage d'aptitudes en maths?

En maths, c'est clair que certains ont plus de facilités que d'autres mais ce sont surtout des façons de penser différentes non? Et comment adapter les maths à sa façon de penser? N'y a-t-il pas des ouvrages ou autres ressources qui sont si j'ose dire assez flexibles sur les maths propre à chacun? Comment identifier sa façon de penser en maths et comment s'améliorer sur le plan plus concret? Il n’y a pas un ouvrage appelée les intelligences multiples, aussi appelées les 8 intelligences à ce sujet pour nous aider à mieux nous cibler non ? Après cet ouvrage est très critiqué par les chercheurs en sciences cognitives dont les résultats de leurs recherches sont sensiblement plus compliqués.

Quel est le secret d'une bonne méthodologie pour bien réussir en maths quand on a du mal à sécher sur les exos théoriques et abstraits et les démos complexes notamment mais pas seulement?
Je vais en L2 l'année prochaine du moins en Licence de maths, y a-t-il des raisonnements, exos types particuliers qu'il est bon que je m'habitue et me familiarise? De même pour le concours des grandes écoles du moins?

Chez moi j'ai toute l'analyse et l'algèbre de la licence respectivement comme livre de Dunod...Je les trouve souvent assez complexe à assimiler , qu'en pensez-vous? Quelle est la différence avec le livre tout en un du même auteur par exemple ? Pensez-vous que d’autres bouquins pourraient m’être éventuellement plus adaptés ? Est-il préférable d'avoir des bouquins de prépas quand on est en licence ( les bouquins de Dunod étant vieux et peut être assez complexes) ?

De même le site Exo 7 propose parfois des exos très complexes et même si l'on a bien assimilé le cours, c'est quasi infaisable : même les exos du niveau L1 sont bien plus dures que la L1 je trouve: d'ailleurs je réussis souvent beaucoup mieux les exos de la fac que ceux d'exo 7 ce qui peut être assez encourageant quelque part. Après c'est bien ça nous formate de résoudre des exos difficiles, mais il faudrait qu'on ait des connaissances et une certaine méthodologie pour les résoudre...

Niveau sites de maths quels sont les sites que vous me conseilleriez pour considérablement m'améliorer en maths: images maths CNRS, exo 7... et d'autres? Il y a aussi interstices mais c'est plutôt informatique.
Est-il possible ( je voyais de plus en plus d'émissions à ce sujet) d'apprendre les maths si j'ose dire en s'amusant à travers les jeux? Pour les jeux de logique quels sont les différents jeux que vous conseillerez indépendamment de tangram, du labyrinthe ou encore des échecs par exemple? De même pour le raisonnement? Pour l'abstraction? En maths quelles sont les qualités exigées? Logique, raisonnement, abstraction, concentration, analyse et quoi d'autres? Est-ce qu'il est utile d'améliorer ces aptitudes au quotidien, est-ce que ça peut beaucoup nous aider en maths?

Y-a-t-il une façon de travailler qui est propre aux maths pour réussir les exos théoriques, abstraits? Je suppose que tout passe par une bonne maîtrise du cours? Mais quand on ne comprend pas les théories abstraites du cours ou celles modélisées dans les exos comment faire?

Connaissez-vous Elisabeth Nuyts réputée pour guérir certains traumatismes de maths? Dans la même lignée il y a Agnès de Rigny que j'évoquerai ci-dessous dans mes références: en avez vous déjà entendu parler?

Par ailleurs, j'ai l'impression que dans notre monde actuel, c'est presque incompatible d'avoir la connaissance et de la comprendre en même temps. C'est paradoxale, mais j’ai l’impression que plus on étudie un sujet compliqué, plus on a la connaissance mais on n'a alors plus le recul nécessaire pour le comprendre. C'est là où Feynman est fort car il a réussi à lier les deux. Et la question que je me pose, en maths faut-il comprendre ou connaître ?

Selon vous et vos expériences (sans indiscrétion) quelles sont les différentes raisons qui font que certains élèves ont tant de mal en maths? Est-ce nécessairement lié à un manque de travail?
J'ai également énormément de mal en géométrie en maths et à me représenter les choses comment faire pour mieux arriver? Car même en faisant des exos, par exemple numériquement je sens qu'il y a du progrès mais dans la représentation des éléments c'est toujours plus complexe. Si l'on a du mal à voir dans l'espace comment peut-on faire pour s'améliorer?

Est-ce que vous avez déjà entendu parler des livres de Sauloy, Soyeur ? Lesquels selon vous sont les plus à mêmes de me faire considérablement progresser en maths? Et par lesquels me conseillez vous de commencer?

Est-ce que vous connaîtriez certains livres qui détaillent de manière analytique et méthodique les étapes afin de réussir à comprendre le plus de choses possibles? Est-ce que si on a une très bonne maîtrise du cours, on est capable de faire n'importe quels exos ou faut-il avoir d'autres connaissances en plus?

J'ai énormément de problèmes de concentrations est-ce que le yoga, la méditation , hypnose peuvent aider à mieux se concentrer mais aussi à considérablement augmenter notre potentiel en maths en accédant à certaines parties de notre inconscient qu'on n'a pas l'habitude d'accéder en temps normal?

J'ai été assez analytique dans mes précédentes interrogations ( avant que vous puissiez davantage me connaître et voir où je veux en venir) mais de manière plus synthétique si j'entre davantage dans l'aspect technique:

On est d'accord: est-ce qu'il y a plusieurs façons de progresser en maths ? Tout d'abord d'un point de vue scolaire / académique ? C'est ce qui me concerne plus je pense. Je dirai que ça concerne essentiellement l'aspect technique. Il y a aussi comprendre les maths de manière plus approfondie avoir de solides éléments de compréhension : ça reste toujours dans l'aspect technique mais approfondie cette fois ci ? Et il y a aussi la culture générale mathématique ? Voici selon moi les principales maths et les branches dans lesquelles progresser... Bien évidemment on peut aussi faire les trois à la fois mais si mon objectif comme le mien ( du moins pour le moment) sont davantage académiques ce sera au détriment d'une compréhension plus profonde sur d'autres domaines sous-jacents.
Sachant que le temps presse et que j'ai quand même une marge de manœuvre qui se rétréci de plus en plus est ce qu'il serait possible pour vous de m'aiguiller dans un premier temps pour des objectifs dits " académiques " afin que j'obtienne rapidement de bien meilleurs résultats ?
Pourriez-vous m'énumérer les principales façons selon vous d'assimiler et de bien comprendre les différentes notions en maths ?
On est d’accord, le secret d'une bonne méthodologie de travail est d'avoir une méthodologie basé sur son propre fonctionnement cognitif mais comment identifier son fonctionnement cognitif ?
Auriez-vous plusieurs jeux potentiellement intéressants à me conseiller afin de davantage rendre mon cerveau davantage apte aux maths ?
Que qualifieriez-vous d'abstrait en maths ? Comment améliorer son abstraction en maths ?

Mon but sans entrer en détails sur mon projet car c'est un peu hors sujet et ça surchargerai trop ce post déjà long comme ça , c'est d'intégrer les grandes écoles. Je ne sais pas s'il est toujours possible que je fasse un bon considérable dans mes résultats pour envisager cela.


En résumé...

Quelles sont les différentes aptitudes nécessaires en maths?
Abstraction, compréhension, raisonnement, vision dans l'espace, concentration... Comment stimuler ça à travers des jeux et quels jeux ? Comment réellement l'approfondir à travers des sites, bouquins ..? Quelles sont vos références à ce sujet ?
Comment identifier sa manière de fonctionner, de penser et comment adapter les maths à soit même en gros ? Quelles sont vos références à ce sujet ? Quels sont les sites, livres éventuellement un peu moins académiques que vous me conseilleriez pouvant m'aider considérablement m'aider à ce sujet ? Par exemple en fonction des exos que vous pouvez éventuellement me proposer, est ce qu'il serait pour vous éventuellement possible d'identifier ma façon de fonctionner en maths ?




Pour ce qui est des références dont j'ai entendu parler du bien jusqu'ici:


En terme de bouquins:


1) Cori Lascar (logique mathématique)

2) Vivre avec les mathématiques » (Le Seuil, 2009). Il y a également les écrits de Stella Baruk.

3) "qu'est ce que les mathématiques" afin d'avoir plus d'appétence en maths...
4) "Mathématiques Concrètes"

5) "Comment poser et résoudre un problème" de Gaston Polya

6) http://les.mathematiques.free.fr/pdf/livre.pdf

7) Il y a aussi un livre appelé : "Think like a mathematician" ( plutôt que de comprendre sa façon de fonctionner en maths, ne vaut-il mieux pas apprendre à penser comme un mathématicien?).



Niveau sites:



1) Article anglophone intéressant;
https://www.quantamagazine.org/a-pat...5ov58u9wot1qak



2) le site internet Exo7 (vidéos de cours et pdf libre d'accès)

3) le site de JL Rouget : MATHS FRANCE qui propose gratuitement des cours complets de prépa avec toutes les démonstrations (très bien expliqués). C'est peut être aussi une piste très intéressante à exploiter.


4) https://mathssansstress.fr/aborder-s...mathematiques/ : Le fameux blog dont je vous ai évoqué ci-dessus de Agnès Rigny.


5) https://www.college-de-france.fr/sit...aene/index.htm A propos de la Bosse des Maths de Stanislan Dehaene sur le collège de France. Il me semble qu'il a même plusieurs livres à ce sujet.


Il y a également le blog d'Hervé à ce sujet sur ce forum d'ailleurs : https://blogs.futura-sciences.com/le...u4Z-4HO6Riy-Uk

Niveau chaînes youtubes ( indépendamment de la chaine Youtube de Gilles Bailly-Maître "maths adulte" qui fournit des vidéos de cours de licence), voici un large éventail de chaînes francophones et anglophones réunies: certaines ont pu être citées plusieurs fois renvoyant éventuellement vers des vidéos plus particulières....

https://www.youtube.com/channel/UCYO...suFRV4b17AJtAw

https://www.youtube.com/channel/UCOG...g3rrDjhm9Zs_wg

https://www.youtube.com/channel/UC1_...8Vu6JjXWvastJg

https://www.youtube.com/channel/UCox...IDTYp3uz647V5A

https://www.youtube.com/channel/UCSj...aWMqn-_0YBtq5A

https://www.youtube.com/channel/UCMp...817D0qpBQZ2TlA

https://www.youtube.com/channel/UCjw...c-NeLnj_YGiNEg

https://www.youtube.com/channel/UCFk...L3T5gvGcMpeHNA

https://www.youtube.com/channel/UCgk...p0sdFy2MHDWfSg

https://www.youtube.com/channel/UC4P...MXqlXBogBw9CAg

https://www.youtube.com/channel/UC0N...zeCGIF6sODJ-7A

https://www.youtube.com/channel/UCOu...CXCvjWywjDbauw

https://www.youtube.com/channel/UCJ7...VY5MM3NcKW3D8A

https://www.youtube.com/channel/UC5v...YPvgS46-4G6qlg

https://www.youtube.com/channel/UCC_..._o3ZvsvRvHlX-A

https://www.youtube.com/channel/UCaa...gSISdXAEjPRLng

https://www.youtube.com/watch?v=YQMhrVSR6X0

https://www.youtube.com/watch?v=8GK9ezoyfIs

https://www.youtube.com/watch?v=asHiYmdk9W0

https://www.youtube.com/watch?v=YVR0...ature=youtu.be



D'avance merci à tous pour vos réponses , en vous souhaitant tout d'abord une très bonne lecture.
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[albanxiii]

Bonjour,

Je vais me limiter à des évidences et au bon sens, mais cela me semble nécessaire.

Une question me tourmente depuis des années: y-a-t-il des esprits faits et pas faits pour les maths? Comment augmenter ses capacités en maths?

Y-a-t-il des corps faits pour courir 100 m en moins de 10 secondes et d'autres non ?
Comment un sportif fait-il pour améliorer ses performances ?

[JB Science]

Mes questions ne se limitent pas que à ça et sont sensiblement plus complexe. Tout le monde ne peut pas devenir champion olympique et plus on commence jeune plus on a de possibilités, il y a aussi ça en prendre en compte. Pour ce qui est des maths indépendamment d'éventuelles prédisposition génétiques, le cerveau maths se conçoit généralement entre 0 et 10-12 ans : l'environnement externe ( le fait que l'enfant ait été ou non exposé aux maths) joue donc un rôle prépondérant!

[minushabens]

relire le cours, essayer de refaire les démonstrations, faire des exercices... ça marche pour tout le monde pourquoi est-ce que ça ne marcherait pas pour toi?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour JBscience.

L'une des difficultés des maths, c'est que les règles, théorèmes et définitions ne disent que ce qui y est écrit. Rien de plus. Sauf que s'il y a une lettre présentée par un "quel que soit", "soit", ou même seulement contextuelle, elle peut être remplacé par n'importe quel objet de la bonne sorte. Par exemple (a+b)²=a²+2ab+b² est valide pour n'importe quel nombre. Attention, pas pour autre chose que des nombres, par exemple pas pour des matrices. Et l’extension aux vecteurs avec le produit scalaire comme multiplication est un "coup de chance" à connaître; d'ailleurs avec le produit vectoriel, c'est faux.

D'où la nécessité de connaître vraiment les définitions, théorèmes et règles pour savoir exactement de quoi il est question. Avec l'apprentissage des méthodes, ça suffit largement à ton niveau (95% des exercices ne sont que la reprise de ces connaissances).

Bon travail !

[stefjm]

Par exemple (a+b)²=a²+2ab+b² est valide pour n'importe quel nombre. Attention, pas pour autre chose que des nombres, par exemple pas pour des matrices. Et l’extension aux vecteurs avec le produit scalaire comme multiplication est un "coup de chance" à connaître; d'ailleurs avec le produit vectoriel, c'est faux.

Cela ne marche pas non plus pour les sédénions dont la multiplication n'est pas commutative.

[JB Science]

relire le cours, essayer de refaire les démonstrations, faire des exercices... ça marche pour tout le monde pourquoi est-ce que ça ne marcherait pas pour toi?

Bah justement si ça marchait pour moi je ne me poserais pas toutes ces questions là et serait sûrement bien meilleur en maths. Après je suppose qu'il y a des ressources qui peuvent être davantage pédagogique et mieux nous guider dans notre raisonnement.

[JB Science]

D'où la nécessité de connaître vraiment les définitions, théorèmes et règles pour savoir exactement de quoi il est question. Avec l'apprentissage des méthodes, ça suffit largement à ton niveau (95% des exercices ne sont que la reprise de ces connaissances).


Je vous remercie pour ces conseils. On est d'accord vous faites allusion aux epsilon? En gros si l'on maîtrise bien les démonstration par exemple du théorème de la continuité,...on peut résoudre n'importe quel exercice? Dans les références que j'ai citées est-ce que vous pensez que certaines d'entres elle pourraient m'être particulièrement utile afin de repartir du bon pied mais aussi pour considérablement améliorer mes résultats? Ou alors qu'avez-vous à me conseiller?

[gg0]

Les découpages d'epsilon sont effectivement une technique utile pour certains exercices, mais aussi des techniques plus anciennes (égalités remarquables, propriétés de la valeur absolue, trigonométrie, ...). Toutes les règle du collège et du lycée doivent être parfaitement connues, pour "donner des idées"; mais aussi les théorème du supérieur. par exemple si dans un énoncé tu as une fonction f, continue sur [a,b], il doit te venir à l'esprit (même si ça ne sert finalement pas) que f est bornée, que f atteint ses bornes, que f([a,b]) est un intervalle, que toute valeur entre f(a) et f(b) est un f(c) pour a<=c<=b. C'est ça connaître son cours.

Quand tu vois le corrigé d'un exercice, et que tu te dis "Ah bon ! On a appliqué telle règle" et que tu n'y as pas pensé, reprend ton apprentissage pour l'avoir en tête au cas où elle pourrait servir. De cette façon, face à un énoncé d'exercice ou de problème, tu auras presque toujours "des idées", à expérimenter sur un brouillon; et plutôt 3 que une.

Cordialement.

[gg0]

Pour ta question sur les bouquins, je t'avoue que je n'ai pas eu la patience de lire entièrement ton message#1, donc je n'ai aucun avis sur des références que tu as noyées dans une logorrhée nuisible (*). Ce que je sais c'est :
* Qu'il n'existe pas de bouquin miracle qui rend simple ce qui est complexe et abstrait
* que le meilleur bouquin est celui que tu choisis parce qu'il te semble te convenir
* que les conseilleurs ne sont pas les payeurs.


(*) mais j'espère que ça t'a fait du bien

[JB Science]

Merci gg0 pour ces éléments de réponses.

Mais en fait je me perds un peu : quelle est la différence entre connaître et comprendre vraiment les définitions, théorèmes et règles pour savoir exactement de quoi il est question ( comme tu me l'avais évoqué tout à l'heure) et le fait de connaître les epsilon ? Est-ce que tu pourrais me prendre un exemple stp? Est-ce que les exercices les plus compliqués font-ils nécessairement appels au cours car j'ai vraiment l'impression que pas mal d'exos compliqués sont dissociés du cours? Concernant les bouquins j'ai en bas de message j'ai fait une liste de référence en y incluant les bouquins... Le problème c'est que c'est dur de savoir à mon niveau qu'est-ce qui pourrait me correspondre... J'avais l'analyse et l'algèbre de la licence de Dunod, ils sont quand même complexes à assimiler. C'est bien beau d'apprendre le cours mais quand on ne comprend à cause d'une abstraction trop grande, c'est compliqué de suivre...

[Merlin95]

Dire que tu as des problèmes en maths ça ne dit pas lesquels ils sont, il faudrait que tu donnes un exemple de difficulté. Pour les connaissances vs compréhension, ce qui est connu doit au moins être compris, la démonstration vient en quelque sorte aussi illustrer ce qu'il y a à comprendre.
Apres il y a aussi les goûts si tu n'aimes pas faire des raisonnements mathématiques forcément tu mettras même inconsciemment moins d'énergie nécessaire à une bonne assimilation des notions.

[gg0]

"J'avais l'analyse et l'algèbre de la licence de Dunod, ils sont quand même complexes à assimiler."
Oui, les maths c'est complexe à assimiler. C'est normal !
Si c'était simple, on verrait ça en lycée.

Ce qui peut te tromper, c'est qu'on a fortement édulcoré les programmes de lycée (beaucoup plus lourds et difficiles il y a 20 ans), et qu'avec de l'imitation des exercices, on s'en sort en lycée sans vraiment avoir à connaître et comprendre (*). En supérieur scientifique, il faut nettement plus de travail et d'envie de faire.


(*) pas de grande différence entre les deux notions; dire "je connais mais je ne comprends pas" n'a pas de sens, c'est dire "j'en ai entendu parler, mais je n'ai pas fait attention, je n'ai pas vraiment chercher à connaître".

[minushabens]

Bah justement si ça marchait pour moi je ne me poserais pas toutes ces questions là et serait sûrement bien meilleur en maths. Après je suppose qu'il y a des ressources qui peuvent être davantage pédagogique et mieux nous guider dans notre raisonnement.

en tout cas ce n'est pas en t'abonnant à des revues de vulgarisation que tu vas apprendre des mathématiques.

[JB Science]

Merlin95 j'ai un peu évoqué les difficultés que j'ai comme j'en ai d'ailleurs discuté avec ma prof hier. Elles ne sont pas calculatoires mais c'est plus lié à l'abstraction au pourquoi on fait ça, comment fonctionnent les choses... à la compréhension en profondeur des éléments. " il faudrait que tu donnes un exemple de difficulté " Est-ce que tu pourrais être plus précis? Il y a tellement d'exos que je galère que je ne pourrai pas tous les prendre mais par exemple si tu me proposes des exos sur un site en me disant lesquels je galère je pourrais te le dire évidemment ( mais il risque d'y en avoir beaucoup hahaa)... Forcément on aime moins ce qu'on réussit moins ( la réciproque est également vraie) mais par contre j'essaie de m'y intéresser de plus en plus en espérant réussir un jour...

[JB Science]

Oui, les maths c'est complexe à assimiler. C'est normal !
Si c'était simple, on verrait ça en lycée.



C'est vrai que de nos jours au lycée on ne voit plus grand chose au lycée mais justement les maths pour qu'on puisse les comprendre du moins pour ceux qui ont le plus de difficultés il faut que ce soit explicite, c'est pour ça que je recherche éventuellement des ouvrages mieux conçues à ce sujet.


(*) pas de grande différence entre les deux notions;

J'imagine que tu faisais allusion entre comprendre et connaître ? Et entre maîtriser les epsilon et ce que tu m'as évoqué quelle est la différence? J'ai l'impression que ce tu m'as évoqué ça rester très général et ça peut être difficile à cibler dans la pratique bien que très intéressant ( je n'en doute pas une seule seconde) et puis si on a du mal avec l'abstraction c'est également encore plus complexe.

[syborgg]

JB Science : est tu mu par une profonde envie de comprendre les maths ? toute la question est la je pense... je me souviens qu'en fac, j'avais une veritable passion pour comprendre les maths, ca venait du plus profond de moi, je voulais en savoir toujours plus. Je n'etais pas parmi les meilleurs pour autant, mais je prenais un grand plaisir a comprendre et a faire des maths. Si tu n'est pas habite par cet elan, cette flamme, le plus probable c'est que tu te bloques et qu'au lieu d'un plaisir ca devienne une souffrance. Alors si tu as besoin de faire des maths parceque dans la filiere que tu as choisis c'est obligatoire, tu peux arriver a te maintenir plus ou moins en maths avec beaucoup d'energie, parceque par ailleurs tu te nourris d'autres cours qui te passionnent... sinon c'est du masochisme...

[eudea-panjclinne]

Un de mes anciens professeurs de l'université disait "Je ne connais qu'une seule façon d'apprendre les mathématiques c'est de faire des exercices".
Je pense toujours que c'est vrai.

La première question à vous poser est de vous demander si vous avez envie de chercher des exercices et d'y passer du temps, si cela vous ennuie et si vous vous dites "bâclons cela afin de passer à autre chose, parce que ça m’intéresse peu", alors ça va être difficile.

Si la réponse à la question précédente est oui, alors reprenez votre cours, ne le lisez pas ça ne sert à rien, mais reprenez-le par écrit en écrivant les définitions, les théorèmes, essayer, sans regarder le cours, de refaire les démonstrations. Chercher des exemples, des contre-exemples pour rendre concret le cours, demandez-vous pourquoi telle démonstration est comme cela et pas autrement, en bref "posez-vous des questions sur ce cours" comme nous disait ce professeur que j'ai cité au-dessus. Ceci vous permettra de vous approprier le cours, c'est à dire d'apprendre les définitions et théorème mais également des techniques et des savoirs-faire. Le cours réécrit, faites des exercices.

Ne vous illusionnez pas, aucun livre ou site n'est magique. Évitez de vous disperser dans une multitude de documents, quelques-uns devraient suffire. Je dirai même que les mauvais livres sont les meilleurs parce qu'on va pouvoir trouver leurs erreurs ce qui est un exercice encore plus excellent.
Ça répète un certain nombre de choses déjà dites, mais c'est malheureusement ou heureusement la seule voie.

[JB Science]

est tu mu par une profonde envie de comprendre les maths ? C'est difficile à expliquer mais depuis que je suis petit je me pose des tonnes de questions, le pourquoi du comment et en maths je me demande pourquoi il y a ça, pourquoi il y a ça... mais c'est vrai je ne trouve jamais le temps d'approfondir mes recherches...


Si tu n'est pas habite par cet elan, cette flamme, le plus probable c'est que tu te bloques et qu'au lieu d'un plaisir ca devienne une souffrance. Oui je suis en parti habité par cet élan je dirai mais pour l'heure j'ai des objectifs académiques c'est à dire passer du moyen actuellement ( 10-11) à avoir les meilleurs notes que possible par la suite pour pouvoir éventuellement intégrer de bonnes écoles derrière la licence. Bon vu comme ça s'explique si j'ai déjà la moyenne en L2 c'est déjà pas mal.

Du coup de ton côté ( après si tu veux on peut aussi échanger en privé) mais est-ce que tu me conseillerais des ressources particulières qui pourraient me servir comment dire de tableau de bord? Que penses-tu des ressources que j'ai pu inclure? Mais je le précise pour l'heure mes objectifs sont académiques quitte à ce que ce soit au détriment d'une compréhension plus profonde. Mais bien évidemment quand on y est intéressé, on peut remédier plus tard aussi

[JB Science]

Un de mes anciens professeurs de l'université disait "Je ne connais qu'une seule façon d'apprendre les mathématiques c'est de faire des exercices". Je pense toujours que c'est vrai.

On est d'accord mais en fonction des individus ça peut fortement fluctuer. Parfois c'est aussi en lâchant prise qu'on n'y arrive mieux. Et parfois en étant peu efficace et avec modérément de travail on peut très bien réussir. C'est là que prenne le sens des mathématiques si j'ose dire.

La première question à vous poser est de vous demander si vous avez envie de chercher des exercices et d'y passer du temps, si cela vous ennuie et si vous vous dites "bâclons cela afin de passer à autre chose, parce que ça m’intéresse peu", alors ça va être difficile.

Non je cherche beaucoup d'exercices comme par exemple sur exo 7 mais il y a beaucoup d'exos que je n'arrive pas à faire et les corrections ne m'aident pas vraiment ( certaines d'entres elles, pas toutes évidemment on aussi leur défaut de présenter des méthodes spécifiques)...

Si la réponse à la question précédente est oui, alors reprenez votre cours, ne le lisez pas ça ne sert à rien, mais reprenez-le par écrit en écrivant les définitions, les théorèmes, essayer, sans regarder le cours, de refaire les démonstrations.


Le problème c'est que j'ai déjà essayé de faire ça mais il y a parfois et souvent d'ailleurs trop d'étapes que je ne comprends pas. Est-ce nécessaire de tout comprendre, elle est là la question dirais-je? Si j'apprends les démo et théorème est-ce productif? Pas vraiment... La question comment comprendre ça ? On est d'accord une fois qu'on a compris ça , en théorie on est capable de faire n'importe quels exos ou pas?



Ne vous illusionnez pas, aucun livre ou site n'est magique.


Non mais certains sont plus explicites que d'autres, après le travail à fournir vient de l'étudiant évidemment mais si on ne comprend même pas ce qu'on fait ça ne sert à rien d'aller plus loin !

Évitez de vous disperser dans une multitude de documents, quelques-uns devraient suffire.

On est d'accord, indépendamment des références que j'ai citées c'est ce que je recherche à vrai dire.


Je dirai même que les mauvais livres sont les meilleurs parce qu'on va pouvoir trouver leurs erreurs ce qui est un exercice encore plus excellent.


Sans doute mais c'est à partir d'une certaine expérience que l'on peut faire ça... C'est aller droit au suicide quand on a autant de difficultés que moi.

[maatty]

Bonsoir,
je me permets de rajouter une ou deux choses concernant ce qui a été dit. (Et ce, malgré mon humble niveau bien en deçà de nombre des personnes qui t'ont déjà répondu). Spécifiquement sur ta question:

"Mais en fait je me perds un peu : quelle est la différence entre connaître et comprendre vraiment les définitions, théorèmes et règles pour savoir exactement de quoi il est question"

Tu demandes quelle est la différence entre connaitre un énoncé et le comprendre; en voici un exemple que je donne à mes élèves en première.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert et tel qu'on a un extremum en c alors f'(c)=0.
Tu peux connaitre cette propriété, et à vrai dire en comprendre chaque mot mais la propriété est-elle vraiment comprise? Tu comprends le mot dérivable, intervalle, ouvert , extremum...bref tous les mots donc j'ai compris ce qu'elle dit.
Généralement je demande alors à mes élèves (après leur avoir demandé s'ils ont compris) pourquoi l'intervalle doit être ouvert? Le doit-il d'ailleurs?
A mon sens lorsque tu travailles le cours et que tu vois les propriétés, il faut se poser des questions, pourquoi cette hypothèse? en quoi est-elle nécessaire (ou bien peut-on s'en passer). Les réponses sont alors dans les démonstrations. C'est à ce niveau que tu verras les hypothèses en action (et que tu pourras alors les utiliser lorsque tu les rencontreras en exercice).

Voilà, en espérant que tu en tires quelquechose.

[JB Science]

Ah merci beaucoup donc on est d'accord comprendre c'est mieux que connaître? Enfin comprendre sous entend connaître de ce point de vue là mais ce n'est évidemment pas forcément réciproque. Donc en gros les réponses aux exercices les plus complexes sont dans les démonstrations? Mais quand on ne comprend pas une démonstration, les étapes, le cheminement comment faire? C'est là tout l'intérêt de mes questions s'il n'y a pas une façon plus pédagogique de voir les choses ( ça peut être des sites ou des livres ou des chaines que j'ai pu citer par exemple)?

[eudea-panjclinne]

Et parfois en étant peu efficace et avec modérément de travail on peut très bien réussir. C'est là que prenne le sens des mathématiques si j'ose dire.

C'était l'impression que donnaient ou voulaient donner les multiples élèves que nous qualifions, nous enseignants, de "fumistes", effectivement, ils arrivaient apparemment à un certain niveau, mais quand cela devenait dur, comme en classes préparatoires, en général ils s'écroulaient. Il ne faut pas rêver tout de même. Si vous voulez atteindre un certain niveau il faut travailler.

je cherche beaucoup d'exercices comme par exemple sur exo 7 mais il y a beaucoup d'exos que je n'arrive pas à faire et les corrections ne m'aident pas vraiment

Faites-en moins mais essayer de les comprendre et de les faire complètement, c'est là où vous progresserez. Essayez peut-être de trouver quelqu'un qui pourrait vous aider.

Le problème c'est que j'ai déjà essayé de faire ça mais il y a parfois et souvent d'ailleurs trop d'étapes que je ne comprends pas. Est-ce nécessaire de tout comprendre, elle est là la question dirais-je?

Mais c'est bien toutes les étapes qu'il faut comprendre car ce sont les plus difficiles que vous évitez et leur compréhension vous fera progresser. Soyez persévérant.

Si j'apprends les démo et théorème est-ce productif? Pas vraiment... La question comment comprendre ça ? On est d'accord une fois qu'on a compris ça , en théorie on est capable de faire n'importe quels exos ou pas?

Si pour vous apprendre, c'est apprendre par coeur, alors on est d'accord, cela ne sert à rien. Faites comme je vous l'ai dit dans mon message #18.
Ceci dit, rien n'est magique ni rapide et en pratiquant de cette façon personne ne peut vous garantir de pouvoir résoudre n'importe quel exercice après 15 jours. Allez, mettez-vous au travail et bon courage...

[JB Science]

Je rejoins globalement votre message bon après le problème en maths c'est clair qu'il y en a qui ont plus de facilités que d'autres... En ce qui concerne les livres disponibles, j'ai l'impression que tous présentent le même défaut : il ne sont
vraiment compréhensibles que si on dispose d'une clé qui est sous-entendue. Pour bénéficier de cette clé quand on a des difficultés, il est nécessaire d'avoir recours à des ressources plus pédagogiques, bon après je ne sais plus si c'est de votre ressort. Pour ma part j'ai déjà pris des cours particuliers ça a permis de combler mes lacunes mais des problèmes de fond demeurent et s'accentuent au fil des années mais c'est à moi de les régler bien qu'être aidé sur les ressources à consulter pourrait m'être particulièrement utile. Je pense que plus les choses sont expliquées explicitement et clairement, plus elles seront accessibles à un grand nombre d'individu... C'est un peu le défaut du système académique français actuel. Dans les pays anglo-saxons il y a beaucoup plus de recherches niveau apprentissage cognitif vis à vis des maths avec ce qu'on appelle ( une définition qui n'existe pas en France encore pour le moins...) des kinesthétics des personnes qui abordent les maths différemment mais peuvent arriver à un très haut niveau....

Néanmoins est-ce qu'il serait possible pour vous de m'évoquer qu'est-ce qui particulièrement utile de revoir comme définition, théorème , démonstrations pour prendre de solides bases pour l'année prochaine la L2 ? Car tout ne se retrouve pas forcément...

[eudea-panjclinne]

Néanmoins est-ce qu'il serait possible pour vous de m'évoquer qu'est-ce qui particulièrement utile de revoir comme définition, théorème , démonstrations pour prendre de solides bases pour l'année prochaine la L2 ?

Reprendre le cours de L1 en examinant plus particulièrement ce que vous avez laissé de côté. Assurez-vous ainsi d'avoir bien tout compris. Reprendre en même temps les exercices faits. Dès que vous tombez sur une difficulté gardez présent à l'esprit de la résoudre coûte que coûte et de ne pas la passer.

[JB Science]

Après je pense que comme beaucoup mon problème vient du fait qu'on nous a appris en primaire comment calculer, au secondaire comment utiliser des résultats mathématiques, mais que ce n'est que dans le supérieur qu'on évoque le raisonnement mathématique, alors qu'il est la base pour comprendre la discipline et obtenir les résultats... C'est là que les mathématiques prennent tout leur sens.

La mathématique est une science déductive. Le cœur de la discipline consiste à construire des preuves. Si je sais que A est prouvé, et que je veux prouver B à partir de A, alors je dois construire une chaîne de raisonnement A, X1, ... , Xn, B telle que la transition entre deux maillons est élémentaire. Et ces transitions élémentaires sont toujours les mêmes : disjonction de cas, raisonnement par l'absurde, raisonnement par récurrence/induction, ou application d'un théorème précédemment prouvé.

Disjonction de cas
Par exemple, si je veux prouver que n² est toujours de la même parité que n, comme la parité fait appel à deux cas (pair et impair) je vais faire une disjonction de cas et prouver 1) pour tout entier n, si n est pair alors n² est pair, et 2) pour tout entier n, si n est impair alors n² est impair.
Prouvons 1). Comme il y a écrit dans l'énoncé "pour tout entier n" je commence ma preuve par "Soit un entier n". Comme il y a écrit "si n est pair alors ..." j'écris dans ma preuve "Supposons que n soit pair, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k" en utilisant la définition de la parité. Le résultat concerne n², donc faisons le calcul dans la preuve et écrivons "Donc n² = (2k)² = 4k²". Il faut montrer que n² est pair, c'est à dire qu'il existe un entier k' tel que n² = 2k'. Au vu du calcul précédent, on peut prendre k' = 2k² et du coup 2k' = 4k² = n². Rédigeons donc "4k² = 2*(2k²) est pair, donc n² est pair.".
Ainsi, une preuve de "pour tout entier n, si n est pair alors n² est pair" est :
"Soit un entier n, supposé pair, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k. Donc n² = (2k)² = 4k² = 2*(2k²) est pair aussi."
De la même façon, pour prouver 2) "pour tout entier n, si n est impair alors n² est impair", tu peux écrire quelque chose du genre :
"Soit un entier n, supposé impair, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que n = 2k+1. Donc n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2*(2k² + 2k) + 1 est impair aussi".
Pour prouver que "Pour tout entier n, n et n² ont la même parité", j'écris donc la preuve suivante :
"Soit n un entier. Deux cas sont possibles :
- Si n est pair alors il existe un entier k tel que n = 2k. Donc n² = (2k)² = 4k² = 2*(2k²) est pair aussi.
- Si n est impair alors il existe un entier k tel que n = 2k+1. Donc n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2*(2k² + 2k) + 1 est impair aussi.
Dans tous les cas, n et n² ont la même parité."

Raisonnement par l'absurde
Il consiste à admettre un énoncé A, à en déduire une contradiction, et donc à en déduire la négation de A. Par exemple, prouvons qu'il existe un nombre infini d'entiers :
Supposons par l'absurde qu'il existe un nombre fini d'entiers.
Notons N le plus grand (on peut toujours prendre le maximum d'un ensemble fini).
N+1 est un entier (c'est un axiome [5] que si n est un entier alors n+1 aussi est un entier).
Nous avons que N+1 > N, qui était supposé être le plus grand.
D'où la contradiction attendue.
Donc il y a un nombre infini d'entiers.

Raisonnement par récurrence
Ce type de raisonnement est utilisé si pour établir une propriété sur un objet il faut supposer les propriétés précédentes. Par exemple, si n est un entier supérieur ou égal à 1, soit S(n) = 1 + 3 + ... + (2n-1) la somme des n premiers entiers impairs. Prouvons par récurrence que S(n) = n². Il faut prouver la propriété pour le cas de base (c'est l'nitialisation), ici c'est le plus petit entier concerné, c'est à dire n = 1, puis montrer que si la propriété est prouvée pour n alors on peut la prouver pour n+1 (c'est l'hérédité).
Initialisation: S(1) = (2*1-1) = 1 = 1², donc la propriété est vérifiée pour n = 1.
Hérédité: Supposons que S(n) = n², et prouvons que S(n+1) = (n+1)² :
S(n+1) = 1 + 3 + ... + (2n-1) + (2*(n+1)-1) = S(n) + (2*(n+1)-1).
Par hypothèse de récurrence, S(n) = n².
De plus, 2*(n+1)-1 = 2n + 2 - 1 = 2n+1.
Donc S(n+1) = n² + 2n + 1 = (n+1)².
Nous avons donc prouvé par récurrence que pour tout entier supérieur ou égal à 1, S(n) = n².
(En effet, l'initialisation est S(1) = 1², donc par hérédité S(2) = 2², donc par hérédité S(2) = 2², etc. jusqu'à atteindre le n voulu.)



Ainsi, à chaque fois on prouve des choses compliquées à partir de choses plus simples, jusqu'à tomber sur des définitions (par exemple la parité), ou des résultats admis (les axiomes, qui sont le point de départ) ou des résultats déjà prouvés. L'idée est donc de "diviser pour mieux régner" : diviser le résultat à prouver en morceaux plus petits, puis diviser encore ces morceaux, etc.

Application d'un théorème:

Par exemple, prouvons que S(n) = 1 + 3 + ... + (2n-1), la somme des n premiers entiers impairs, a une infinité de valeurs paires :
Supposons par l'absurde l'hypothèse (H1) selon laquelle il existe un nombre fini N d'entiers n1, ... , nN supérieurs ou égaux à 1 tels que S(n1), ... , S(nN) soient pairs.
Comme prouvé précédemment, pour tout entier supérieur ou égal à 1, S(n) = n².
De plus, comme prouvé précédemment, n² et n ont la même parité.
Donc, pour tout entier supérieur ou égal à 1, S(n) a la même parité que n.
D'où, avec l'hypothèse (H1), il existe un nombre fini N d'entiers n1, ... , nN supérieurs ou égal à 1 tels que n1, ... , nN soient pairs.
Donc, nous avons prouvé l'énoncé (H2) qu'il n'existe qu'un nombre fini d'entiers pairs.
Comme prouvé précédemment, il existe une infinité d'entiers.
Donc, en les multipliant par 2, il existe une infinité d'entiers pairs.
Cela contredit (H2).
Nous avons donc montré par l'absurde que S(n) a une infinité de valeurs paires.
Mais oui, au moment où les étapes deviennent assez simples, il faut avoir une idée pour débloquer la preuve (par exemple utiliser le fait que si N est un entier alors N+1 est un entier). Pire, souvent le problème étudié (par exemple "S(n) = 1 + 3 + ... + (2n-1), la somme des n premiers entiers impairs, a-t-elle une infinité de valeurs paires ?") ne laisse pas voir dans quelle direction partir. Ainsi, il faut développer une pensée créative pour tester des directions, et ensuite une rigueur pour l'exploiter correctement.

Résolution de problème

Supposons à présent que nous tombons sur le problème "S(n) = 1 + 3 + ... + (2n-1), la somme des n premiers entiers impairs, a-t-elle une infinité de valeurs paires ?" sans tout le raisonnement qui précède. Comment l'aborder ?
Comme l'énoncé parle de S(n) = 1 + 3 + ... + (2n-1), on peut commencer au brouillon par calculer les premières valeurs S(1), S(2), S(3), S(4) qui sont 1, 4, 9, 16. Là, on pourrait se dire que, tiens, ce sont les premiers carrés.
Et du coup on pourrait tenter de décomposer le problème. Notamment de séparer les définitions, les lemmes (résultats techniques et particuliers), les propositions (résultats intéressants et plus généraux), les corollaires (se déduisent immédiatement de ce qui précède), et le théorème auquel on souhaite arriver.
Par exemple écrire au brouillon quelque chose comme :
Définition 1 : Soit S(n) = 1 + 3 + ... + (2n-1) la somme des n premiers entiers impairs.

Proposition 1 : S(n) = n².
Preuve : à faire.

Corollaire 1 : S(n) et n ont la même parité.
Preuve : S(n) = n² (proposition 1), qui a la même parité que n (lemme 1, à faire).

Théorème : S(n) a une infinité de valeurs paires.
Preuve par l'absurde : Si S(n) a un nombre fini de valeurs paires alors (corollaire 1) il y a un nombre fini d'entiers pairs, ce qui contredit le lemme 2 (à faire).
Ainsi, notre problème compliqué se trouve réduit à faire la preuve de la proposition 1 et des lemmes 1 et 2 qui devraient être plus simples :
Proposition 1 : Pour tout entier supérieur ou égal à 1, S(n) = n².
Preuve par récurrence :
Initialisation: S(1) = 2*1-1 = 1 = 1², donc la propriété est vérifiée pour n = 1.
Hérédité: Supposons que S(n) = n², et prouvons que S(n+1) = (n+1)² :
S(n+1) = 1 + 3 + ... + (2n-1) + (2*(n+1)-1) = S(n) + (2*(n+1)-1).
Par hypothèse de récurrence, S(n) = n².
De plus, 2*(n+1)-1 = 2n + 2 - 1 = 2n+1.
Donc S(n+1) = n² + 2n + 1 = (n+1)².
Lemme 1 : Pour tout entier n, n et n² ont la même parité.
Preuve : Soit n un entier. Deux cas sont possibles :
Si n est pair alors il existe un entier k tel que n = 2k.
Donc n² = (2k)² = 4k² = 2*(2k²) est pair aussi.
Si n est impair alors il existe un entier k tel que n = 2k+1.
Donc n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2*(2k² + 2k) + 1 est impair aussi.
Lemme 2 : Il y a une infinité d'entiers pairs.
Preuve par l'absurde : Supposons par l'absurde qu'il existe un nombre fini d'entiers pair. Soit N le plus grand.
N+2 est un entier pair. N+2 > N contredit la maximalité de N.
Et maintenant, on peut nettoyer un peu et tout rassembler pour avoir enfin une preuve complète
Notez qu'on a réfléchit du théorème aux propositions/corollaires puis des propositions/corollaires aux lemmes, alors que durant la rédaction on va des lemmes aux propositions/corollaires puis au théorème.
Et de plus, comme les lemmes n'ont rien à voir avec la définition, ils sont placés avant, ce qui donne :
Lemme 1 : Pour tout entier n, n et n² ont la même parité.
Preuve : Soit n un entier. Deux cas sont possibles :
Si n est pair alors il existe un entier k tel que n = 2k.
Donc n² = (2k)² = 4k² = 2*(2k²) est pair aussi.
Si n est impair alors il existe un entier k tel que n = 2k+1.
Donc n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2*(2k² + 2k) + 1 est impair aussi.
Lemme 2 : Il y a une infinité d'entiers pairs.
Preuve par l'absurde : Supposons par l'absurde qu'il existe un nombre fini d'entiers pair. Soit N le plus grand.
N+2 est un entier pair. N+2 > N contredit la maximalité de N.
Définition 1 : Soit S(n) = 1 + 3 + ... + (2n-1) la somme des n premiers entiers impairs.

Proposition 1 : Pour tout entier supérieur ou égal à 1, S(n) = n².
Preuve par récurrence :
Initialisation: S(1) = 2*1-1 = 1 = 1², donc la propriété est vérifiée pour n = 1.
Hérédité: Supposons que S(n) = n², et prouvons que S(n+1) = (n+1)² :
S(n+1) = 1 + 3 + ... + (2n-1) + (2*(n+1)-1) = S(n) + (2*(n+1)-1).
Par hypothèse de récurrence, S(n) = n².
De plus, 2*(n+1)-1 = 2n + 2 - 1 = 2n+1.
Donc S(n+1) = n² + 2n + 1 = (n+1)².
Corollaire 1 : Pour tout entier n, S(n) et n ont la même parité.
Preuve : S(n) = n² (proposition 1), qui a la même parité que n (lemme 1).

Théorème : S a une infinité de valeurs paires.
Preuve par l'absurde : Si S a un nombre fini de valeurs paires alors (corollaire 1) il y a un nombre fini d'entiers pairs, ce qui contredit le lemme 2.
Et enfin, il faut aussi se rappeler que les mathématiciens recherchent l'élégance.
Ainsi, il est possible d'avoir plusieurs preuves d'un même énoncé, et les preuves plus courte ou faisant intervenir moins de concepts ou de calculs sont vus comme plus élégantes.
Par exemple, ce qui est suit est une preuve plus élégante que précédemment :

Lemme 1 : Il y a une infinité d'entiers pairs.
Preuve par l'absurde : Supposons par l'absurde qu'il existe un nombre fini d'entiers pair. Soit N le plus grand.
N+2 est un entier pair. N+2 > N contredit la maximalité de N.
Lemme 2 : Toute somme de deux entiers impairs est paire.
Soient m et n deux entiers impairs, donc il existe deux entiers a et b tels que m = 2a + 1 et n = 2b + 1.
D'où m + n = (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) est pair.
Corollaire 1 : Pour tout entier pair n, toute somme de n entiers impairs est paire.
Preuve par récurrence :
Initialisation: La somme d'aucun entier est 0, qui est pair.
Hérédité: Supposons qu'il existe un entier pair n tel que toute somme de n entiers impairs est paire.
Soit S une somme de n+2 entiers impairs.
S = S' + m + n, où S' est une somme de n entiers impairs, et m et n sont deux entiers impairs.
Par le lemme 1, m + n est pair.
Par hypothèse de récurrence, S' est pair.
Donc, par le lemme 2, S = S' + (m + n) est pair.
Définition 1 : Soit S(n) = 1 + 3 + ... + (2n-1) la somme des n premiers entiers impairs.

Théorème : S a une infinité de valeurs paires.
Preuve : Par le corollaire 1, pour tout entier pair n, S(n) est pair.
Or, par le lemme 1, il existe une infinité d'entier pair, donc S a une infinité de valeurs paires.
Du coup, il arrive souvent qu'un indice qui nous a mis sur la voie d'une preuve (par exemple que S(n) = n²) se révèle superflu au final pour atteindre le théorème voulu.

[JB Science]

Voilà comment je vois les maths. Qu'en pensez vous? Y-a-t-il une méthode pour aborder et comprendre les démonstrations complexes et abstraites, les différentes étapes comme ce que j'ai évoqué ici par exemple?

[shaams]

@JB
J'ai l'impression que tu recherches une méthode qui te permettra de devenir le Poincaré des maths, cela ne te sert à rien, l'habilité en mathématique ne se transmet pas, eudea-panjclinn ou gg0 ne peuvent rien faire ( sauf pour t'aider à resoudre les problèmes de maths), tu dois faire un travail psychologique sur toi-meme et sur comment tu perçois les concepts mathématiques, je te recommande cette vidéo d'Alain Connes sur comment le mathématicen pense face à un problème

[JB Science]

Merci je connais bien Alain Connes au sujet des fameuses images mentales d'où l'intérêt tout particulier parfois de sécher longtemps sur un problème.

Ce n'est pas mon but de devenir le Poincarré des maths: mon but est de réussir mes années universitaires du mieux que possible et pour le moment j'en suis encore loin donc je me pose des questions et je remercie tout le monde pour les précédentes réponses déjà apportées même si j'ai l'impression que je n'ai pas réponse à mes questions. Comme évoqué antérieurement me semble-t-il il y a un livre à ce sujet nommé les 8 intelligences mais il est très controversé par les études des psychologues cognitifs... Indépendamment de trouver sa façon de fonctionner ( qui n'est pas forcément adéquat et de notre ressort) ne vaut-il pas mieux s'adapter directement aux maths? Pour cela avez-vous déjà entendu parler du livre : think like a mathematician? La littérature anglaise offre souvent un plus grand large éventail de choses.... Voilà donc si vous avez des choses potentiellement intéressantes à me proposer c'est avec grand plaisir

[syborgg]

Une des difficultes pour te repondre de facon circonstanciee c'est que, pour ceux qui n'ont jamais eu de "problemes" avec les maths depuis leur tendre enfance, c'est difficile de se mettre dans la peau de qq'un qui en a, et a fortiori de lui proposer des solutions. C'est un peu comme demander a un voyant pourquoi et comment il voit. C'est un processus tellement automatique et integre dans l'inconscience qu'on aurait du mal a l'expliquer a un aveugle.
En L1 cotoie tu des etudiants brillants en maths ? si oui, as tu deja parle avec eux de ce sujet ? si oui, que t'ont ils repondus ?