Bonjour à tous,
Etant en L3 de physique j'ai eu une discussion avec mon professeur à propos des espaces vectoriels et espaces affines, et je me sens perdu, j'aurais donc besoin de vos lumières :
Voici ce que je pense pour l'instant :
1) Lorsqu'on représente géométriquement (donc avec des flèches) un espace vectoriel (déjà a t'on le droit de faire ça?), je crois que les vecteurs sont liés à l'origine, mon professeur affirme lui que non. Je pense que les vecteurs sont liés à l'origine parce que si ce n'était pas le cas on pourrait les vecteurs seraient entremêlés, et donc géométriquement ça serait difficile de faire des opérations sur ceux-ci : on ne pourrait pas utiliser de système de coordonnées.
2) Souvent on représente géométriquement (corrigez moi si je n'ai pas le droit de dire ça svp) l'addition de vecteur dans un espace vectoriel en liant le premier vecteur, première opérande la relation binaire d'addition, à l'origine, et en liant l'extrémité de la queue de la flèche du deuxième vecteur (deuxième opérande de la relation binaire d'addition) à la pointe de la flèche du premier vecteur. Ensuite on relie l'origine à la pointe de la flèche du deuxième vecteur qu'on a comme je l'ai expliqué lié au premier. A t-on le droit de faire ça dans la représentation d'un espace vectoriel puisque préalablement j'ai dit que les vecteurs étaient liés à l'origine? D'après mes connaissances, j'aurais dit qu'une telle action peut se faire dans le cas d'un espace affine, où la flèche représentant un vecteur ne représente plus un vecteur mais une flèche, c'est à dire un représentant de la classe d'équivalence à laquelle on associe un vecteur de l'espace vectoriel directeur.
3) Donc pour représenter une telle addition de vecteurs dans un espace vectoriel, il faudrait comme je l'ai expliquer dans le 2) faire une application, tel que soitun espace vectoriel,
une espace affine,
et une autre application :
avec
une flèche (segment orienté qui relie un bipoint je crois).
Ensuite une application de $A^2 dans A^2$ :
Ensuite une application dans l'autre sens :
Et là on peut représenter notre vecteur résultant de l'opération d'addition de 2 vecteurs dans l'espacetel que
Grâce à ceci on ne libère jamais les vecteurs de leur origine, donc on respecte le fait de ne pas enchevêtrer les vecteurs, et aussi que dans un espace vectoriel tout vecteur est unique.
Suis-je complètement à côté de la plaque?
Pour résumer :
Je crois pour les raisons évoquées ci-dessus, que :
· La représentation géométrique d'un espace affine d'espace vectoriel directeur ne contient pas de vecteurs mais uniquement des points, des flèches construites à partir de bipoints. L'espace vectoriel directeur sert en quelque sert à construire des points d'un espace affine à partir d'autre points, en fixant l'origine de l'espace vectoriel directeur au premier point du bipoint, puis en développant le vecteur désiré à partir de cet origine. Une fois ceci fait, on quitte notre espace vectoriel pour revenir à notre espace affine pour observer le point construit (pas d'origine privilégiée dans l'espace affine). En répétant ceci en tout point de l'espace affine on se rend compte qu'on créé des flèches équivalentes en tout point de l'espace affine.
Si dans l'autre sens on part de cet espace affine pour développer la notion d'espace vectoriel, alors c'est comme si on rassemblait toutes ces flèches équivalentes en classes d'équivalences. A cette classe d'équivalence on affecte une unique flèche. On lie toutes ces flèches particulières à une origine : on obtient un espace vectoriel (qui doit aussi répondre à des axiomes supplémentaires tels que la linéarité etc…
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