Espace affine vs espace vectoriel, et représentations

[guiguiadonf]

Bonjour à tous,

Etant en L3 de physique j'ai eu une discussion avec mon professeur à propos des espaces vectoriels et espaces affines, et je me sens perdu, j'aurais donc besoin de vos lumières :
Voici ce que je pense pour l'instant :

1) Lorsqu'on représente géométriquement (donc avec des flèches) un espace vectoriel (déjà a t'on le droit de faire ça?), je crois que les vecteurs sont liés à l'origine, mon professeur affirme lui que non. Je pense que les vecteurs sont liés à l'origine parce que si ce n'était pas le cas on pourrait les vecteurs seraient entremêlés, et donc géométriquement ça serait difficile de faire des opérations sur ceux-ci : on ne pourrait pas utiliser de système de coordonnées.
2) Souvent on représente géométriquement (corrigez moi si je n'ai pas le droit de dire ça svp) l'addition de vecteur dans un espace vectoriel en liant le premier vecteur, première opérande la relation binaire d'addition, à l'origine, et en liant l'extrémité de la queue de la flèche du deuxième vecteur (deuxième opérande de la relation binaire d'addition) à la pointe de la flèche du premier vecteur. Ensuite on relie l'origine à la pointe de la flèche du deuxième vecteur qu'on a comme je l'ai expliqué lié au premier. A t-on le droit de faire ça dans la représentation d'un espace vectoriel puisque préalablement j'ai dit que les vecteurs étaient liés à l'origine? D'après mes connaissances, j'aurais dit qu'une telle action peut se faire dans le cas d'un espace affine, où la flèche représentant un vecteur ne représente plus un vecteur mais une flèche, c'est à dire un représentant de la classe d'équivalence à laquelle on associe un vecteur de l'espace vectoriel directeur.

3) Donc pour représenter une telle addition de vecteurs dans un espace vectoriel, il faudrait comme je l'ai expliquer dans le 2) faire une application, tel que soit un espace vectoriel, une espace affine, et une autre application :
avec une flèche (segment orienté qui relie un bipoint je crois).
Ensuite une application de $A^2 dans A^2$ :


Ensuite une application dans l'autre sens :


Et là on peut représenter notre vecteur résultant de l'opération d'addition de 2 vecteurs dans l'espace tel que
Grâce à ceci on ne libère jamais les vecteurs de leur origine, donc on respecte le fait de ne pas enchevêtrer les vecteurs, et aussi que dans un espace vectoriel tout vecteur est unique.

Suis-je complètement à côté de la plaque?

Pour résumer :
Je crois pour les raisons évoquées ci-dessus, que :
· La représentation géométrique d'un espace affine d'espace vectoriel directeur ne contient pas de vecteurs mais uniquement des points, des flèches construites à partir de bipoints. L'espace vectoriel directeur sert en quelque sert à construire des points d'un espace affine à partir d'autre points, en fixant l'origine de l'espace vectoriel directeur au premier point du bipoint, puis en développant le vecteur désiré à partir de cet origine. Une fois ceci fait, on quitte notre espace vectoriel pour revenir à notre espace affine pour observer le point construit (pas d'origine privilégiée dans l'espace affine). En répétant ceci en tout point de l'espace affine on se rend compte qu'on créé des flèches équivalentes en tout point de l'espace affine.
Si dans l'autre sens on part de cet espace affine pour développer la notion d'espace vectoriel, alors c'est comme si on rassemblait toutes ces flèches équivalentes en classes d'équivalences. A cette classe d'équivalence on affecte une unique flèche. On lie toutes ces flèches particulières à une origine : on obtient un espace vectoriel (qui doit aussi répondre à des axiomes supplémentaires tels que la linéarité etc…
-----

[Resartus]

Bonjour,
Stricto sensu, un vecteur n'a pas d"origine et d'extrémité... Cette notion n'existe que pour les bipoints.
Mais l'isomorphisme entre les vecteurs et les classes d'équivalence de bipoints est tellement intuitif qu'on finit par parler de l'un à la place de l'autre
(au point que, dans les programmes du secondaire, on commence à présenter les vecteurs comme des translations dans l'espace, et c'est seulement en prepa ou en L1 qu'on définira les espaces vectoriels par leurs propriétés intrinséques)

Et vous avez tout à fait raison : quand on utilise tetes et queues pour additionner des vecteurs, on fait en réalité un aller/retour vers l'espace affine.

[gg0]

Bonjour.

"Lorsqu'on représente géométriquement (donc avec des flèches) un espace vectoriel " ?? la plupart des espaces vectoriels n'ont pas besoin d'être représenté (comment représenter l'espace des fonctions réelles continues sur [0,1] muni des opérations habituelles).
J'imagine que tu veux parler de l'espace des vecteurs du plan, ou de celui des vecteurs de l'espace (tu parles de flèches). Mais dans ce cas, la représentation est l'espace affine canoniquement associé à l'espace vectoriel, et les différences de points (si tu préfères, les bipoints) donnent des vecteurs. Cependant, dans cette représentation, le point M du plan affine correspond au vecteur défini par le bipoint (O,M), vecteur qu'on peut écrire M-0 (l'origine correspond au vecteur nul) dans une écriture où le point M retrouve exactement le vecteur qui le définit.
Donc oui, tu as raison, et ton prof aussi. Vous avez tous les deux tort si vous dites que l'autre a faux.

"La représentation géométrique d'un espace affine d'espace vectoriel directeur ne contient pas de vecteurs". Là tu te trompes, puisqu'on peut prendre comme espace affine l'espace vectoriel lui-même vu comme un espace affine. Dans les constructions modernes de la géométrie, c'est d'ailleurs ainsi qu'on définit le plan (espace affine de dimension 2) et l'espace (espace affine de dimension 3). Et comme tous les espaces affines réels de dimension finie n sont isomorphes, on ne fait pas de distinction.
Tu peux voir cela dans un livre moderne de géométrie (si tu as accès à une BU, tu as de grandes chances de pouvoir y lire le cours de Marcel Berger.

Cordialement.

[guiguiadonf]

Bonjour.

"Lorsqu'on représente géométriquement (donc avec des flèches) un espace vectoriel " ?? la plupart des espaces vectoriels n'ont pas besoin d'être représenté (comment représenter l'espace des fonctions réelles continues sur [0,1] muni des opérations habituelles).
J'imagine que tu veux parler de l'espace des vecteurs du plan, ou de celui des vecteurs de l'espace (tu parles de flèches).
Cordialement.

Exactement, je veux parler par exemple d'un espace vectoriel E tel que ou , j'aurais dû en effet l'écrire.

"La représentation géométrique d'un espace affine d'espace vectoriel directeur ne contient pas de vecteurs". Là tu te trompes, puisqu'on peut prendre comme espace affine l'espace vectoriel lui-même vu comme un espace affine. Dans les constructions modernes de la géométrie, c'est d'ailleurs ainsi qu'on définit le plan (espace affine de dimension 2) et l'espace (espace affine de dimension 3). Et comme tous les espaces affines réels de dimension finie n sont isomorphes, on ne fait pas de distinction.

Si je comprends ce que vous me dîtes, cela veut dire que ce qui est dans cette image présenté comme le dessin d'un espace vectoriel :

(image issue de la chaîne youtube 3blue1brown)

Est en fait un espace affine de dimension 2, le vecteur est en fait une flèche (dans le sens un segment orienté propre à un bipoint), et étant donné que cette espace affine de dimension finie (qu'on doit quand même munir d'une origine je suppose) est comme vous le dîtes isomorphe à un espace vectoriel de même dimension, on fait le raccourcit, on dit : voici un espace vectoriel de dimension 2 alors qu'on devrait dire : voici un espace affine dont on a choisit l'origine et d'espace vectoriel directeur [tex] E [\tex]?

Pour aller plus loin, toute REPRESENTATION d'un espace vectoriel comme "dessin" (donc la droite des réels, le plan et l'espace usuelle) est en fait un espace affine (avec une origine fixée) dont la dimension est celle de l'espace vectoriel qui lui est associé? Ainsi un vecteur est un concept "abstrait", qu'on ne peut pas dessiner, mais qu'on peut INDIRECTEMENT visualiser quand on le met en bijection avec une flèche d'un espace affine (j'entends quand il s'agit d'un espace vectoriel dont les dimensions sont 1 ou 2 ou 3)?

En tout cas un grand merci pour votre réponse! Désolé si cette question parait évidente, mais je n'ai pas étudié les mathématiques en suivant un programme "classique", je comble donc mes lacunes, notamment grâce à de telles réponses.

[A voir en vidéo sur Futura]

[guiguiadonf]

(au point que, dans les programmes du secondaire, on commence à présenter les vecteurs comme des translations dans l'espace, et c'est seulement en prepa ou en L1 qu'on définira les espaces vectoriels par leurs propriétés intrinséques)

Donc si je comprends, quand on présente à un élève le dessin d'une flèche qui est libre de son mouvoir dans l'espace, et qu'on lui dit : "voici un vecteur", on fait une erreur, on devrait lui dire (si je comprend bien) voici une bijection entre un vecteur et une flèche, et tu vois la flèche dans la représentation d'un espace affine, ensuite quand on place la flèche à un autre endroit on devrait lui dire : voici une bijection entre le même vecteur et une autre flèche, qui elle, appartient à la même classe d'équivalence que la flèche précédente?

Un grand merci pour votre réponse !

[gg0]

En attendant de voir ton document ("en attente de validation"), quelques remarques.

* Un dessin n'est pas vraiment une "représentation", pas pour un espace vectoriel. C'est fait pour donner une idée. Une figure en géométrie donne une idée de l'énoncé, mais on ne peut pas dessiner une droite ni un point. On ne peut pas dessiner un vecteur du plan ni la plupart des espaces vectoriels.
* la représentation des vecteurs du plan ou de l'espace par des flèches n'est qu'un rappel de l'idée intuitive (et utile en physique et mécanique) de "longueur+direction+sens" qui est donnée par un bipoint. Le bipoint (A,B) est naturellement orienté, sur un dessin il faut bien montrer quel est le premier point, quel est le deuxième.
* Tout espace vectoriel peut être muni d'une structure d'espace affine (R^n, +, .) est aussi bien un espace vectoriel (les n-uplets sont des vecteurs) qu'un espace affine (les n-uplets sont des points). Réciproquement, tout espace affine dans lequel on choisit un point (une origine) définit une structure d'espace vectoriel isomorphe à son espace vectoriel directeur (donc qu'on peut prendre pour espace directeur).
* Il est inutile de perdre trop de temps là dessus, si on étudie l'algèbre linéaire (les espaces vectoriels), les représentations élémentaires ne sont qu'un guide pour débutant, très vite les outils de l'algèbre linéaire donnent des moyens de calcul sans équivalent. Et si on étudie la géométrie affine, très vite on s'éloigne des représentations par des dessins (dessins, donc trompeuses) pour s'appuyer, justement, sur l'algèbre linéaire.
* tout purisme, comme le contenu de ton dernier message est dangereux, empêche de penser clairement.

Cordialement.

[gg0]

Je viens de voir ton document. Il ne s'agit en rien de représenter un espace vectoriel, même pas les vecteurs du plan. Il s'agit d'un plan repéré par un repère cartésien. Et dans ce dessin, sont représenté un point et un vecteur, non nommés, mais désignés par leurs coordonnées (le point) et composantes (le vecteur). Le but semble être plus de différencier coordonnées et composantes (puisqu'on les écrit différemment) que de différencier vecteurs (désignés dans le plan affine par des bipoints) des points (le point de coordonnées (-4,2) peut aussi désigner un vecteur, ou bien aussi le nombre complexe -4+2i).

C'est bien ce que je disais, sauf à étudier de près le lien espace affine/espace vectoriel directeur, il est inutile de perdre son temps sur ces "représentations". Le but de ces outils est de calculer, pas de "voir".

Cordialement.

NB : Pour toi, tu peux parfaitement faire les représentations que tu veux. N'importe comment, les preuves ne se serviront pas de ces représentations, mais seulement des définitions et théorèmes mathématiques.

[guiguiadonf]

Je viens de voir ton document. Il ne s'agit en rien de représenter un espace vectoriel, même pas les vecteurs du plan. Il s'agit d'un plan repéré par un repère cartésien.

Bonjour,
J'ai mis énormément de temps à répondre car j'ai eu besoin de repasser beaucoup de temps dans la théorie, et en partie grâce à ce que vous avez écrit j'ai compris où était le blocage qui m'empêchait de comprendre les liens tissés entre espaces vectoriels et espaces affines, représentations d'espace affine et de son espace vectoriel directeur.
Il n'y a qu'un point où je ne suis pas d'accord avec vous, mais c'est ce désaccord qui je pense m'a permis de comprendre ce qui me bloquait, car mon désaccord a évolué : qu'est ce qu'une représentation : D'après le Larousse, de mémoire c'est un moyen de rendre sensible une idée, ainsi lorsque qu'on fait une tache d'encre sur une feuille avec un crayon à papier et qu'on dit que c'est un point en précisant qu'il faut réduire infiniment la tâche, on comprend intuitivement que c'est les relations qu'entretient le point ainsi artificiellement matérialisé avec ses voisins qui caractérise un point dans l'espace : le point peut être au milieu de la feuille donc entouré par énormément de point, sur le côté donc beaucoup de points lui seront "voisins" d'un côté et pas de l'autre etc.
De même, quand on dessine une flèche sur une feuille et qu'on dit que ceci est un vecteur, on fait en réalité une représentation d'un vecteur, on cherche en fait à rendre sensible la notion de direction, sens, et longueur…et c'est la que ça coince, car si on ne précise pas que l'espace vectoriel est munit d'une structure topologique, l'apprenant va intégrer inconsciemment, si on ne le met pas en garde, que les vecteurs sont caractérisés par une longueur, ce qui n'est pas le cas pour les éléments des espaces vectoriels sans structure supplémentaire (c'est mon point de vue).
De plus dans mon cas, ayant fait l'erreur de mal identifier ce qu'était une représentation, j'ai voulu absolument partir d'un espace affine (puisqu'il contient des points, et dire que ce qu'on dessinait était bien une flèche, un bipoint et non un vecteur, ce qui n'a aucun sens puisque dessiner une flèche est une erreur, on dessine la représentation d'une flèche. Donc en quoi dessiner la représentation d'une flèche est plus légitime que de dessiner la représentation d'un vecteur.
Évidemment si on représente les points du bipoint par des lettres majuscules aux extrémités de la flèche et qu'on dit que toute cette représentation est celle d'un vecteur dans un espace vectoriel, comme on le voit très souvent, on fait selon moi une belle erreur qui perd l'apprenant. Si j'ai bien compris on fait dans ce cas, si on choisi un point d'origine, la représentation d'un espace affine et de son espace vectoriel directeur, on dira qu'il y a équivalence entre la flèche (bipoint) de l'espace affine représentée et un vecteur de l'espace vectoriel directeur (si l'espace affine et donc l'espace vectoriel directeur est munit d'une topologie on peut dire qu'on peut se fier à la notion de longueur perçue, sinon il faudra préciser qu'il ne faut pas se conformer à la notion de longueur ainsi visualisée).

Ai-je compris cette fois selon vous ?

[ansset]

bjr,

Ai-je compris cette fois selon vous ?

la question ne m'est pas adressée, mais je t'avoue que moi, je ne comprend pas ce que tu dis.
le texte m'apparait comme très confus.
tu sembles chercher les corrélations ( ou pas ) entre "représentations" et concepts mathématiques clairement définis.
en particulier, un espace vectoriel est bien défini:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace...C3%A9finitions

donc, parler d'espace vectoriel sans "structure" par exemple me semble assez incongru.

ps: tu suis quel cursus actuellement ?

[gg0]

Je n'ai pas tout compris moi non plus, mais je fais une rectification : Un vecteur géométrique est bien associé à une longueur, sa norme (*), et cette notion se généralise dans les espaces vectoriels normés, voire euclidiens. Et quand on a appris à utiliser les vecteurs du plan et de l'espace, puis qu'on aborde les espaces vectoriels, on se fait vite à l'idée que la généralisation des vecteurs géométriques laisse de côté tout un tas de particularités pour ne conserver que l'aspect calcul linéaire. Puis, quand on voit des cas particuliers (dualité, géométrie affine, espaces euclidiens ou hermitiens, ...) on est très content de retrouver des notions connues, sous une forme bien plus générale.

Cordialement.

(*) un vecteur géométrique est une classe d'équivalence pour la relation entre bipoints "même distance+même direction+même sens".

[guiguiadonf]

bjr,

donc, parler d'espace vectoriel sans "structure" par exemple me semble assez incongru.

ps: tu suis quel cursus actuellement ?

Bonjour,
J'ai écrit : "[…]des espaces vectoriels sans structure supplémentaire" ce qui sous entend structure topologique qu'on ajoute à l'espace vectoriel, en gros on le munie d'une topologie (vous avez raison je ne maitrise sûrement pas ce que je dis mais il me semble que dans ce cas là c'est plutôt juste, je me suis basé là dessus : https://www.wikiwand.com/fr/Structur...C3%A9matiques), et là dessus : https://www.wikiwand.com/fr/Structure_alg%C3%A9brique ; je pense que c'est plutôt juste car d'après le deuxième lien :

"Une structure algébrique peut être munie d'une topologie, devenant ainsi un espace topologique" puis
"Plus particulièrement, la structure algébrique peut être munie d'une distance, devenant un espace métrique : "
"Un cas important est celui des espaces vectoriels possédant une norme, qui définit la « longueur » d’un vecteur : "
enfin :
"Les espaces préhilbertiens sont des espaces vectoriels réels ou complexes munis d'un produit scalaire. Ces espaces vectoriels sont des espaces normés : la norme d'un vecteur y est la racine carrée de son carré scalaire. Quelques cas importants ont reçu un nom :

Un espace vectoriel euclidien est un espace vectoriel préhilbertien réel de dimension finie, muni d’un produit scalaire dont la forme quadratique correspondante est définie positive. Un espace affine euclidien est un espace affine attaché à un espace vectoriel euclidien, muni de la distance, dite euclidienne, déduite de la norme euclidienne. Cet espace est celui de la géométrie classique d’ Euclide."

Mon objectif avant de lire les articles en lien était de comprendre en quoi les schémas que nous faisons en L3 physique (mon cursus du coup) sont plus ou moins éloignés des mathématiques que nous utilisons (qui ne sont elles mêmes pas aussi rigoureuses que ce qu'on peut lire dans les bouquins de mathématiques (je ne vous apprend rien)), en gros je voulais faire le lien entre les différentes figures, schéma etc qui aident à la compréhension des formules dans un cours de physique et les mathématiques qui sous-tendent ces formules, et il se trouve que ces formules dans les cours de physiques font intervenir des structures algébriques et topologiques.

Ayant remarqué que points et vecteurs étaient tout le temps mélangés par les cours, et ayant lu même dans des cours de mathématiques que les vecteurs sont parfois eux mêmes appelés des points, j'ai aussi voulu y voir plus claire, car la notion de point intervient surtout dans les espaces affines (ce sont les éléments de l'espace affine) et ils se trouvent que "Un espace affine euclidien est un espace affine attaché à un espace vectoriel euclidien, muni de la distance, dite euclidienne, déduite de la norme euclidienne. Cet espace est celui de la géométrie classique d’ Euclide." ce qui veut dire que la plupart des schémas dans les cours qui utilisent de la géométrie, nous permettent de nous représenter, de rendre sensible les structures d'espaces vectoriels et espaces affines qui sous tendent les formules que nous utilisons en cours.

Pour faire simple j'avais besoin d'essayer de mettre de la rigueur, de trouver des points communs dans ce que nous utilisons dans les différentes matières en L3 physique, car le cadre mathématique dans lequel nous nous plaçons n'est quasiment jamais évoqué, à part en mécanique quantique, et si je ne suis pas clair c'est que je n'y suis manifestement pas encore arrivé.

[guiguiadonf]

Du coup je pense que ce que vous appelez "vecteur géométrique" et ce que j'appelais "flèche", merci pour votre réponse!

[Amanuensis]

Perso je pense que l'abord usuel des espaces vectoriels, via la structure algébrique et les espaces euclidiens, n'est pas la mieux adaptée à la physique.

L'espace des positions en physique est une variété différentielle, i.e., la structure topologique est première, et la description vectorielle (dire qu'une position est un vecteur) est trompeuse. Une variété est la généralisation d'un espace affine, d'un espace de points (lieux) pouvant se décrire sans origine.

La notion d'espace vectoriel reste très importante en physique, mais pas en relation avec les espaces affines. On a ainsi l'espace vectoriel des vitesses en un lieu, l'espace vectoriel des forces, celui des valeurs possibles du champ électrique en un lieu, etc. (Dont des cas bien moins intuitifs, comme les rotations et divers moments). La structuration de ces espaces-là en espaces affines est sans application à la physique, car le vecteur nul y a toujours une signification physique particulière, le rendant différent des autres.

Selon cette approche, un vecteur est mieux présenté en physique comme ayant "une direction, un sens et une intensité" ; l'intensité est une notion plus générale que la longueur, ce peut être l'intensité d'une force, d'un champ, etc. Certes, on trouvera derrière une notion de norme, mais pas une norme d'espace affine, comme l'est la longueur physique (celle d'un objet, d'un déplacement).

Et en général les grandeurs vectorielles sont bien attachées à un point (cas de la vitesse, d'une force, etc.). Et la représentation d'un tel vecteur avec son origine sur ce point est souvent critique (par exemple pour les forces s'exerçant sur un solide).

De fait, en physique il n'y a guère qu'un seul cas où voir un vecteur comme un bipoint d'un espace affine fait sens: le cas d'un déplacement dans un espace euclidien. Certes, c'est un cas des plus courants en mécanique classique, mais ce n'en est pas moins un cas très particulier de vecteur, une exception parmi des tas d'autres apparitions de vecteurs qui ne s'interprètent pas comme cela.

[guiguiadonf]

Perso je pense que l'abord usuel des espaces vectoriels, via la structure algébrique et les espaces euclidiens, n'est pas la mieux adaptée à la physique.

L'espace des positions en physique est une variété différentielle, i.e., la structure topologique est première, et la description vectorielle (dire qu'une position est un vecteur) est trompeuse. Une variété est la généralisation d'un espace affine, d'un espace de points (lieux) pouvant se décrire sans origine.

Super! ça se recoupe avec ce vers quoi mon professeur avait cherché à m'emmener à la fin de notre conversation sur les espaces vectoriels et affines, merci!

La structuration de ces espaces-là en espaces affines est sans application à la physique, car le vecteur nul y a toujours une signification physique particulière, le rendant différent des autres.

Là je ne comprends pas ce que vous voulez me dire, en quoi est ce que sa signification est différente ? Pour moi le vecteur nul est simplement l'élément neutre de l'espace vectoriel d'un point de vue mathématique, c'est à dire que le résultat d'une addition d'un vecteur quelconque excepté le vecteur nul avec le vecteur nul donnera le vecteur quelconque. D'autre part le vecteur nul signifie un sorte d'absence d'intensité , de sens, et de direction, ainsi sa signification physique me parait adaptée : si on prend le cas du vecteur champ électrique en un point, le vecteur champ électrique égal au vecteur nul signifie simplement que le champ électrique a une intensité nul, une direction nul et un sens nul en ce point, donc j'ai du louper quelque choses dans ce que vous vouliez me signifier.

De fait, en physique il n'y a guère qu'un seul cas où voir un vecteur comme un bipoint d'un espace affine fait sens: le cas d'un déplacement dans un espace euclidien. Certes, c'est un cas des plus courants en mécanique classique, mais ce n'en est pas moins un cas très particulier de vecteur, une exception parmi des tas d'autres apparitions de vecteurs qui ne s'interprètent pas comme cela.

Vous venez tout simplement de me simplifier la vie! merci!
Pour faire un petit tour d'horizon des structures mathématiques utilisées en physique, si je comprends :
· électromagnétisme => champ de vecteurs : fonction qui associe un vecteur à chaque point d'une variété différentielle
· optique géométrique => espace affine (notion de droites, on a besoins d'angle, de droites, de segments orientés etc)
· optique physique => espace affine euclidien
· mécanique analytique => pour l'espace de phase : champ de vecteur, donc notion d'espace vectoriel et de variété différentielle
=>pour suivre le déplacement d'un mobile : espace affine euclidien
· mécanique quantique => espace vectoriel hilbertien : espace vectoriel + topologie (produit scalaire et norme
· cristallographie => espace affine euclidien non? (les mailles etc se répètent)
… pour le reste :
électronique à part la théorie des graphes qui est située sur je ne sait qu'elle structure je ne vois pas, ……

[Amanuensis]

Là je ne comprends pas ce que vous voulez me dire, en quoi est ce que sa signification est différente ?

Une particularité d'un espace affine au sens utilisé pour un espace euclidien est la parfaite homogénéité : tous les éléments sont "pareils", le choix de l'un d'entre eux (comme origine par exemple) est arbitraire.

Corrélativement, si une valeur a des propriétés physiques particulières, il est très peu probable que la modélisation des valeurs possibles soit par un espace affine. Ainsi les positions sont "toutes pareilles" dans l'espace 3D euclidien de la mécanique classique (-> affine), mais la vitesse nulle a une signification particulière en physique qui la distingue de toutes les autres (-> vectoriel dans ce cas).

D'autre part le vecteur nul signifie un sorte d'absence d'intensité , de sens, et de direction, ainsi sa signification physique me parait adaptée : si on prend le cas du vecteur champ électrique en un point, le vecteur champ électrique égal au vecteur nul signifie simplement que le champ électrique a une intensité nul, une direction nul et un sens nul en ce point

Oui, et cela indique une propriété physique particulière (par exemple si le champ électro-magnétique est nul partout on peut totalement ignorer la charge électrique...).

électronique à part la théorie des graphes qui est située sur je ne sait qu'elle structure je ne vois pas, ……

Tout n'est pas que vectoriel ou affine ! Par exemple les températures (ça ne s'additionne pas par exemple, mais ce n'est pas un espace affine, les bipoints n'ont pas de sens physique). Ou les échelles logarithmiques (décibels).

[Amanuensis]

PS: Si vous vous intéressez aux structures mathématiques en physique, les deux cas (vectoriel et affine) sont représentatifs de deux aspects très généraux:

1) Les variétés différentielles. Et plus particulièrement celles ayant des symétries fortes (comme l'homogénéité): on peut voir l'espace affine euclidien comme l'exemple princeps d'une variété différentielle homogène.

2) La linéarité qui vient de l'infinitésimal, de l'idée de dérivation, de différentielle. Et cela apparaît dans le cadre des variétés différentielles, avec la notion d'espace tangent en un point.

Tout le continu en physique utilise ces structures, ou presque.

Cela laisse de côté le discontinu, comme les graphes par exemple.

[minushabens]

Pour moi le vecteur nul est simplement l'élément neutre de l'espace vectoriel d'un point de vue mathématique, c'est à dire que le résultat d'une addition d'un vecteur quelconque excepté le vecteur nul avec le vecteur nul donnera le vecteur quelconque.

cette caractérisation du vecteur nul est plus que vaseuse si tu veux mon avis.

[Amanuensis]

C'est pourtant la caractérisation algébrique la plus évidente (élément neutre de groupe), venant de la définition d'un espace vectoriel comme groupe avec des propriétés supplémentaires.

[minushabens]

considère l'ensemble {0,a} muni d'une loi notée additivement telle que 0+a=a+0=a, a+a=a et 0+0=a. Il vérifie la condition énoncée mais n'est pas un groupe.

C'est le membre de phrase "excepté le vecteur nul" qui ne va pas.

[Amanuensis]

C'est le membre de phrase "excepté le vecteur nul" qui ne va pas.

Il est juste inutile, rien de plus. Pas grande importance.

Mais je ne vois pas l'intérêt de ce genre de remarques. Une expression comme "plus que vaseuse" est désagréable, le PP ne la mérite pas, et ça participe au mauvais esprit du forum.

[guiguiadonf]

considère l'ensemble {0,a} muni d'une loi notée additivement telle que 0+a=a+0=a, a+a=a et 0+0=a. Il vérifie la condition énoncée mais n'est pas un groupe.

C'est le membre de phrase "excepté le vecteur nul" qui ne va pas.

j'ai simplement cherché à faire une phrase rapide pour ne pas avoir à re-détailler ce qu'était un élément neutre de l'ensemble des vecteurs sous la loi d'addition vectoriel. Je trouve que le terme "vaseux" que vous utilisé est vrai : je n'ai pas donné toutes les précision :
· Pour la structure algébrique espace vectoriel, le vecteur nul de l'ensemble des vecteurs est neutre en ce qui concerne la loi de composition interne, le groupe sur l'ensemble des vecteurs pour l'opération d'addition vectoriel (je ne vais pas re-détailler ce qu'est un groupe)
· Le vecteur nul est absorbant à droite pour la loi de composition externe "multiplication par un scalaire" opérant sur l'ensemble des vecteurs.

Néanmoins je voulais vous dire que j'aurais apprécié une justification de votre remarque (ce que vous avez fait après), cela aurait été, selon ma perception, immédiatement plus constructif

[guiguiadonf]

PS: Si vous vous intéressez aux structures mathématiques en physique, les deux cas (vectoriel et affine) sont représentatifs de deux aspects très généraux:

1) Les variétés différentielles. Et plus particulièrement celles ayant des symétries fortes (comme l'homogénéité): on peut voir l'espace affine euclidien comme l'exemple princeps d'une variété différentielle homogène.

2) La linéarité qui vient de l'infinitésimal, de l'idée de dérivation, de différentielle. Et cela apparaît dans le cadre des variétés différentielles, avec la notion d'espace tangent en un point.

Tout le continu en physique utilise ces structures, ou presque.

Cela laisse de côté le discontinu, comme les graphes par exemple.

Que me conseillez vous comme lecture pour avoir un bel aperçu de ce que vous me présentez? Je crois comprendre qu'une bonne compréhension de la topologie (je fais mal la différence entre la topologie générale et algébrique parce que j'ai juste commencé le sujet) sera nécessaire, puis allez vers la topologie différentielle? Est ce que la topologie symplectique est fortement liée à la topologie différentielle (je crois que c'est très important pour le Hamiltonien non?)?

Quels sont les prérequis?

Un grand merci!

[Amanuensis]

Un ouvrage d'introduction à la géométrie différentielle assez "abordable" ? (Le pré-requis, vous devez les avoir en L3 de physique).

Plusieurs sont indiqués dans la biblio, en particulier dans https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6434469, mais ça mélange RG et géodiff, faudrait extraire ceux qui sont que géodiff, et en vérifier le "niveau"... Les textes orientés RG sont à mon goût "trop RG", pas assez géo diff de base pour toute application.

Le Masson et le Coquereaux sont vraisemblablement "trop haut" pour commencer.

Personnellement, je me suis formé en autodidacte en piochant un peu partout... Rien qu'en fouillant le Wiki (en anglais) on peut se former, mais faut naviguer "sans guide"...

[guiguiadonf]

merci! j'aime aussi beaucoup la méthode wiki, ça permet de fouiller rapidement chaque notion qu'on ne connait pas avec les liens, mais il me semble important de compléter avec d'autres choses.
En effet "le Masson" est trop costaud pour moi pour l'instant. Du coup au pif je suis parti sur le cours d'Eric Gourgoulhon, la forme est remarquable et puis en le parcourant ça n'avait pas l'air d'être incompréhensible.
Encore merci!