Géométrie non euclidienne

[juliem27]

Bonjour,

J'ai plusieurs questions, mais aucune qualification mathématique.

Je ne comprends pas trop les implications concrètes de la géométrie non euclidienne et du coup je ne comprends pas pourquoi elle est non aristotelicienne... Pouvez vous m'aider s'il vous plaît en me donnant un ou des exemples concrets (et en rattachant ces exemples aux mathématiciens ou physiciens ayant découvert l'aboutissement du principe en question) ? Je n'ai aucune formation scientifique, je me pose cette question car j'étudie Korzybski (un philosophe qui a beaucouo travaillé sur la semantique).

Autre question. Il existe une géométrie hyperbolique à courbure négative et une autre géométrie elliptique à courbure positive. Est ce que cela a un impact au niveau de la topologie cosmologique (j'ai déjà regardé une vidéo sur YouTube où il était question de la courbure de l'univers, mais je ne sais pas si ces deux géométries ont un lien direct avec cela) ?

Dernière question. Pourquoi y a t il autant de sorte de géométries ? Par exemple, pourquoi ne peut on pas se servir des calculs tirés de la navigation des bateaux sur la mer afin de voir quel systeme géométrique est correct ?

J'espère que mes questions ne vous auront pas semblé trop ridicules... Je n'y connais vraiment rien...
En vous remerciant pour l'attention que vous porterez à mes questions.
Bonne semaine !
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[Amanuensis]

Trop de questions pour un seul fil !

Pour aborder simplement la géométrie non euclidienne, étudier la géométrie à la surface de la sphère, comme le verrait une fourmi ignorant la troisième dimension. Les "lignes droites", ce que suit une fourmi en "allant tout droit", sont alors les grands cercles, et on a toute une géométrie à partir de ces droites là.

Par exemple on y trouve des triangles à trois angles droits (en prenant un pôle et deux points sur l'équateur à 90° de longitude l'un de l'autre), et des tas d'autres "phénomènes" non euclidiens.

On peut passer pas mal de temps sur cette géométrie (dont un aspect mathématique est la "trigonométrie sphérique"), et cela aide à faire la part de l'euclidien et du non euclidien.

Par contre la géométrie à courbure partout négative n'offre pas d'exemples se prêtant à des exercices simples.

Dernière question. Pourquoi y a t il autant de sorte de géométries ?

Pourquoi y en aurait-il peu ??? C'est juste comme ça...

Par exemple, pourquoi ne peut on pas se servir des calculs tirés de la navigation des bateaux sur la mer afin de voir quel systeme géométrique est correct ?

Mais on peut, avec adaptation.

Un des théorèmes fondateurs des géométries non euclidienne (theorema egregium, de Gauss) dit en gros qu'on peut étudier la géométrie "de l'intérieur".

Des appareils de navigation, comme les centrales à inertie, permettent sans difficulté de déterminer que la surface de la mer n'est pas "plate", présente une courbure (positive). Mieux, on est obligé de les "corriger" pour qu'elles se repèrent par rapport à la verticale, et donc donner des mesures "de l'intérieur", c'est à dire "restant sur la surface").

[Par choix, je reste à des notions "simples". Nul doute que d'autres intervenants feront des choix différents, donnant ainsi un autre éclairage.]

[pm42]

Je ne comprends pas trop les implications concrètes de la géométrie non euclidienne et du coup je ne comprends pas pourquoi elle est non aristotelicienne... Pouvez vous m'aider s'il vous plaît en me donnant un ou des exemples concrets (et en rattachant ces exemples aux mathématiciens ou physiciens ayant découvert l'aboutissement du principe en question) ? Je n'ai aucune formation scientifique, je me pose cette question car j'étudie Korzybski (un philosophe qui a beaucouo travaillé sur la semantique).

Si tu te déplaces en voiture, tu vas prendre une carte et considérer qu'à ton échelle, la Terre est plate.
Donc utiliser une géométrie euclidienne.
Idem si tu veux faire les plans d'une maison par ex. Ou même si tu te déplaces en bateau mais à l'échelle de la Méditerranée.

Donc pendant très longtemps, on s'est contenté de cela.

Si tu te déplaces en bateau sur des grandes distances ou en avion, cela ne marche plus : tu sais que tu es sur une sphère. Donc tes calculs de distance, d'angles, de trajectoire la plus courte, etc, doivent le prendre en compte.

Tu vas donc utiliser une autre géométrie. Historiquement, ce besoin est apparu relativement tard parce qu'on a mis longtemps à parcourir ces grandes distances et donc à avoir besoin d'autre chose que de la géométrie euclidienne.

Autre question. Il existe une géométrie hyperbolique à courbure négative et une autre géométrie elliptique à courbure positive. Est ce que cela a un impact au niveau de la topologie cosmologique (j'ai déjà regardé une vidéo sur YouTube où il était question de la courbure de l'univers, mais je ne sais pas si ces deux géométries ont un lien direct avec cela) ?

Oui. Dans un cas, l'Univers serait une gigantesque sphère (pour simplifier) et dans l'autre il serait une selle de cheval poussée à l'infini.

Dernière question. Pourquoi y a t il autant de sorte de géométries ? Par exemple, pourquoi ne peut on pas se servir des calculs tirés de la navigation des bateaux sur la mer afin de voir quel systeme géométrique est correct ?

Il y a en autant que de cas qui peuvent se présenter et il n'y a pas un système "correct" et pas les autres. Tout dépend du cas dans lequel on est.

Voir plus haut pour l'exemple de la navigation en mer : suivant les distances, on utilise un système ou l'autre.

[Deedee81]

Salut,

Autre question. Il existe une géométrie hyperbolique à courbure négative et une autre géométrie elliptique à courbure positive. Est ce que cela a un impact au niveau de la topologie cosmologique (j'ai déjà regardé une vidéo sur YouTube où il était question de la courbure de l'univers, mais je ne sais pas si ces deux géométries ont un lien direct avec cela) ?

Question dont la réponse n'est ni simple, ni courte, ni facile.

Je propose, si ça t'intéresse, de plutôt reposer cette question particulière dans le forum astrophysique / pédagogie. Ici c'est plutôt hors thématique.

Concernant la question initiale, tu trouveras certainement beaucoup d'explications ici (et dans les liens de cette page) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Histoi...A9om%C3%A9trie

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Juliem27.

L'existence des trois géométries (euclidienne, hyperbolique, elliptique) est très liée au choix des axiomes servant à les définir. Au départ, il y a les axiomes d'Euclide (il y a 2300 ans) qui définissent une géométrie qu'on a longtemps crue "naturelle" et unique (voir ce qu'en dit Kant). mais il y avait ce sacré cinquième postulat, mis par Euclide bien après les 4 autres, ce qui le rendait un peu artificiel. On a longtemps espéré qu'il serait un théorème, mais au milieu du dix-neuvième siècle, on a démontré qu'il était bien indépendant, et qu'on pouvait le transformer.
Sous la forme "Par un point donné, il existe une et une seule parallèle à une droite donnée", il pouvait être remplacé par "Par un point donné, il existe plusieurs parallèle à une droite donnée" (Lobachevsky) ou au contraire par "Par un point donné hors d'une droite donnée, il n'existe aucune parallèle à cette droite" (Bolyai). Mais à la même époque, on avait aussi développé une géométrie différente (géométrie projective) dans laquelle toutes les droites se coupent, mais qui ne respecte pas les 4 postulats d'Euclide.
Toutes ces avancées ont amené à réfléchir sur ce qu'est une géométrie (voir l'article de Wikipédia), mais aussi à essayer de traiter de la vraie géométrie de surfaces dans l'espace, voire de volumes définis autrement, ce fut le développement de l'étude des variétés différentielles, cadre des théories physiques actuelles.

Mais quelle est la vraie géométrie ? Aucune ! Ou toutes. Du point de vue des mathématiques pures, aucune n'est plus vraie qu'une autre (il n'y a pas de plus vrai, seulement du "vrai" au sens de "déduit des axiomes"). Du point de vue pratique, la géométrie Euclidienne est la plus couramment utilisée, car la plus simple, et assez utilisable pour ce qui est à notre échelle.

Cordialement.

[gg0]

"du coup je ne comprends pas pourquoi elle est non aristotelicienne"
Pour le peu que je connais de Korzybski, c'est une interprétation à lui de "aristotélicien", donc je ne vais pas me risquer à traduire ce qu'il veut dire. J'ai parfois l'impression qu'il classe les idées en fonction d'une pensée du dix-huitième siècle (qualifiée par lui d'aristotélicienne) et donc tout ce qui a remis en cause cette pensée est "non-aristotélicien".
Mais on est ici sur un forum de mathématiques, tu ferais mieux de poser ce genre de question dans un forum "philo" ou "sémantique".

Cordialement.

[juliem27]

Merci sincèrement pour vos réponses !

Juste quelques dernieres precisions :
- la géométrie de Bolyai est bien hyperbolique (et pas elliptique) ?
- pouvez vous me recommander svp un site internet (je n'en ai pas trouvé) portant sur les objets mathématiques en les rattachant à un type de géométrie précis ?

Merci encore pour votre apport !
Bonne soirée

[gg0]

Bonjour.

Je n'ai pas de réponse à tes questions :
* Je ne connais pas la signification ici de elliptique et hyperbolique (et est-ce que ça a une importance ???)
* Je ne comprends pas vraiment ta deuxième question, ce que je sais est qu'il vaut mieux prendre des livres d'histoire des sciences ou de géométrie moderne que de picorer des informations plus ou moins fiables sur Internet. Autre chose : Les objets géométriques existent généralement (*) dans toutes les géométries, avec parfois des propriétés différentes.

Cordialement.

(*) pas les parallélogrammes s'il n'y a pas de parallèles.

[juliem27]

J'ai lu (sur Internet c'est vrai...) qu'il existait 3 sortes de géométries : euclidienne (à courbure nulle), hyperbolique (à courbure negative) et elliptique (à courbure positive). D'où ma première question.

Ma 2nde question portait sur les objets mathématiques. Peut on dire qu'ils sont (tous ?) tributaires d'un type de géométrie particulier (euclidienne, hyperbolique, ou elliptiqus) ? Dans le cas où les objets mathematiques seraient effectivement reliés à un type de geometrie particulier, connaissez vous un site qui explique les distinctions entre les différentes géométries en prenant appuie sur les différents objets mathématiques ?

J'ai du mal à m'extraire du langage profane à vrai dire... Trouvez vous que le sens de mes questions est un peu plus explicite ou pas ?

Bonne soirée et merci

[Amanuensis]

J'ai lu (sur Internet c'est vrai...) qu'il existait 3 sortes de géométries : euclidienne (à courbure nulle), hyperbolique (à courbure negative) et elliptique (à courbure positive).

C'est extrêmement simplifié. Déjà le terme "une géométrie" a des sens variés. Dans un certain domaine des mathématique, celui des variétés riemanniennes ou plus généralement différentielles (un domaine important d'application en physique) il a un sens précis. Pour les géométries planes (2D, surfaces), il y a effectivement une division en trois cas, exemplifiés par trois variétés riemanniennes, le plan euclidien (courbure de Gauss constante partout nulle), la sphère (courbure de Gauss constante partout positive) et le plan hyperbolique (courbure de Gauss constante partout négative). Mais en 3D il y en a plus (https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A...%C3%A9t%C3%A9s). Au sens utilisé dans ce domaine une géométrie combine la notion de variété avec des propriétés algébriques (symétries, action de groupes).

Ensuite toute variété riemannienne peut être rattachée à une géométrie (et je simplifie...). Pour les surfaces (2D) c'est le théorème d'uniformisation de Poincaré, qui amène aux trois cas cités. Pour la 3D c'est plus compliqué, et a été un des "problèmes du millénaire", le seul résolu d'ailleurs, par Perelman.

Pour avoir une petite idée du domaine, chercher à lire et comprendre d'article Wiki donné en lien ci-dessus ; il donne une petite idée de cette notion de "géométrie", et développe le cas 3D. Vous constaterez que ce n'est pas si simple...

Mais ça, c'est des maths. L'application à la cosmologie n'est pas directe. La cosmologie est en 4D pseudo-riemannienne ! Des variétés 3D riemanniennes "spatiales" y apparaissent, certes, et à leur sujet on va pouvoir parler de géométrie ; mais faut déjà bien comprendre la relation entre le modèle 4D et ces sous-variétés 3D pour suivre ce que cela implique pour la cosmologie.

[Amanuensis]

Ma 2nde question portait sur les objets mathématiques. Peut on dire qu'ils sont (tous ?) tributaires d'un type de géométrie particulier (euclidienne, hyperbolique, ou elliptiqus) ? Dans le cas où les objets mathematiques seraient effectivement reliés à un type de geometrie particulier, connaissez vous un site qui explique les distinctions entre les différentes géométries en prenant appuie sur les différents objets mathématiques ?

Je pense qu'il y a une "inversion conceptuelle". Une "géométrie" est un cadre d'étude, les "objets" qu'on y étudie viennent de la géométrie. C'est comme la différence entre 2D et 3D: les objets qu'on y étudie viennent du cadre d'étude, et pas l'inverse. Un carré est un objet 2D, un cube un objet 3D. On n'a pas "inventé" la géométrie 3D parce qu'on avait besoin d'un cadre pour l'objet "cube", on a d'abord la géométrie 3D (euclidienne en l'espèce), dans le cadre de laquelle on a identifié une classe d'objets qu'on a appelé "cubes" (et bien d'autres comme des cylindres, des tores, différentes sortes de noeuds, et autres sans équivalent direct en 2D).

[minushabens]

J'ai lu (sur Internet c'est vrai...) qu'il existait 3 sortes de géométries : euclidienne (à courbure nulle), hyperbolique (à courbure negative) et elliptique (à courbure positive).

il y a encore d'autre géométries, les géométries finies par exemple, ou bien en caractéristique non nulle.

[Deedee81]

Salut,

Un petit aperçu des différentes géométries, tout bêtement wikipedia :
https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A...A9om%C3%A9trie

[juliem27]

Merci sincèrement à vous tous pour votre éclairage !

Bonne soirée