Sous-groupes de (Z, +)

[invite949a348a]

Bonsoir,

Je suis perturbé par une démonstration de cette proposition "Les sous-groupes de (Z,+) sont les nZ, pour n appartenant à Z".

Je veux démontrer 2 inclusions : que les nZ C les sous-groupes de (Z, +), puis que les sous-groupes de (Z,+) C les nZ.
La première inclusion se fait sans difficulté.

Pour la deuxième, je prends un sous-groupe de (Z,+) et je montre qu'un élément de ce sous-groupe s'écrit sous la forme nk, prouvant ainsi que cet élément appartient aux nZ.

Dans cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=TKfhcZ7l9Qo
A 7 min, toute la démonstration est visible. J'ai l'impression que l'on montre "plus" que ce qu'on cherche pour la deuxième inclusion, en montrant non pas seulement que l'élément du sous-groupe appartient aux nZ, mais en montrant aussi l'inclusion inverse, et donc conclure que H = nZ.
Mes questions sont donc les suivantes :

1)N'est-ce pas suffisant pour conclure de dire que h appartient à nZ ? (même si je vois que pour montrer ce dernier point, il faut avoir montré que kn appartient à H !).
2) Si on a montré toute la partie appelée "réciproque" dans la vidéo, n'a t-on pas tout montré finalement, puisqu'on montre que H = nZ ?! (même si je vois qu'il est plus facile de montrer que nZ est un sous-groupe de (Z,+).

Je ne sais pas si je suis très clair, j'aimerais savoir ce qu'il suffit de démontrer pour conclure, pour être sûr de ne rien louper.
Merci !
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[Merlin95]

Dans ce qui est noté "réciproque" on montre que si x appartient à H (un sous groupe de Z) alors il existe k tel que x= kn donc c'est un élément de nZ (H inclus dans nZ), mais on a pas montré que tous les éléments de nZ font parti de H, pour cela il faut prendre un élément de nZ (kn) et montré qu'il appartient à H (on utilise là la stabilité du sous groupe H pour l'addition).

[Merlin95]

Le "sens facile" est utile pour montrer que pour n'importe quel n nZ est un sous groupe de Z, parceque dans la réciproque on a pris un n, particulier, mais il est vrai qu'on aurait pu faire sans le "sens facile", en montrant que la démonstration est valable pour tout élément de l'ensemble des ensembles dont le plus petit élément positif est k, lorsque k appartient à IN*. On arrive aussi ainsi à la conclusion que les nZ sont des sous groupes de Z. Mais c'est plus simple à formaliser comme ca a été fait dans la démo de la vidéo.

[Merlin95]

Le "sens facile" est utile pour montrer que pour n'importe quel n nZ est un sous groupe de Z, parceque dans la réciproque on a pris un n, particulier, mais il est vrai qu'on aurait pu faire sans le "sens facile", en montrant que la démonstration est valable pour tout élément de l'ensemble des ensembles dont le plus petit élément positif est k, lorsque k appartient à IN*. On arrive aussi ainsi à la conclusion que les nZ sont des sous groupes de Z. Mais c'est plus simple à formaliser comme ca a été fait dans la démo de la vidéo.

J'ai dit une bêtise, dans la "réciproque" on a juste montré que si H est un sous groupe alors c'est nZ, mais on a pas montré que tous les nZ sont des sous groupes de Z.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite949a348a]

Merci Merlin

En fait, tout devient plus clair quand je reformule la proposition ainsi : "Les sous-groupes de (Z, +) sont l'ensemble des nZ, n appartenant à Z."

En effet, dans ce cas, je suis convaincu que quand on considère un sous-groupe H, il faut montrer que H = n'Z, avec un n' particulier, pour montrer qu'un tel sous-groupe est inclus dans l'ensemble des nZ.

Auparavant, je raisonnais sur un ensemble nZ, avec un n particulier.
Je ne sais pas si je me suis fait comprendre ^^

[Merlin95]

Jai compris c'est vrai que les notations peuvent être un peu confusantes.