Application surjective

**mehdi_128** · 03/07/2019, 12h08

Bonjour,

Soit $\text{[math]}$ une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . On pose $\text{[math]}$

Montrer que si $\text{[math]}$ est surjective et $\text{[math]}$ injective alors $\text{[math]}$ est surjective.

Je suis parti de :

L'application $\text{[math]}$ est une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ . Montrons que : $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ est surjective : $\text{[math]}$

Mais je n'arrive pas à faire le lien entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

**gg0** · 03/07/2019, 12h31

Ben ... tu n'as pas vraiment le choix. Tu as comme données un y de F et des propriétés des applications v et w.
Cherche ! Comme tu n'as pas le choix, tu ne peux que tomber sur ma preuve demandée.
Mais il faut agir ! Pas se contenter de demander aux autres.

Bon travail personnel !

**mehdi_128** · 03/07/2019, 13h21

On a : $\text{[math]}$

Il faudrait montrer que tout élément $\text{[math]}$ s'écrit sous la forme $\text{[math]}$ mais je ne vois pas comment le justifier

**Tryss2** · 03/07/2019, 14h25

Prend un y arbitraire appartenant à F, et applique la surjectivité de w à z = v(y),

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**gg0** · 03/07/2019, 14h32

v associe à chaque y un unique (*) z de G, et c'est la seule chose que tu peux faire à partir de y. Donc tu n'as pas le choix de ce qu'il faut faire ...
Encore faudrait-il commencer par y .... ce que tu ne fais pas (tu choisis y puis tu le laisses tomber !!).

(*) vois-tu pourquoi ?

**mehdi_128** · 03/07/2019, 16h54

Merci pour vos réponses qui m'ont permis de trouver la solution.

Comme $\text{[math]}$ on a : $\text{[math]}$

Comme $\text{[math]}$ est injective, on en déduit que : $\text{[math]}$

On a montré que pour tout élément $\text{[math]}$ , il existe un $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est bien surjective.

Merlin95 · 04/07/2019, 00h50

Je ne comprends pas le résultat de cet exo.

En PJ, un exemple avec v injective, je vois pas en quoi si u est surjective alors w est surjective.

Je dois passer à coté de qq chose ou me tromper quelque part.

**ansset** · 04/07/2019, 08h35

Envoyé par Merlin95

Je ne comprends pas le résultat de cet exo.

En PJ, un exemple avec v injective, je vois pas en quoi si u est surjective alors w est surjective.

pas vu ta pièce jointe , mais ce n'est pas ce qui est demandé.
ici on demande ( pour v injective ) w surjective => u surjective ( pas l'inverse )

**ansset** · 04/07/2019, 11h10

d'ailleurs on peut aussi résoudre en démontrant
u non surjective = w non surjective

**gg0** · 04/07/2019, 16h33

je vois pas en quoi si u est surjective alors w est surjective

Pourtant ton dessin montre bien qu'en prenant u surjective, on a rendu w surjective (tous les éléments de G sont atteints par w).
A moins que tu ne comprennes pas vraiment les définitions de injectif et surjectif et leurs signification ?).

Cordialement.

Merlin95 · 04/07/2019, 17h27

je comprends bien les notions de surjectif et injectif je m'y pencherai au calme plus tard, il semble peut-être que je n'ai pas compris ce qui est demandé.

**gg0** · 04/07/2019, 19h08

Si u n'est pas surjective, il y a des éléments de F non atteints, et leur image par v n'est pas non plus atteinte, donc w ne les atteint pas (tu devrais regarder les images par w des éléments de E (j'espère que tu comprends bien ce que veut dire w=vou).

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