Multiplication d’un quotient par un entier naturel
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Multiplication d’un quotient par un entier naturel



  1. #1
    Orange75

    Multiplication d’un quotient par un entier naturel


    ------

    Bonjour,

    Dans le cadre de la construction de la multiplication dans l’ensemble des rationnels, je me posais une question : y a-t-il une preuve/démonstration non-géométrique du fait que, pour tous entiers naturels a,b,c avec b non-nul, c*(a/b) = (ca/b). Je recherche une preuve arithmétique de ce résultat, qui n’utilise pas la définition de la multiplication dans Q (a/b x c/d = ac/bd) car celle-ci en découle. C’est justement pour vérifier que cette définition fonctionne bien lorsque d vaut 1, dans le cas où il s’agit d’une égalité logique que l’on peut vérifier géométriquement : en fait, je souhaite prouver explicitement que multiplier le quotient (a/b) de deux entiers (naturels) (ici a et b, b≠0) par un troisième entier (naturel) (c) revient à multiplier le numérateur a par c puis à diviser le tout (ac) par b. On voit très bien cette égalité géométriquement en imaginant un rectangle de dimension 1xa que l'on divise en b parties puis qu'on multiplie le tout par c que l'on compare (et qui se superpose) à un rectangle de dimension cxa que l'on divise en b parties. Mais je voulais savoir si ce résultat géométrique s'expliquait "algébriquement" sans passer par la définition de la multiplication dans , qui découle en partie de ce même résultat, mais en passant par la simple définition de la division d'entiers.

    Je vous remercie d’avance pour votre aide !

    Bonne journée.

    Orange75

    -----

  2. #2
    Tryss2

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Déjà, il faut savoir comment tu as choisi de définirles rationnels. Parce que selon la définition choisie, les démonstrations seront différentes.

  3. #3
    minushabens

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Citation Envoyé par Orange75 Voir le message
    Je recherche une preuve arithmétique de ce résultat, qui n’utilise pas la définition de la multiplication dans Q (a/b x c/d = ac/bd) car celle-ci en découle.
    c'est un peu paradoxal de chercher une preuve d'une propriété de la multiplication dans Q sans en utiliser la définition. Car le produit c*(a/b) est bien dans Q.

  4. #4
    Orange75

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Ma définition primitive des rationnels Q est un ensemble dont tous les éléments s'obtiennent par un quotient/division de deux entiers naturels (ie tout élément de mon ensemble Q s'écrit sous la forme a/b). J'y ai défini une multiplication restrictive * comme une application (N,(N,N*)) —> Q, où pour tout c dans N, pour tout (a,b) dans (N,N*), on associe le rationnel c*(a/b). Bon but est alors de vérifier que c*(a/b)=1*((c*a)/b), soit que pour tout quotient positif, multiplier ce quotient revient à multiplier le dénominateur.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Tryss2

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Ma définition primitive des rationnels Q est un ensemble dont tous les éléments s'obtiennent par un quotient/division de deux entiers naturels (ie tout élément de mon ensemble Q s'écrit sous la forme a/b).
    C'est pas vraiment une définition satisfaisante ça. Parce qu'à priori, la division de deux entiers n'est pas toujours définie. C'est quoi "1 divisé par 3" si tu as juste défini les entiers?

  7. #6
    Orange75

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Je sais que ça paraît bizarre de parler de rationnels sans vraiment les avoir définis complètement, mais pour moi il faut imaginer l'unité comme un carré (de taille 1x1 donc) que l'on peut diviser en autant de parties que l'on souhaite et par extension, chaque entier a est un rectangle composé de a carrés, que l'on peut encore diviser. Donc 1/3 est pour moi la portion d'un carré coupée en trois.

  8. #7
    Orange75

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Par exemple, 3/2 = 1,5 et 4*(3/2) = 4*1,5 = 6 et d'autre part, (4*3)/2 = 12/2 = 6. Je suppose qu'il existe bien une preuve arithmétique qui assure que ce résultat fonctionne avec n'importe quels entiers, non ?

  9. #8
    Tryss2

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Il va falloir donner quelque part une représentation algébrique de tes rationnels si tu veux faire des démonstrations algébriques et non géométriques...

  10. #9
    Orange75

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Si je comprends bien, la façon dont on construit les rationnels et dont on définit la multiplication est faite pour coller avec une représentation axiomatique que l'on se faisait "primitivement" des rationnels ?

  11. #10
    Tryss2

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Maintenant, si tu veux une démonstration géométrique :

    Tu prends un rectangle de longueur ac, tu le divise en bc morceaux. Maintenant, tu regroupes les morceaux de deux façons différentes :

    Façon 1 : fait des paquets de c morceaux, tu as b paquets. La longueur d'un paquet est donc (ac/b), il y a donc b morceaux de longueur (ac/b)

    Façon 2 : fait des paquets de b morceaux, tu as c paquets de longueur a. Maintenant, pour chacun de ces paquets de longueur a, tu as b morceaux, donc chaque petit morceau a une longueur de a/b, et il en a bc.

    Ainsi

    ac = b*(ac/b) et ac = bc*(a/b), donc b*(ac/b) = bc*(a/b)

    Et donc, en prenant dans les deux cas un paquet tout les b paquets, 1*(ac/b) = c*(a/b)


    Citation Envoyé par Orange75 Voir le message
    Si je comprends bien, la façon dont on construit les rationnels et dont on définit la multiplication est faite pour coller avec une représentation axiomatique que l'on se faisait "primitivement" des rationnels ?
    Oui, ou plutôt, on va poser comme axiomes des propriétés qui font que l'objet que l'on a défini correspond (du mieux possible) à notre intuition naïve. Après, il y a plusieurs méthodes, mais le truc à comprendre, c'est qu'il y a un concept "naif" et que l'on va chercher à définir un objet abstrait rigoureux qui lui ressemble (du mieux possible)
    Dernière modification par Tryss2 ; 11/07/2019 à 13h33.

  12. #11
    Orange75

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    D'accord, je vois bien ! Merci beaucoup !

  13. #12
    Tryss2

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Après, il existe une autre approche, un peu inverse et plus abstraite et générale :

    On suppose connu les entiers naturels muni de l'addition et la multiplication usuelle , et on défini comme "le plus petit" corps qui contient (au sens suivant) :
    1)
    2)
    3)

    En gros, il s'agit de "compléter" les entiers de façon minimale pour avoir la soustraction et la division

    Et avec cette approche, la première chose à faire, c'est de montrer que c'est bien défini :
    - il existe au moins un corps qui contient N, donc on peut "compléter" les entiers
    - le résultat est unique, c'est à dire que si on a deux corps K et K' qui contiennent N, alors les sous-corps Q et Q' engendrés par N sont isomorphes

  14. #13
    Médiat

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    Bonjour Tryss2

    On peut dire à peu près la même chose sans introduire IN simplement en précisant "corps de caractéristique 0".
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #14
    minushabens

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    mais comme un corps de caractéristique zéro c'est un corps k avec une injection Z->k on échappe peut-être à N mais pas à Z donc...

  16. #15
    Tryss2

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    On peut définir la caractéristique nulle sans faire référence à N ou Z :

    Soit définie par



    Alors K est de caractéristique nulle si


  17. #16
    Médiat

    Re : Multiplication d’un quotient par un entier naturel

    La définition donnée par Tryss2 est parfaite mais elle fait appel à la logique du second ordre (quantification sur des ensembles), je préfère (question de gout) une définition du premier ordre (même si elle n'est fas finiment axiomatisable)

    Soit la formule

    Un corps est de caractéristique 0 s'il vérifie toutes les

    A noter que j'utilise un entier pour communiquer avec d'autres humains, mais que la formule n'utilise pas d'entier
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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