Bonjour,
Dans le cadre de la construction de la multiplication dans l’ensemble des rationnels, je me posais une question : y a-t-il une preuve/démonstration non-géométrique du fait que, pour tous entiers naturels a,b,c avec b non-nul, c*(a/b) = (ca/b). Je recherche une preuve arithmétique de ce résultat, qui n’utilise pas la définition de la multiplication dans Q (a/b x c/d = ac/bd) car celle-ci en découle. C’est justement pour vérifier que cette définition fonctionne bien lorsque d vaut 1, dans le cas où il s’agit d’une égalité logique que l’on peut vérifier géométriquement : en fait, je souhaite prouver explicitement que multiplier le quotient (a/b) de deux entiers (naturels) (ici a et b, b≠0) par un troisième entier (naturel) (c) revient à multiplier le numérateur a par c puis à diviser le tout (ac) par b. On voit très bien cette égalité géométriquement en imaginant un rectangle de dimension 1xa que l'on divise en b parties puis qu'on multiplie le tout par c que l'on compare (et qui se superpose) à un rectangle de dimension cxa que l'on divise en b parties. Mais je voulais savoir si ce résultat géométrique s'expliquait "algébriquement" sans passer par la définition de la multiplication dans , qui découle en partie de ce même résultat, mais en passant par la simple définition de la division d'entiers.
Je vous remercie d’avance pour votre aide !
Bonne journée.
Orange75
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