groupes par générateurs et relations

[jossrandal2002]

Bonjour,

Si on se donne un ensemble fini de générateurs et un ensemble fini de relations entre ces générateurs, existe-t-il au moins un groupe correspondant ?

Merci d'avance pour toute réponse ou toute référence sur ce sujet.

Joss
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[minushabens]

oui, et il est unique : on le construit explicitement comme quotient du groupe libre à n générateurs.

[syborgg]

Plus precisement (si ca peut etre utile a jossrandal2002), on prend le sous groupe normal engendre par les relations dans le groupe libre, et on passe au quotient par ce sous groupe. Parfois on peut avoir des surpises selon l'ensemble de relations qu'on se donne : par exemple, le sous groupe normal engendre par celles ci peut etre le groupe libre en entier, et donc le quotient est... 0 ! ce qui n'etait pas evident a la simple vue des relations.

[gg0]

Bonjour.

Jossrandal2002 a eu des réponses détaillées sur un autre forum. Il est dommage qu'il ne l'ait pas dit ici.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

Inversement, trouver un ensemble de relations sur un groupe donne G qui en fait une presentation par generateurs et relations n'est pas si facile que ce que pensent beaucoup d'etudiants : trouver des relations entre les generateurs c'est facile, mais prouver que c'est un ensemble complet de relations (i.e. que le sous groupe normal engemdre par ces relations est exactement le noyau du morphisme du groupe libre dans G) est une autre paire de manches... on y arrive dans beaucoup de cas concrets, mais la preuve n'est pas triviale. Tout ca pour dire que le sujet des groupes presentes par generateurs/relation est plus delicat que ce que qu'on peut penser a priori.

[jossrandal2002]

Bonjour,

Effectivement, la discussion est active sur http://www.les-mathematiques.net/pho...08#msg-1842308
Désolé de ne pas vous en avoir fait part.

Cordialement.

[syborgg]

Tiens, tout ca m'a emmener a me poser cette question : un exemple d'un groupe finiment engendre, mais tel qu'aucun ensemble fini de generateurs ne donne lieu a une presentation finie ?.. si il existe un tel groupe, il doit etre necessairement non abelien pour des raisons evidentes. J'ai reflechit et je ne vois pas... quelqu'un a t il un exemple en tete, ou au moins un candidat possible ?

[syborgg]

Un tel groupe existe bien entendu, puisqu'il suffit de prendre un sous groupe non finiment engendre d'un groupe libre finiment engendre (on sait que ca existe et on a des exemples), et de quotienter le groupe libre par la fermeture normale de ce sous groupe. Mais ma question est plutot d'exhiber un exemple dans les groupes "standards" (groupes fondamentaux de surfaces, groupes d'automorphismes. etc...).

[syborgg]

Quoi que.... il n'est pas si evident que le quotient du groupe libre ci dessus ne reponde a la question : cette presentation du quotient n'est pas finie par construction, mais est il vrai qu'aucun ensemble fini de generateurs du quotient ne donne lieu a une presentation finie ?..

[Seirios]

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question... Veux-tu dire que tu cherches un groupe muni d'une partie génératrice de sorte que, quelque soit propre, le sous-groupe n'admette pas de présentation finie ? Dans le cas ne contient aucun élément, au même un seul, on a rapidement une présentation finie...

[syborgg]

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question... Veux-tu dire que tu cherches un groupe muni d'une partie génératrice de sorte que, quelque soit propre, le sous-groupe n'admette pas de présentation finie ? Dans le cas ne contient aucun élément, au même un seul, on a rapidement une présentation finie...

Non : je cherche un groupe finiment engendre mais non finiment presentable.

[Seirios]

Un de mes exemples favoris est le groupe d'allumeur de réverbères : ( est le symbole du produit semi-direct, le vrai symbole n'étant pas disponible avec le LaTeX du forum) où agit sur la somme directe par décalage des coordonnées. On peut remarquer que est engendré par le générateur du indexé par et le générateur du . On trouve alors la présentation . Pour montrer que n'admet pas de présentation finie, il suffit de montrer que, quelque soit fini, le groupe n'est pas isomorphe à . Pour ce faire, on remarque que est résoluble mais que contient un sous-groupe libre non abélien (si tu connais, une manière de le justifier est de décomposer comme une extension HNN).

[syborgg]

Un de mes exemples favoris est le groupe d'allumeur de réverbères : ( est le symbole du produit semi-direct, le vrai symbole n'étant pas disponible avec le LaTeX du forum) où agit sur la somme directe par décalage des coordonnées. On peut remarquer que est engendré par le générateur du indexé par et le générateur du . On trouve alors la présentation . Pour montrer que n'admet pas de présentation finie, il suffit de montrer que, quelque soit fini, le groupe n'est pas isomorphe à . Pour ce faire, on remarque que est résoluble mais que contient un sous-groupe libre non abélien (si tu connais, une manière de le justifier est de décomposer comme une extension HNN).

Ok mais cela suffit il de montrer comme tu le suggeres qu'aucune partie finie des relations de depart ne definit un groupe isomorphe a L_2 ?
Ne peut il pas y avoir un autre ensemble de generateurs finis de L_2 qui ait une presentation finie ?

[Seirios]

Imaginons que . En prenant suffisamment grand, les relations (réécrites en ) seront une conséquence des relations et avec . Maintenant, si , la relation (réécrite en les ) est une conséquence des , et donc (écrite en les ) des relations et avec . Donc en fait tu n'avais besoin que d'un nombre fini de relations dans ta présentation.

C'est bien sûr complètement général. Si tu as une présentation infinie, alors ton groupe admet une présentation finie ssi tu peux tronquer la présentation infinie pour obtenir une présentation finie du groupe.

[Médiat]

Salut,

Si tu as une présentation infinie, alors ton groupe admet une présentation finie ssi tu peux tronquer la présentation infinie pour obtenir une présentation finie du groupe.

Cela me fait penser à un théorème que j'aime bien : une théorie est finiment axiomatisable ssi de toute axiomatisation infinie on peut extraire une axiomatisation finie.

[syborgg]

Imaginons que . En prenant suffisamment grand, les relations (réécrites en ) seront une conséquence des relations et avec . Maintenant, si , la relation (réécrite en les ) est une conséquence des , et donc (écrite en les ) des relations et avec . Donc en fait tu n'avais besoin que d'un nombre fini de relations dans ta présentation.

C'est bien sûr complètement général. Si tu as une présentation infinie, alors ton groupe admet une présentation finie ssi tu peux tronquer la présentation infinie pour obtenir une présentation finie du groupe.

Ok merci pour ces precisions ! la theorie combinatoire des groupes reserve toujours des surprises, au moins pour ceux qui n'en sont pas specialistes... Au debut quand on commence a apprendre on a tendance a penser que c'est simple, puis on dechamte vite en s'appercevant que c'est en fait extremement complexe. On se mefie alors des enonces vite dits et on cheche toujours a verifier la moindre chose. Mais parfois, un enonce dont on se mefie se revele etonnamment facile a prouver, comme c'est le cas ici... J'ai toujours l'impression dans ce domaine de faire du yoyo entre des enonces qui semblent facile a prouver et qui ne le sont pas, et des enonces qui semblent difficiles a prouver et qui ont une preuve elementaire et directe.

J'en profite, puisque tu sembles bien connaitre le sujet : la majeure partie de la theorie combinatoire traite des groupes de presentation finie n'est ce pas ? sur cette classe de groupes on a un corpus de connaissance important. Mais qu'en est il de la classe des groupes finiments engendres mais non finiment presentables ? est ce un sujet de recherche actif ? sait on beaucoup de choses sur ces groupes ?

[syborgg]

Salut,
Cela me fait penser à un théorème que j'aime bien : une théorie est finiment axiomatisable ssi de toute axiomatisation infinie on peut extraire une axiomatisation finie.

Oui en effet le parallele est troublant. Je n'avais jamais vu ce resultat, il sort d'ou ?

[Médiat]

Bonjour,

C'est un exercice de base sur les théories finiment axiomatisable (et tout le temps utilisé pour montrer qu'une théorie n'est pas finiment axiomatisable.)

Il serait intéressant de voir les deux démonstrations, j'ai la vague impression que ce n'est pas un hasard (le tout lié au théorème de compacité) ?

[Seirios]

On peut trouver une preuve de cette observation sur les présentations de groupes via le théorème de compacité sur ce blog.

J'en profite, puisque tu sembles bien connaitre le sujet : la majeure partie de la theorie combinatoire traite des groupes de presentation finie n'est ce pas ? sur cette classe de groupes on a un corpus de connaissance important. Mais qu'en est il de la classe des groupes finiments engendres mais non finiment presentables ? est ce un sujet de recherche actif ? sait on beaucoup de choses sur ces groupes ?

La théorie combinatoire des groupes, du moins comme on l'entendait jusque dans les années 80, se concentre sur les groupes de présentation finie plus ou moins par définition, même si certains groupes de présentation infinie peuvent également être étudiés de la même manière ou même apparaissent naturellement parfois. Mais c'est un domaine qui s'est fait supplanté par la théorie géométrique des groupes dans les 80-90, qui étudie les groupes de type fini pas forcément de présentation finie (même si beaucoup le sont).

[Médiat]

On peut trouver une preuve de cette observation sur les présentations de groupes via le théorème de compacité sur ce blog.

Je me disais bien

[minushabens]

La théorie combinatoire des groupes, du moins comme on l'entendait jusque dans les années 80, se concentre sur les groupes de présentation finie plus ou moins par définition, même si certains groupes de présentation infinie peuvent également être étudiés de la même manière ou même apparaissent naturellement parfois. Mais c'est un domaine qui s'est fait supplanté par la théorie géométrique des groupes dans les 80-90, qui étudie les groupes de type fini pas forcément de présentation finie (même si beaucoup le sont).

intéressant commentaire! pour ma part j'en suis resté au point de vue ancien (j'avais lu les premiers chapitre du bouquin de Magnus... probablement obsolète aujourd'hui). D'ailleurs dans cette approche les manipulations qu'on fait ressemblent beaucoup à celles de la théorie de la démonstration en logique: dans les deux cas il s'agit de suites de chaînes finies de symboles, avec un petit nombre de règles permettant de passer d'une chaîne à la suivante

[syborgg]

intéressant commentaire! pour ma part j'en suis resté au point de vue ancien (j'avais lu les premiers chapitre du bouquin de Magnus... probablement obsolète aujourd'hui). D'ailleurs dans cette approche les manipulations qu'on fait ressemblent beaucoup à celles de la théorie de la démonstration en logique: dans les deux cas il s'agit de suites de chaînes finies de symboles, avec un petit nombre de règles permettant de passer d'une chaîne à la suivante

Il y a un lien encore plus fort avec la logique : les fonctions recursives. Beaucoup de resultats de theorie combinatoire des groupes s'expriment en terme de recursivite (moralement, existe t il ou non un algorithme permettant de faire ceci ou cela).

[Seirios]

D'ailleurs, le théorème de Higman affirme qu'un groupe de type fini se plonge dans un groupe de présentation finie si, et seulement si, il admet une présentation récursive.

pour ma part j'en suis resté au point de vue ancien (j'avais lu les premiers chapitre du bouquin de Magnus... probablement obsolète aujourd'hui).

La "vieille" théorie combinatoire des groupes peut être assez difficile à digérer. Certains résultats se démontrent en empilant les sommes amalgamées et les extensions HNN avec pléthore de lemmes combinatoires sur les formes normales, et il difficile de ne pas s'y noyer (et encore plus de vraiment comprendre ce qui se passe réellement). L'approche plus géométrique (et plus moderne) permet souvent d'alléger les preuves et de les rendre plus visuelles. Au final, je pense qu'on comprend mieux pourquoi l'énoncé démontré est effectivement vrai.

Je pense qu'une bonne passerelle entre théories combinatoire et géométrique des groupes est la théorie de Bass-Serre, qui donne une approche plus géométrique aux sommes amalgamées et extensions HNN. Cela permet de remplacer certains raisonnements sur les formes normales par des arguments d'actions de groupes sur des arbres.

[syborgg]

D'ailleurs, le théorème de Higman affirme qu'un groupe de type fini se plonge dans un groupe de présentation finie si, et seulement si, il admet une présentation récursive.

La "vieille" théorie combinatoire des groupes peut être assez difficile à digérer. Certains résultats se démontrent en empilant les sommes amalgamées et les extensions HNN avec pléthore de lemmes combinatoires sur les formes normales, et il difficile de ne pas s'y noyer (et encore plus de vraiment comprendre ce qui se passe réellement). L'approche plus géométrique (et plus moderne) permet souvent d'alléger les preuves et de les rendre plus visuelles. Au final, je pense qu'on comprend mieux pourquoi l'énoncé démontré est effectivement vrai.

Je pense qu'une bonne passerelle entre théories combinatoire et géométrique des groupes est la théorie de Bass-Serre, qui donne une approche plus géométrique aux sommes amalgamées et extensions HNN. Cela permet de remplacer certains raisonnements sur les formes normales par des arguments d'actions de groupes sur des arbres.

Aurais tu des bonnes references pour s'initier a la theorie geometrique et a Bass-Serre ?

[Seirios]

Il y a assez peu d'ouvrages introductifs à la théorie géométrique des groupes, mais tu peux jeter un coup d’œil à Office Hours with a Geometric Group Theorist ou Geometric Group Theory: An Introduction. En (beaucoup) plus ardu, il y a Geometric Group Theory.

Pour ce qui est de la théorie de Bass-Serre, on donne généralement deux références. La première est le livre de Serre Arbres, amalgames, SL2 (dont on trouve plus facilement la traduction anglaise Trees). L'approche est combinatoire, mais ne demande essentiellement aucun prérequis. Et la seconde est l'article Topological methods in group theory de Scott et Wall, qui propose une approche plus visuelle (géométrique dirons-nous), mais qui demande aussi des connaissances en topologie algébrique.

[syborgg]

Il y a assez peu d'ouvrages introductifs à la théorie géométrique des groupes, mais tu peux jeter un coup d’œil à Office Hours with a Geometric Group Theorist ou Geometric Group Theory: An Introduction. En (beaucoup) plus ardu, il y a Geometric Group Theory.

Pour ce qui est de la théorie de Bass-Serre, on donne généralement deux références. La première est le livre de Serre Arbres, amalgames, SL2 (dont on trouve plus facilement la traduction anglaise Trees). L'approche est combinatoire, mais ne demande essentiellement aucun prérequis. Et la seconde est l'article Topological methods in group theory de Scott et Wall, qui propose une approche plus visuelle (géométrique dirons-nous), mais qui demande aussi des connaissances en topologie algébrique.

Ok merci !

[azizovsky]

Cette discussion me fait penser à : https://youtu.be/Wmhwaso_b3M?t=3234