matrice et application linéaire

[invitea4821b97]

Bonjour!Je voudrais qu'on m'aide sur un exercice que j'arrive vraiment pas à résoudre s'il vous plait
Voici l'énoncé:
Soit M2(R) l'espace vectoriel sur R des matrices carrées d'ordre 2.On considère les matrices
I= 1 0 ; J= 0 1 ; K= 1 0 ; L= 0 1
0 1 1 0 0 -1 -1 0
Soit
f: M2(R) dans M2(R)
M dans f(M)
1)Montrer que f est une application linéaire et bijective
2)Déterminer f-1 l'application réciproque

La notation est un petit peu bizarre mais j'espère que vous arriveriez à comprendre.Merci d'avance
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[invite9dc7b526]

bonjour, il doit manquer quelque-chose parce qu'un énoncé qui dit "soit f, montrer que f est linéaire" est voué à ne pas trouver de réponse.

[invitea4821b97]

D'accord je vais voir dans le sujet

[invitea4821b97]

sur l'application f : M2(R) dans M2(R)
M dans f(M) = JMJ
c'est écrit comme ça mais moi même je comprends pas

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

L'image de M est JMJ, produit de trois matrices. Et comme l'application est noté f, on a f(M)=JMJ pour toute matrice M de M2(R).
par définition du produit, f(M) est bien dans M2(R)
Il ne te reste plus qu'à vérifier les (ou la) propriétés qui disent qu'une application est linéaire.

Bon travail !

[invitea4821b97]

d'accord et comment on fait pour montrer que l'application est bijective

[invite9dc7b526]

on montre qu'elle est injective et surjective Si tu sais déjà qu'elle est linéaire tu peux montrer que son noyau est {0} et que les images d'un certain nombre de matrice engendrent M2.

[gg0]

Et même, il suffit de montrer que son noyau est {0} (attention le 0 de l'espace vectoriel des matrices 2x2) puisque c'est un endomorphisme.

Une fois décodé l'énoncé, on applique les méthodes habituelles à la situation

Cordialement.

[invitea4821b97]

Merci beaucoup,la suite c'est a moi de le faire