Probabilité (variance)

[invite63bca84f]

Bonjour
J'ai du mal a comprendre une partie d'une correction du professeur, stp qqn peut-il m'expliquer? Merci


Pour recueillir des fonds, des volontaires se pre ́sentent a` n = 1000 maisons. La probabilite ́ d’une re ́ponse positive (c’est-a`-dire non nulle) est de 15%. Le montant d’une contribution est de 3,5 euro en moyenne, l’e ́cart-type e ́tant de 1,3 euro. Les contributions sont mutuellement inde ́pendantes.

=> Calculer la variance du montant recueilli.

CORRECTION DU PROF

var(X) = var(E(X|N)) + E(var(X|N)) = var(N · E(X1)) + E(N · var(X1))
= [E(X1)]² var(N) + var(X1)E(N)
= 3,5² euro² ·1000·0,15·(1−0,15)+1,3² euro² ·1000·0,15
=1815, 4 euro²


MON RAISONNEMENT

Moi j'ai utilisé comme formule : V(x) = E (x²) - (E(x))² (sachant que E(x) = 0,15*3,5*1000 = 525)
ma répons finale est de 1,8375-0,2756=1,5619 =>>>> 1,5619 *1000= 1561,9 euro^2
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[gg0]

Bonjour.

A vue de nez, ton prof utilise une règle du cours. Peux-tu la retrouver ?

Pour ton calcul, je ne vois pas d'où tu sors le 1,8375 pour E(x²).

Cordialement.

[invite63bca84f]

Bonjour, merci beaucoup pour l'aide
Je ne vois pas pour le règle du prof
donc je voudrais bien le résoudre avec ma formule qui vient aussi du cours
Pour E(x²) j'ai fais: ( 0,15 * 3,5²) + ( 0,85 * 0²) = 1,8375

[gg0]

La règle à laquelle je pense s'appelle généralement "formule d'analyse de la variance", mais peut être donnée dans un chapitre sur la variance (ou l'espérance) conditionnelle. Elle est directement exprimée ici avec les notations de l'exercice : "var(X) = var(E(X|N)) + E(var(X|N))". N est la variable aléatoire "nombre de contributeurs"

Quant à ton calcul, c'est celui de la variance d'une variable qui ne prend que deux valeurs : 3,5 et 0 avec les probabilités 0,15 et 0,85. Or les 15% qui contribuent ne donnent pas tous 3,5, mais seulement en moyenne 3,5.

Comme je n'ai pas ton cours, je ne peux pas aller dans le détail.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63bca84f]

Bonjour,

oui la formule est dans le livre, mais très mal expliqué et je n'arrive pas a comprendre comment le prof a remplacé les données :'(
je suis vraiment perdu pour cela, et meme avec mon propre raisonnement, j'arrive pas à le corriger...

Es ce que tu pourrais peut-être m'aider un peu plus? Vraiment merci beaucoup


Cordialement

[gg0]

OK.

Donc il faut expliquer "var(E(X|N)) + E(var(X|N)) = var(N · E(X1)) + E(N · var(X1))"
Comme je n'étais pas en cours, je n'ai pas entendu les explications orales du prof; je vais imaginer ce qu'il avait en tête, et préciser les notations.

La variable aléatoire N est le nombre de contributeurs, X la contribution totale. on note X1 la variable aléatoire montant de la contribution d'une personne.
E(X|N) est l'espérance de X connaissant N (N est une variable aléatoire) qu'on calcule en multipliant pas N (puisqu'il est connu), nombre de personnes par l'espérance de la contribution de chaque personne : E(X|N) = NxE(X1)
var(X|N) est la variance de X connaissant N. Les contributions étant indépendantes, la variance étant dans ce cas additive, la variance de la somme des contributions des N personnes est égale à la somme des N variances, toutes égales à Var(X1), donc var(X|N) = N.var(X1)
La suite du calcul est l'application de règles classiques sur la variance et la moyenne :
Var(aX)=a²Var(X); E(X a)=aE(X) (Var(X1) est une constante).

Cordialement.

NB : Noter un calcul ne sert à rien si on n'a pas sérieusement écouté les explications du prof.

[invite63bca84f]

Bonjour,

merci beaucoup pour l'explication, difficile d'avoir des explications d'un professeur quand j'ai reçu cette exercise d'un ancien élève. Aussi malheureusement, j'ai eu des conflits horaire a cause d'un double bachelier, ce qui rend l'etude de ce cours difficile avec un syllabus sans explications clair.

Du coup j'ai essayé de suivre votre raisonnement, mais j'obtiens; N² * Var (E(X1)) + N * E ( Var(X))
ce qui n'est pas tout a fait ce que je dois avoir...
Vous ai-je mal compris?
Et encore merci, cette exercise revient souvent meme dans les questions d'examens, ce serait top de le comprendre


Cordialement

[invite63bca84f]

Correction

J'ai compris pour [E(X1)]2 var(N) + var(X1)E(N), mais après j'ai du mal à remplacer les données, je n'obtiens pas du tout la même chose


Cordialement

[invite63bca84f]

désolé pour le triple post... j'arrivais plus à modifier mon message. Pour clarifier: le raisonnement de var(N) me pose problème.
Pourquoi es-ce 1000·0,15·(1−0,15) ?


Cordialement

[invite23cdddab]

N suit une loi binomiale B(n,p) : pourquoi? Et quelle est la variance d'une telle variable aléatoire?

PS : ce forum a l'idée saugrenue de limiter à 5 minutes les éditions de post, ce qui est effectivement assez pénible...

[invite63bca84f]

Bonjour
Ohhh mais oui maintenant je vois, elle suit une binomiale, vu qu'on a pas tout personnes qui réponds positivement à la contribution (et on a une indépendance). La variance dans ce cas est donnée par np(1-p)
Et j'obtiens bien la même réponse!

Merci vraiment, je vais pouvoir l'appliquer à d'autres exercise aussi

Ps: oui les 5 mins sont vraiment pénible hahaha, je ne savais même plus effacer mon message :')

Bonne journée!

[invite9dc7b526]

La formule pour la variance (et celles pour les autres moments) se démontre proprement à l'aide de la fonction génératrice des probabilités ou des moments selon que la variable X est discrète ou continue.