Application aux suites récurrentes

[mehdi_128]

Bonjour,

J'ai démontré le Corollaire 9 suivant, mais je n'arrive pas à démontrer le Corollaire 10. Je n'ai pas compris l'indication de mon livre. Il faut passer à la limite dans les inégalités, mais quelles inégalités ?

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[minushabens]

Tu as une suite d'éléments d'une partie fermée I de R qui converge, sa limite est nécessairement dans I. C'est une propriété élémentaire des fermés d'un espace topologique.

[mehdi_128]

Bonsoir,

Il faut démonter le résultat sans utiliser aucune notion de topologie. Je suis dans un livre de MPSI et la topologie n'est pas au programme de MPSI. La notion de "fermé" n'a pas encore été abordée dans mon livre. On dit juste qu'un fermé est un intervalle de la forme ou ou ou

Il est précisé d'utiliser un passage à la limite dans les inégalités, je ne vois pas de quelles inégalités l'auteur parle

[minushabens]

Je pense que l'idée est de montrer que si tous les éléments de la suite sont inférieurs ou égaux à b, alors la limite l'est aussi. Tu peux raisonner par l'absurde: tu supposes la limite est strictement supérieure à b et tu montres que l'un au moins des éléments de la suite doit l'être.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

Ok merci. C'est direct en fait, j'ai déjà vu le théorème d'encadrement sur les suites

Soit
On a :

Par passage à la limite :

Mais pour un intervalle du type
On a :

Par passage à la limite : donc

[minushabens]

Par passage à la limite

ça me paraît un peu succint comme argument.

[mehdi_128]

ça me paraît un peu succint comme argument.

Je viens d'étudier un chapitre sur les suites où tout à déjà été démontré. Là je suis dans le début du chapitre sur la continuité. Plusieurs démonstrations utilisent des résultats déjà démontrés sur les suites. Y a t-il un intérêt de redémontrer le passage à la limite dans une inégalité pour des suites ?

[minushabens]

ok, si tu maîtrises, tout va bien, mais fais attention au fait que des arguments vagues comme "par passage à la limite" ou "par continuité" peuvent conduire à des erreurs.

[mehdi_128]

Soit

Il suffit de démontrer que si une suite positive à partir d'un certain rang converge alors

Supposons que converge. Notons sa limite . Comme est positive à partir d'un certain rang, on a à partir d'un certain rang. Comme converge vers , par unicité de la limite soit

Supposons que :

Comme et que converge on obtient donc