fonctions orthogonales a une gaussienne

[invite69d38f86]

bonjour

j'ai une gaussienne centrée en zero sur R d equation y = exp (- xx /2)
et j'aimerai savoir quelles sont les fonctions réelles qui lui sont orthogonale le produit etant défini par
(f,y) = intégrale f(x) exp (-xx/2) dx

merci
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[invite9dc7b526]

il y a déjà toutes les fonctions impaires, par exemple f(x)=x.

[invite69d38f86]

je n'y avais meme pas pensé!
disons donc les fonctions paires.
et de carré sommable si possible

[invite69d38f86]

c'est le coté solution d'équation intégrodifférentiel qui m'intéresse

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

La définition du produit scalaire est à réécrire, y n'intervient pas. D'ailleurs la notation est assez peu cohérente (Qui est y ?)

Donc déjà, dans quel espace de fonctions cela se passe-t-il ? Car je doute que f(x)=x ait un carré scalaire.
Ensuite quel est le produit scalaire concerné ?

Sans ces deux renseignements, la question n'a pas de sens.

[invite9dc7b526]

disons donc les fonctions paires.

une fonction paire (sauf 0) ne peut pas annuler l'intégrale que tu as donnée. Mais beaucoup de fonctions ne sont ni paires ni impaires.

faudrait peut-être commencer par les bases avant de s'attaquer à des problèmes difficiles de mécanique quantique...

[invite69d38f86]

les fonctions f réelles qui m'intéressnt sont infiniment dérivables de carré intégrables et telles que
ait en sens et vaut zéro

[invite69d38f86]

une fonction paire (sauf 0) ne peut pas annuler l'intégrale que tu as donnée. ..

tu confirmes et tu signes?

[0577]

Bonjour,

Soit
Alors f est paire, de carré sommable, et


Une base hilbertienne de l'orthogonal dans L^2 de la gaussienne est donnée par les états excités de l'oscillateur harmonique quantique, puisque la gaussienne est l'état fondamental. Concrètement, il suffit d'appliquer successivement (-d/dx+x), i.e. l'opérateur de création, à la gaussienne. On obtient les produits de la gaussienne par les polynômes de Hermite (à une normalisation près). Les états excités d'ordre impair sont impairs et les états excités d'ordre pair sont pairs. La fonction f ci-dessus est le deuxième état excité.

[invite69d38f86]

Super cette réponse.

[invite9dc7b526]

tu confirmes et tu signes?

persister serait diabolique... à moi de revoir les bases

[invite69d38f86]

les fonctions indiquées par 0577 sont celles qui m'intéressent a propos de mon probleme physique. cependant il doit y en avoir
beaucoup d'autres.
dans mon probleme on note <f,v> le résultat de l'action de la forme f sir me vecteir v c'est un nombre. et ici le vecteur considéré
est la fameuse gaussienne.
on note ensuite v><f l'opérateur de projection des vecteurs de l'espace considéré le long du noyau de f.
ainsi v><v représente la projection sur la gaussienne le long de l'ensemblel des vecteurs W tels que <v,w> = 0 d'ou ma question sur l'ensemble des vecteurs orthogonaux a ma gaussienne.

[0577]

Bonjour,

les fonctions indiquées par 0577 sont celles qui m'intéressent a propos de mon probleme physique. cependant il doit y en avoir
beaucoup d'autres.

J'ai écrit que les états excités de l'oscillateur harmonique forment une base hilbertienne de l'orthogonal de la gaussienne, autrement dit toute fonction L2 orthogonale à la gaussienne est une combinaison linéaire hilbertienne (donc pouvant être infinie) de ces états excités.

L'orthogonal d'un vecteur est un hyperplan, et il y a en général beaucoup de points dans un hyperplan, en particulier en dimension infinie... Les états excités de l'oscillateur harmonique forment (après normalisation) une base orthonormée de cette hyperplan. Il y a bien sûr d'autres choix de bases possibles.

[invite69d38f86]

bonjour 0577

j'aimerais comprendre pourquoi les laissent invariant les hyperplans orthogonaux a la gaussienne du vide.

[invite69d38f86]

si je développe en série le premier terme c'est 0>
le deuxieme c'est
si je fais le produit scalaire avec 0> ca donne
qui est nul car a annihile le vide. est ce correct?
idem pour les termes successifs.

[azizovsky]

C'est l'opérateur déplacement: https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89tat_coh%C3%A9rent

[invite69d38f86]

c'est nbien vu!

[invite69d38f86]

j'aimerais comprendre pourquoi les laissent invariant les hyperplans orthogonaux a la gaussienne du vide.

la je me trompais. je pensais que pour 0> de norme 1 et pour tout z, W(z) 0> se déplacait dans le plan orthogonal a 0> cad
<0( W(z) 0> - 0>) etait nul car <0 W(z) 0> = 1 mais c'est faux
l'opérateur déplacement W(z) peur aussi s'écrire

on a <0 W(z) 0> = <0 W(z) 0> =
l'opérateur qui pour tout z laisse le plan orthogonal a 0> invariant c'est
(sauf nouvelle erreur de ma part!).