Problème de produit scalaire

[Yamata1]

Bonjour,

On fait le produit scalaire entre le vecteur u=(−8,6) et un vecteur v=(x,y) de norme euclidienne 2. Dans quel intervalle [a,b] peut varier le résultat de ce produit scalaire u⋅v? Les bornes doivent être atteinte pour certains choix de v.

On a donc alors puis en dérivant cette fonction j'obtiens comme extremum et .

Est-ce correcte ?

Merci
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[pilum2019]

correct chef ! Un coup de géogébra et la vérification est facile.

[Tryss2]

Non, ça n'est pas correct, ton intervalle devrait être symétrique en 0 (si u.v = 20, alors u.(-v) = -20 et -v est bien de norme 2).

Ici, on peut répondre presque sans calculs, grace à l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires.

[pilum2019]

@ Tryss2 : désolé ton raisonnement est faux.
Tu as raison d'affirmer que si on remplace v par - v on on passe de 20 à -20.
Sauf que l'ordonnée de v vaut racine (4-x²), et donc que l'ordonnée de v est TOUJOURS POSITIVE.
Yavait un piège ici....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Ah? Je rappelle que la question c'est

"On fait le produit scalaire entre le vecteur u=(−8,6) et un vecteur v=(x,y) de norme euclidienne 2. "

Nul part il n'est précisé que y est positif dans les hypothèses.

[mach3]

Nul part il n'est précisé que y est positif dans les hypothèses.

Ben si :

On a donc

m@ch3

[gg0]

En fait, Tryss2 corrige l'exercice de Yamata1, tandis que Pilum corrige la suite des affirmations de Yamata1 à partir de sa première affirmation, qui est fausse !!

Géométriquement, le produit scalaire de deux vecteurs u et v vaut ||u|| ||v|| cos(u,v) et est donc (si les normes sont fixes) maximal quand le cos est égal à 1 (vecteurs colinéaires de même sens) et minimal lorsqu'ils sont colinéaires de sens contraires (cos égal à -1).

Cordialement.

[mach3]

J'interprète ceci comme faisant partie de l'énoncé :

On a donc

sinon je ne vois pas d'où cela sortirai... A Yamata1 d'être plus clair...

m@ch3

[gg0]

Bonjour Mach3.

Spontanément, j'avais interprété le premier alinéa comme l'énoncé, puis, le second comme la solution (*) proposée par Yamata. Le "on a donc.." ne peut pas être l'énoncé (le "donc" est une erreur de calcul ultra-classique), qui ne précise pas que y est positif.

Cordialement.

(*) fausse

[Tryss2]

Et vient surement du raisonnement " donc donc ", qui fait l'erreur classique d'oublier "ou "

[mach3]

sinon je ne vois pas d'où cela sortirai...

mais quelle andouille je fais...

oubliez-moi...

m@ch3

[pilum2019]

Bon il y a plusieurs interprétations : à Yamata d'être plus clair.

[albanxiii]

Bonjour,

Spontanément, j'avais interprété le premier alinéa comme l'énoncé, puis, le second comme la solution (*) proposée par Yamata.

Moi aussi.

Par ailleurs, ça ne dérange personne de voir un dans la solution, sans que n'ait été définie nulle part ?

[gg0]

Effectivement,

la rédaction est assez olé-olé, mais comme du départ c'est faux ...

Cordialement.

[Yamata1]

Merci de vos explications.Je vois ma faute du début pour la formule de y.En effet l'inégalité de Cauchy-Schwarz aurait suffi.