Existence de l'ensemble vide

[invitedcfd80cd]

Bonjour,

Je suis entrain de lire ce document http://culturemath.ens.fr/maths/pdf/logique/zf.pdf sur les axiomes de la théorie des ensembles.
Cependant je ne comprends pas une chose:
Pour poser l'axiome de substitution on utilise des entiers naturels pour indexer les paramètres, donc pour poser l'axiome de substitution il est nécessaire d'avoir construit avant les entiers naturels.
Dans la construction des entiers naturels de Von Neumann on utilise l'ensemble vide pour définir le nombre .
Cependant dans le document que je lis l'existence de l'ensemble vide est assuré par l'axiome de substitution qui lui même utilise les entiers naturels pour être posé. Donc d'une certaine manière on utilise l'ensemble vide pour montrer l'existence de l'ensemble vide.

Ma question est donc comment construire tout cela dans le bon ordre ?

Merci.
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[erik]

Salut,

Tu peux construire les entiers naturels en utilisant les axiomes de Péano, qui ne présupposent pas l'existence de l'ensemble vide.

[Merlin95]

J'avais entendu qu'à un certain niveau ca se mord un peu la queue, ce qui motive d'autres approches, comme la théorie des catégories.

[invitedcfd80cd]

Merci de votre réponse.

Je me suis lancé dans le projet d'écrire tous mes cours de maths dans un seul document en assemblant les cours de mes profs brique par brique à partir du plus bas possible dans l'édifice mathématique.

J'avais pensé à utiliser l'axiomatique de Peano mais celle-ci introduit 5 axiomes juste pour construire les entiers naturels et je voudrais utiliser le moins d'axiomes possibles.

Je viens de lire sur wikipédia que l'axiome de la paire était démontrable à partir de l'axiome de substitution et l'axiome des parties or l'axiome de la paire est aussi nécessaire pour la construction de Von Neumann donc pour l'axiome de substitution. ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_de_l%27infini )

Utiliser la construction de Von Neumann m'oblige apparemment à poser comme axiome l'existence de l'ensemble vide, l'axiome de la paire et l'axiome de l'infini.
Utiliser la construction de Peano me permet de démontrer l'existence de l'ensemble vide, l'axiome de la paire, et l'axiome de l'infini (si je l'ai bien compris) mais introduit 5 axiomes.

Donc la construction de Von Neumann me permet d'utiliser 2 axiomes de moins.

Est-ce possible d'en utiliser encore moins ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedcfd80cd]

Merlin95 je viens en effet de voir sur wikipédia que la théorie des catégories est utilisé pour définir la logique et la théorie des ensembles.
Je vais donc pour l'instant poser pour axiomes, l'existence de l'ensemble vide, l'axiome de la paire et l'axiome de l'infini, à moins que quelqu'un ait une meilleure façon n'utilisant que la théorie des ensembles.

[gg0]

Bonjour LucieTrak.

Tu dis "Pour poser l'axiome de substitution on utilise des entiers naturels pour indexer les paramètres". Je tique un peu sur le mot "naturel", tu vas comprendre. Puis tu en déduis "pour poser l'axiome de substitution il est nécessaire d'avoir construit avant les entiers naturels".
manifestement, tu sembles confondre l'écriture des axiomes avec leur contenu.
Rien ne t'empêche d'indexer les axiomes avec autre chose que les nombres intuitifs 1,2,3, ..., par exemple avec a, b, c, ... vas-tu "construire l'alphabet ?"
En fait, on n'utilise ces entiers intuitifs pour écrire la formule de façon pratique, ce ne sont que des étiquettes. C'est bien pour cela que la construction des entiers est une conséquence des axiomes ZF par exemple, pas un prérequis.

Cordialement.

NB : Tu as déjà utilisé les entiers intuitifs pour compter le nombre des axiomes de Peano.

[invitedcfd80cd]

Merci de votre réponse.
Cela résout mon problème, cependant j'ai encore une question qui peut sembler bête:
Le fait d'indexer les paramètres des axiomes du schéma avec des nombres entiers (même si ils ne représentent qu'une façon pratique de les étiqueter), implique t-il qu'il doit y avoir un nombre dénombrable de paramètres?

[azizovsky]

une extrait d'un cours : https://youtu.be/YQthqp5gplc?t=3678

[invitedcfd80cd]

Merci cependant je n'ai pas vraiment le niveau pour comprendre ce cours (je viens de finir la prépa).
En revanche le peu que je comprends me trouble encore plus car il utilise à plusieurs reprises la notion de familles finies.


Or la définition que l'on m'a donné en cours d'un ensemble fini est celle-ci:

Un ensemble est dit fini lorsque ou lorsque il existe et une bijection entre et .

Autrement dit il faudrait disposer des entiers naturels avant même définir le langage dans lequel on va exprimer les axiomes?

[Médiat]

Bonjour
La bonne réponse est celle de gg0, on n'utilise pas les entiers naturels il n'est donc pas utile de les construire au préalable. C'est comme si on disait que pour définir la théorie des groupes on avait besoin d'une partie des entiers naturels puisqu'il faut combiner 2 éléments pour obtenir le troisième, or 2 et 3 sont des entiers naturels
Oui,pour la logique classique du premier ordre on ne peut utiliser qu'un nombre dénombrable de variables, mais cette barrière n'est pas infranchissable, ce n'est plus la même logique.
La théorie des catégories n'a pas été mise au point pour rectifier des problèmes de la théorie des ensembles et il est bon de savoir s'il est vrai que l'on peut exprimer la théorie des ensembles avec la théorie des catégories, on peut tout aussi bien exprimer la théorie des catégories avec la théorie des ensembles. Tout ce qui peut de dire sur la primauté de l'une par rapport à l'autre après ce constat ne reflèterait qu'une guéguerre de religion stérile et sans intérêt.

[Médiat]

Même remarque pour les ensembles finis, dont la définition donnée n'est pas très bonne, la théorie des ensembles permet d'en donner une bien meilleure.

[invitedcfd80cd]

D'accord, merci beaucoup pour ces précisions!

[Médiat]

Une dernière remarque : la démonstration de l'existence de l'ensemble est loin d'être parfaite, puisqu'elle nécessite l'existence d'un ensemble ce qu'aucun axiome n'assure.

On peut résoudre ce problème en disant qu'un modèle de ZF ne peut être vide, ou en ajoutant un axiome assurant l'existence d'au moins un ensemble (par exemple l'ensemble vide)

[invitedcfd80cd]

D'accord!
Du coup dans mon document j'ai posé comme axiome l'existence de l'ensemble vide mais pas son unicité.

[Médiat]

Effectivement, l'unicité est garantie par l'axiome d'extentionnalité.

[syborgg]

On peut mettre en evidence l'existence de l'ensemble vide egalement par le schema de comprehension (c'est peut etre la facon la plus "simple" de verifier l'existence de l'ensemble vide).

[invite82078308]

Merci cependant je n'ai pas vraiment le niveau pour comprendre ce cours (je viens de finir la prépa).
En revanche le peu que je comprends me trouble encore plus car il utilise à plusieurs reprises la notion de familles finies.

Pièce jointe 394121
Or la définition que l'on m'a donné en cours d'un ensemble fini est celle-ci:



Autrement dit il faudrait disposer des entiers naturels avant même définir le langage dans lequel on va exprimer les axiomes?

Eh bien oui, pour décrire un système logique performant, il faut un minimum de mathématiques.
On ne peut construire les mathématiques à partir de rien.
Par contre, les mathématiques du fini suffisent, par exemple pour décrire une théorie comme ZF.

[Médiat]

Bonjour,

Par contre, les mathématiques du fini suffisent, par exemple pour décrire une théorie comme ZF.

Vous pourriez préciser ce que vous entendez par là ?

[invite82078308]

Bonjour,
Vous pourriez préciser ce que vous entendez par là ?

Le plus simple serait sans doute d'utiliser les grammaires génératives de Chomsky pour décrire le système déductif utilisé en théorie des ensemble..

On sait que les langage générés par les grammaires de Chomsky sont les langages récursivement énumérables ce qui ouvre la voie à la vérification de démonstrations formelles par ordinateur.

Définir ce que j'appelle les mathématiques du fini est délicat . Elles peuvent se ramener à l'arithmétique (avec exponentiation pour éviter de se compliquer la vie), ou à une théorie des ensembles sans axiome de l'infini. On utilise souvent l'axiome de l'infini par commodité ou par habitude mais on peut faire beaucoup de mathématiques intéressantes sans.

[Médiat]

Je comprends de moins en moins :

1) Je ne vois pas le rapport avec Chomsky, ZF est une théorie FOL
2) Récursivement énumérable et fini sont deux choses extrêmement différentes
3) Justement l'axiome de l'infini fait partie de ZF,
4) L'arithmétique (laquelle ?) en tout cas celle de Peano, n'est pas finie (ni en termes de modèles, ni en termes d'axiomes) …

[invite82078308]

Je ne parle pas de ZF mais d'une théorie reprenant tous les axiomes de zf sauf l'axiome de l'infini, remplacé par "il existe un ensemble et tout ensemble est fini" .
Cette théorie est non-contradictoire, elle admet un modèle , c'est un classique, mais je préfère me placer d'un point de vue syntaxique: pour montrer que cette théorie est non contradictoire, on établit des règles de traduction entre les énoncés de cette théorie et des énoncés arithmétiques, de sorte que toute contradiction dans cette "théorie des ensemble finis" se traduirait par une contradiction dans l'arithmétique. Tout énoncé de cette théorie peut donc se traduire par un énoncé arithmétique.

Pour préciser la différence entre mathématiques infinitistes et mathématiques finitistes, je prendrai un exemple issu de mathématiques plus classiques:
Dans ZF, on peut dire que l'ensemble des nombres premiers est infini, dans la "théorie des ensembles finis", on peut seulement dire qu'aucun ensemble fini ne contient tous les nombres premier, ce qui revient au même, mais seulement d'un point de vue infinitiste.

[Médiat]

Que ZF - Axiome de l'infini soit consistante, je suis bien d'accord (cf. modèle d'Ackermann), mais votre argument me paraît bizarre (quelle arithmétique ? Comment sait-on qu'elles est consistante etc.), à moins que l'argument soit justement le modèle d'Ackermann, et alors je ne vois pas l'intérêt d'un argument syntaxique.

Mais mon problème majeur est : Comment écrivez-vous votre nouvel axiome ?