Equa diff linéaire à coefs variables

[DopplerQuestion]

Bonjour,

Je ne parviens pas à résoudre avec , la condition et pas de contrainte sur pour le moment. Une forme générale serait déjà géniale.

Merci bien!
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[albanxiii]

Bonjour,

Je ne suis pas sur qu'il y ait une solution analytique (même avec et un développement). Vous en êtes sur ?
Dans le cas contraire, il faut envisager une résolution numérique.

[DopplerQuestion]

La solution numérique ne pose pas vraiment problème. Si la résolution analytique semble compliquée, il me faudrait au moins existence et éventuellement unicité de la solution. ¨Peut-on prouver cela? Ca me serait bien suffisant finalement

[pilum2019]

Je ne vois pas trop comment il pourrait y avoir unicité s'il n'y a pas de contrainte sur y'(0)...
Sinon comme la fonction k²/ (1+e sin(wx))² est continue sur R, il y a existence sur R.
Enfin je dis sur R, mais là aussi il faudrait préciser l'intervalle...

[A voir en vidéo sur Futura]

[DopplerQuestion]

y'(0) existe et est défini, mais je ne l'ai pas calculé explicitement, c'est pourquoi je posais la question d'un point de vue général. Donc on a là les hypothèses pour appliquer le théorème de Cauchy pour l'existence et unicité (en ayant y'(0)) ?

[pilum2019]

Oui avec le théorème de cauchy-lipschitz.

[DopplerQuestion]

Certes
Et si on a une EDP linéaire sur x et t, y a-t-il des résultats sur l'existence de solutions?

[pilum2019]

Il faudrait être plus précis. Le monde des EDP est vaste, très vaste.

[Resartus]

Bonjour,
c'est une équation différentielle homogène du second ordre.
Pour ce type d'équation, on sait que des solutions existent et que la famille des solutions sera un espace vectoriel de dimension 2, c'est
à dire que la solution générale sera de la forme
y=A. f(x)+B.g(x).
où f et g sont deux fonctions solution indépendantes et A et B sont deux coefficients quelconques

En imposant que y(0) soit nul, on restreint les possibilités, c'est à dire qu'on va imposer la valeur du rapport A/B et on se retrouve avec une seule solution, au coefficient multiplicatif prés qui dépendra de la valeur de y'(0).

Reste à trouver cette fonction... Dans l'ancien temps, on aurait résolu cela par des méthodes perturbatives
(développement en série de epsilon, supposé petit), en constatant que les solutions sont proches de solutions périodiques de pulsation k, et en résolvant l'évolution supposée plus lente de la phase et l'amplitude

De nos jours, c'est plutôt les méthodes numériques....

[DopplerQuestion]

Là on atteint le point qui me pose vraiment problème.
Je considère à la base l'eq de d'Alembert dans un domaine borné et .
On prend un terme source , , et .

Je perturbe ce système de manière smooth par une perturbation et obtiens la nouvelle équation avec .
Les CI et Cl restent les mêmes.

L'opérateur de perturbation s'écrit donc .


Ainsi quand , l'eq générale redevient l'eq d'ondes de base. Je sais résoudre explicitement cette dernière dans mon domaine (), et observe un spectre constitué de modes, les modes propres du système et d'un mode forcé correspondant à l'excitation au bord ("courbe" rouge).

C'est donc une somme de la forme .


En revanche quand est non nul, j'obtiens une solution (bleue) qui correspond à une modulation autour de chacun des pics rouges. C'est à dire que ma solution est également une somme de termes qui sont chacun des perturbations d'un mode propre donné(ou du forcé).

Je ne sais et ne souhaite pas calculer explicitement cette solution, en revanche je voudrais, par le biais de l'étude perturbative que tu as mentionnée, réussir à démontrer que la solution générale s'exprime aussi comme une somme de termes pour laquelle chaque ou est respectivement la perturbation de ou .

J'imagine que, ayant la linéarité, on peut raisonner mode par mode, chacun d'eux étant "sous"-solution de l'eq de base sans perturbations. On aurait alors par exemple pour l'étude d'un mode donné et son correspondant perturbé :

en définissant la partie perturbante , ce qui donnerait:


qui s'écrit aussi avec le terme connu .

Et alors si on montre que cette EDP admet une solution (avec les CI et CL à adapter, mais on considère qu'on l'a fait), j'imagine qu'on est bon. Car la calculer explicitement, ça me paraît pas gérable.

J'ai là proposé la question avec une version simplifiée de , mais le principe, s'il est bon, resterait le même dans mon vrai problème.

[DopplerQuestion]

Je précise aussi que la version simplifiée est une excellent approximation de la vraie solution pour petit par rapport à 1 (la taille du domaine).
Et voici l'image qui aurait dû être présente avant:



Il y a les modes propres et le mode forcé à environ 360Hz

[pilum2019]

La dernière équation ( celle avec le second memebre qui vaut A(x,t) ) est une équation EDP de type hyperbolique.
Donc pour peu que les conditions aux limites et initiales soient correctes, il y a existence et même unicité.

[DopplerQuestion]

Ok ça ça pourrait le faire, de manière à écrire la solution générale comme une somme .

A présent, je pense qu'on peut être plus précis dans la forme générale. La figure montre que la courbe bleue est une somme de peignes de Dirac autour des modes rouges (modulation), à dents régulièrement espacées. Je pense donc qu'on peut montrer que la partie en temps d'une sous solution (ou ) est une somme de sinusoides qui seraient les vecteurs de la base propre de l'opérateur temporel .

Donc en gros si on arrive à donner quelques infos sur la solution de l'eq d'avant : , on pourrait montrer qu'il existe une base pour diagonaliser l'opérateur, et donc que chaque terme général s'écrit aussi comme une somme de termes.
Qu'en pensez-vous?

[pilum2019]

OK, je comprend mieux d'où vient l'equation différientielle du tout début.
Cette équation différentielle est pratiquement déjà sous la forme de Sturm-Liouville (je reprend ton équation dans le premier post) :
( p(x) y')' + q(x) y = L w y , L = valeur propre = -k², p(x) = 1 (fonction constante) , q(x) = 0 (fonction constante).
Quand à la fonction poids w(x) elle vaut w(x) = 1/(1 +epsilon sin(omega x) )².
Reste à ajouter des conditions aux limites sur y(0) , y'(0) et aussi sur y(1) et y'(1);

Et là Strurm-liouville te garantit l'existence de valeur propres dénombrables, et des fonction orthogonales au sens du produit scalaire intégral.

[DopplerQuestion]

C'est ce que je commençais à me dire, jusqu'au moment où j'ai vu qu'en fait l'opérateur est sur la variable t qui dans mon problème n'est pas dans un domaine borné (CI et non CL sur t). Du coup Sturm Liouville permet quand même de conclure quelque chose? Après des CL sur t "peuvent" toujours artificiellement se donner, mais moyennant la connaissance de la solution aux t souhaités, donc pas grand intérêt. Après peu être que ça permet de justifier que de telles "CL" existent et d'appliquer le théorème?

Car en effet, comme tu dis, on a exactement des valeurs propres dénombrables et des fonctions orthogonales comme tu l'as mentionné (le graphe d'ailleurs l'exhibe bien)

[pilum2019]

Bon je commence à reconstituer entièrement le puzzle...
Oui, donc dans l'équation du début, x représente le temps t, donc appartient à [0 ; + oo[.

Effectivement, avec un intervalle infini, Sturm-Liouville ne garantit plus un spectre discret, et on a plutôt un spectre continu.

Cependant , manifestement la fonction est périodique en temps (donc en x dans le premier post) , car il y a le terme sin (omega x).
Donc en fait on se ramène à un intervalle fini qui est la période de la fonction.

[DopplerQuestion]

Merci, j'y vois plus clair, je vais essayer de dérouler ça proprement.
Sinon il y a encore 2 ou 3 points à clarifier, notamment:

On a discuté de la partie "en temps" d'une sous solution , supposant implicitement que la séparation de variables s'applique (c'est le cas) et qu'on a défini .

s'exprimant dans la base propre de fonctions périodiques garantie par Sturm Liouville, on a une somme infinie pour . Donc j'ai ma somme (les dents de chacun des peignes relatifs à un mode donné), mais je n'ai pas encore que ma somme est de part et d'autre de ce mode, ni qu'elle est centrée en ce mode.

Donc il faudrait montrer que, sachant qu'on a avec la base de Hilbert , et bien il existe un tel qu'un des termes de la somme soit calé sur la partie "temps" du mode initial , donc que: (à un multiple près).

Ca paraît naturel vu que la déformation est smooth et on le voit bien graphiquement (même si c'est pas une preuve). Ainsi on aurait une solution périodique en temps, composée de termes dont la fréquence serait du type avec la fréquence temporelle du mode initial .

Est ce suffisant pour le montrer, de rappeler qu'on a montré l'existence de la décomposition (donc par identification de () et donc que d'une part forcément sauf pour un pour lequel on doit avoir ? Ce qui expliquerait que le mode initial est toujours présent, mais d'amplitude modifiée.

Et le dernier truc c'est qu'il semble que la déformation bleue est symétrique autour du mode initial. J'arrive à la justifier avec une toute autre approche avec des Bessel, mais cela implique, dans notre approche, que la somme est infinie sur les relatifs (et pas juste sur les entiers), ou alors qu'on a deux somme: une qui démarre à et va vers la droite, et l'autre vers la gauche...

[DopplerQuestion]

Rectification (car au delà de 5 min tout est merveilleusement verrouilé):

Est ce suffisant pour le montrer, de rappeler qu'on a montré l'existence de la décomposition (donc par identification de () et donc que forcément sauf pour un pour lequel on doit avoir ? Ce qui expliquerait que le mode initial est toujours présent, mais d'amplitude modifiée.

[pilum2019]

Difficile de tout appréhender/traduire avec ce langage de quasi-physicien.
Peut-être qu'avec l'équation qui donne les T^i (que j'abrège en T) on pourrait mieux conclure.

En gros si je résume très grossièrement (on va le faire en temps t maintenant) :

J'ai un opérateur E (il est la perturbation d'un autre opérateur D d'après ce que j'ai compris) tel que
E[T] = B, où T est la solution en temps que cherche.

On cherche les valeurs et vecteurs propres de E : E[phi(m)] = L(m) phi(m), avec L(m) valeurs propres et phi(m) vecteurs propres. Ces valeurs et vecteurs propres sont garantis par Sturm-Liouville.

T s'écrit comme combinaison linéaire infinie des phi(m).

Mais n'oublions pas l'opérateur D, qui a lui même son ensemble de valeurs et vecteurs propres : K(m) et PSI(m).

Après je comprend à peu près que le but est d'exprimer un des phi(m) comme multiple de PSI(m) ?

Je ne suis pas sur d'avoir compris la question et il me semble qu'il manque la connaissance de B pour pouvoir conclure.

[DopplerQuestion]

Sans perturbation, on résout avec séparation des variables qui décompose l'eq de base en deux eq aux vp, une en espace et une en temps (avec D). C'est résolu explicitement donc on connait D, ses vp et fonctions propres. Cela nous donne une somme de solutions simples (les T_0^i). Là on ne raisonne que sur la partie temporelle de la solution générale.

Une telle solution simple est solution du problème de base. Et je veux voir comment T_0^i est modifiée si je perturbe l'opérateur D. T_0^i est une fonction propre bien précise, pas une somme.

Or d'un autre côté on a montré que la solution globale s'écrit comme la solution initiale + une partie perturbante. En gros T^i=T_0^i+T_1^i.
T^i est la solution de l'eq aux vp avec l'opérateur perturbé E. Donc je ne vois pas vraiment ce qu'est B. L'eq considérée est déjà sous forme E.T^i=aT^i. Donc Sturm Liouville: T^i s'écrit comme la somme infinie des phi(m)

Et la décomposition T^i=T_0^i+T_1^i montrer que dans cette somme infinie doit, quelquepart, se trouver un terme qui est un mutliple de T_0^i. D'où ma conclusion, nécessairement je pense.

Il faut je pense voir que:

Equation générale sans perturbation --> u_0=X_0.T_0 --> étude de T_0, opérateur D, vp ect --> écriture de T_0 en somme des T_0^i bien connues

Autre approche: equation générale avec perturbation --> on montre que la solution est de la forme u=u_0+u_1 --> or u_0 est une somme, alors par linéarité, u_1 aussi --> u est donc aussi une somme et on définit u=somme u^i:= somme u_0^i+u_1^i
Séparation des variables possibles --> on regarde pour un i donné la partie temporelle de u^i, qui est par identification, T^i=T_0^i+T_1^i où T_0^i n'est pas une somme mais juste un terme. Et là on aimerait montrer que T_1^i est une somme, de sorte à avoir notre peigne de dirac pour chaque i.

Pour un i donné, on a l'eq vérifiée par T_1^i qui est sous la forme E.T_1^i=c.T_1^i et là le raisonnement donne la forme en somme, ect.

J'ai le sentiment d'être un peu confus en effet. Je crois que tu soulèves le point que l'étude sur D et T_0 se fait en parallele de celle pour E et T, mais moi je propose d'utiliser D et T_0 pour avoir les T_0^i, et ensuite de regarder l'opérateur perturbé pas sur la solution générale T, mais déjà sur une solution particulière T^i dont on a montré qu'elle existe. Et là on utilise E, qui admet d'autres vp et on trouve T^i en somme, et donc on fini avec une somme de somme: somme de peignes qui sont chacun une somme de dents...

En tout cas déjà merci
Là je sens que sans en discuter de vive voix, ça devient compliqué

[pilum2019]

Ok
C’est moi qui ai mal compris.
En fait ce qu’on appelle T^I c’est la solution de l’équation au valeurs propres de l’opérateur perturbé E.

Ce qui m’a mis dans la confusion est qu’il est écrit dans un post précédent que
T^i est une somme de phi^I,m (où il est dit que les phi^i,m forment une base de hilbert, etc…).

Mais alors ma question est : c’est quoi les phi^i,m ?
Parce que si les T^i sont les solutions de l’équation aux valeurs propres, ils sont eux-même une base de hilbert….