Limite d'une série de fonctions

**coussin** · 16/09/2019, 11h14

Bonjour à tous

Soit la fonction $\text{[math]}$ de IR+ dans IR, dépendant d'un paramètre réel $\text{[math]}$ .
Pout tout $\text{[math]}$ , cette fonction vaut 0 en x=0 et possède un maximum en x=a/sqrt(2) où elle vaut (2e)^-1/2.
Que doit-on dire de la "fonction" $\text{[math]}$ ? Qu'elle n'est pas définie ? Que ce n'est pas une fonction ?

Quel est la manière correcte de définir "l'objet" $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance

**Médiat** · 16/09/2019, 12h35

Bonjour,

Comme vous ne nous donnez pas de définition pour f0, pour nous elle n'est pas définie !

**coussin** · 16/09/2019, 13h34

Dois-je comprendre de votre réponse que la définition de f que je donne n'est valable que pour a différent de 0 ? Si oui, pourquoi ? Tout simplement parce que on ne peut pas diviser par 0 ?

Merlin95 · 16/09/2019, 14h51

ben pour a=0, x/a (=x/0) n'est pas définie. Donc f0(x) n'est pas définie.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**pm42** · 16/09/2019, 15h06

Envoyé par coussin

Tout simplement parce que on ne peut pas diviser par 0 ?

En effet, c'est quand même très bloquant.
Si on vous demande f0(3), comment le déterminer avec ce que vous avez donné ?

Je suppose que vous vouliez demander si on peut définir f0 comme la limite des f quand a tend vers 0 ?
Si c'est le cas, il faut étudier la convergence qui ici ne semble pas être uniforme.

**Médiat** · 16/09/2019, 15h17

Envoyé par coussin

Dois-je comprendre de votre réponse que la définition de f que je donne n'est valable que pour a différent de 0 ? Si oui, pourquoi ? Tout simplement parce que on ne peut pas diviser par 0 ?

Pire que cela : dans votre définition il est écrit $\text{[math]}$ !

Avec l'énoncé : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ n'est pas définie, et pourtant il n'y aurait pas d'opération interdite en faisant ce qui semble naturel

Merlin95 · 16/09/2019, 15h20

il me semble qu'il ne donne qu'une remarque annexe pour a différent de 0 il ne dit pas qu'elle est définie que pour a différent de 0.

invite51d17075 · 16/09/2019, 15h34

Envoyé par pm42

Si c'est le cas, il faut étudier la convergence qui ici ne semble pas être uniforme.

je même doute qu'on trouve une convergence simple en proposant une fct f0 , car on aura tj f(a/rac(2))=(2e)^(-1/2)

**coussin** · 16/09/2019, 15h49

D'accord, c'est intéressant.
Une fonction est donc dite "non définie" quand son expression fait intervenir une des 7 formes indéterminées, c'est ça ? Y a-t-il d'autres cas "pathologiques" menant à une fonction non définie ?

@mediat : en effet, la mention a différent de 0 n'était pas dans la définition. C'était pour les abscisses et ordonnées du maximum.

La convergence de la série de fonctions est problématique... En convergence ponctuelle, je dirais que f0=0 mais le point x=0 est ambiguë, non ?

**coussin** · 16/09/2019, 15h54

En revenant à ce qu'est une fonction, à savoir un mapping des éléments de l'ensemble de départ vers des éléments de l'ensemble d'arrivée, une fonction est "non définie" si l'expression donnée par sa définition ne tombe pas dans l'ensemble d'arrivée ? Peut on dire que f0 n'est pas définie car une expression 0/0 n'appartient pas à IR ?

**Médiat** · 16/09/2019, 16h01

Envoyé par coussin

En revenant à ce qu'est une fonction, à savoir un mapping des éléments de l'ensemble de départ vers des éléments de l'ensemble d'arrivée, une fonction est "non définie" si l'expression donnée par sa définition ne tombe pas dans l'ensemble d'arrivée ? Peut on dire que f0 n'est pas définie car une expression 0/0 n'appartient pas à IR ?

Non ceci est faux, car cela confond la fonction et l'expression de la fonction ; ici f0 n'est pas définie car … elle n'est pas définie ! La seule expression que vous avez donné est valide pour a != 0 (pas à cause de la division, mais parce que vous avez écrit a != 0)

**pm42** · 16/09/2019, 16h16

Envoyé par ansset

je même doute qu'on trouve une convergence simple en proposant une fct f0 , car on aura tj f(a/rac(2))=(2e)^(-1/2)

Oui. On va avoir une bosse de hauteur fixe qui vient s'écraser contre l'axe des y. Et donc un problème en 0 si ce que j'ai regardé vite fait est juste.
Cela fait un cas pathologique où toutes les fonctions valent 0 en 0 mais c'est le seul point où la définition habituelle de la convergence ne s'applique pas.

Bon, on approche par contre de la limite de mes lointains souvenirs de maths donc je vais laisser la main à ceux qui savent.

**coussin** · 16/09/2019, 16h18

Envoyé par Médiat

Non ceci est faux, car cela confond la fonction et l'expression de la fonction ; ici f0 n'est pas définie car … elle n'est pas définie ! La seule expression que vous avez donné est valide pour a != 0 (pas à cause de la division, mais parce que vous avez écrit a != 0)

C'est une confusion.
L'expression que j'ai donné est pour a appartenant à IR. Sans en dire plus.
Ceci étant dit, cela définie la fonction pour a=0. Il se trouve que évaluer l'expression de la fonction pour a=0 mène à des formes indéterminées. Cela justifie-t-il alors de dire que la fonction "n'est pas définie"?
Mon message est avant tout sur les termes corrects à utiliser...

invite51d17075 · 16/09/2019, 16h20

Envoyé par pm42

Oui. On va avoir une bosse de hauteur fixe qui vient s'écraser contre l'axe des y. Et donc un problème en 0 si ce que j'ai regardé vite fait est juste.
Cela fait un cas pathologique .....

ce que tu peux être dur et froid de cœur avec une pauvre fonction qui n'a rien demandé à personne

**gg0** · 16/09/2019, 18h26

Attention Coussin !

Le problème pour a=0 n'est pas une question de forme indéterminée (il n'est pas ici question de limite), mais de signification d'écriture. L'écriture $\text{[math]}$ n'a pas de signification. Donc l'écriture de $\text{[math]}$ n'a pas de signification.

En général, quand on traite ce genre d'exercice, on connaît depuis des années le fait qu'une fraction n'a jamais un dénominateur nul (donc qu'une écriture de fraction n'a pas de sens quand on met 0 au dénominateur).

Cordialement.

**coussin** · 16/09/2019, 19h33

D'accord, je comprends.
Ce qui me chiffonne, c'est que j'aurais pu poser partout b=1/a et étudier ce qui se passe pour b tendant vers l'infini.
Est-ce que infini*x a le même statut que x/0 en terme de "manque de signification"?

J'imagine que c'est ce genre de chose qui a donné lieu aux fonctions généralisées, non ? (il ne vous aura pas échappé que fa(x)/x, comme je l'ai défini, est une série de gaussiennes tendant vers la "fonction" delta de Dirac...)

**gg0** · 16/09/2019, 21h35

Tu ne peux poser b=1/a que si a est non nul. Et étudier ce qui se passe quand b tend vers +oo, c'est étudier ce qui se passe quand a tend vers 0+. Donc tu ne fais que déplacer le problème ... avec une idée un peu fausse en tête !!!

"Est-ce que infini*x a le même statut que x/0 en terme de "manque de signification"? " bien sûr, on ne sait pas ce que tu appelles "infini". Plutôt que de manipuler des mots et écritures mal compris, apprends correctement les maths.

"J'imagine que c'est ce genre de chose qui a donné lieu aux fonctions généralisées, non ?" Non ! encore une fois, tu manipules des mots là où tu aurais pu trouver une connaissance correcte (l'histoire des distributions et autres fonctions généralisées est très bien documentée). Le delta de Dirac est utilisé depuis la fin du dix-neuvième siècle en électricité et automatisme (Heaviside et al). Son attribution à Dirac vient du fait que c'est le premier "physicien pur" qui l'utilise (comme il peut, faute d'une mathématisation correcte).
L'intérêt pour une généralisation des fonctions vient essentiellement de la théorie des équations aux dérivées partielles. Rien à voir avec le fait que les fractions ont un dénominateur non nul, fait connu depuis 25 siècles.

Cordialement.

**coussin** · 17/09/2019, 09h44

D'accord.

Alors en fait, j'ai menti

La fonction qui m'intéresse n'est pas vraiment la fonction que j'ai écrit au message #1.
J'ai une fonction plus compliquée qui n'est pas une expression de forme fermée. J'ai observé, numériquement, que cette fonction semblait se comporter comme ma fonction du message #1 : je la trace proche de x=0 pour différentes valeurs de a et j'observe un comportement linéaire à l'origine et une "bosse" de hauteur constante qui vient s'écraser sur l'axe des ordonnées, comme mentionné dans un message précédent.
A l'inverse de la fonction de mon message #1, je peux poser a=0 et évaluer ma fonction.

Dans ce cas, que puis-je dire de ma fonction pour a=0 ? Rien ?

invite51d17075 · 17/09/2019, 12h36

Envoyé par coussin

A l'inverse de la fonction de mon message #1, je peux poser a=0 et évaluer ma fonction.

Dans ce cas, que puis-je dire de ma fonction pour a=0 ? Rien ?

qu'entends tu par "évaluer" ?
tu peux la définir ?
auquel cas une présentation serait bienvenue.
Cdt

invite452d5a24 · 17/09/2019, 13h29

Bonjour,

Envoyé par coussin

Dans ce cas, que puis-je dire de ma fonction pour a=0 ? Rien ?

Cela dépend de ce qui te tient à cœur.

Prenons un exemple je prends la fonction réelle $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ , et je demande que peut-on dire de $\text{[math]}$ ?

Si ce qui me tient à coeur c'est de conserver la continuité, alors je choisirais $\text{[math]}$ , par contre si je veux une fonction $\text{[math]}$ qui ne soit pas constante alors je ferais un autre choix pour $\text{[math]}$ , cela dépend des attentes que j'ai sur la fonction $\text{[math]}$ .

Bref plus simplement, il te faut préciser d'avantage le cahier des charges sur les attentes que tu as sur $\text{[math]}$ .

J'espère que cela est plus clair pour toi.

Bonne journée.

**coussin** · 17/09/2019, 13h39

Je peux la définir, oui.
La définition est laborieuse mais je peux la donner si c'est utile.

**gg0** · 17/09/2019, 16h43

Finalement,

tu as fait une discussion de 17 messages sur un sujet inutile, posant une question idiote, pour en arriver à dire "j'ai un problème, je ne vous l'expose pas parce que c'est compliqué". C'est délirant !!

Si tu peux définir f₀, définis-la et regarde ! C'est une démarche évidente (*)

(*) Bon, tu vas nous dire encore que tu as menti, c'est plus compliqué ...

**coussin** · 17/09/2019, 16h43

Envoyé par coussin

Je peux la définir, oui.
La définition est laborieuse mais je peux la donner si c'est utile.

Tout d'abord, quelques fonctions auxiliaires :
$\text{[math]}$ avec C une constante réelle. C'est ici qu'apparaît le paramètre a.
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ avec q un vecteur 2D.
$\text{[math]}$
Et la fonction f, définie pour tout a :
$\text{[math]}$

Si ça peut donner quelques indications sur ce qui se passe, il est intéressant d'étudier la fonction associée de IC dans IC de la variable complexe z=x+iy, sans la partie imaginaire dans l'intégrale. Ce qui se passe pour a=0 c'est qu'un point de branchement (d'où émerge une des coupures du logarithme) arrive à l'origine z=0 (la coupure étant le long de l'axe imaginaire négatif).

**coussin** · 17/09/2019, 17h40

Envoyé par gg0

Si tu peux définir f₀, définis-la et regarde ! C'est une démarche évidente (*)

C'est ce que j'ai fait. J'ai regardé et constaté qu'elle se comportait comme la fonction de mon message #1 proche de x=0 et quand a tend vers 0.
Ceci étant dit, je me pose certaines questions quant à, par exemple, la continuité de ma fonction en x=0 pour a=0.
Étant donné les caractéristiques du comportement proche de l'origine (cette fameuse "bosse" qui vient s'écraser sur l'axe des ordonnées quand a tend vers 0), je ne sais pas répondre à la question de la continuité en x=0, par exemple...

Merlin95 · 17/09/2019, 19h13

je comprends pas ce qui semble te gêner et t'empêcher de comprendre. a tend vers 0 et a=0 cest totalement différent, c'est pigé ça peut-être ?

**gg0** · 17/09/2019, 19h32

Il y a quand même quelques incertitudes fortes sur la définition de f₀ : k est définie par une racine carré, soit on travaille dans $\text{[math]}$ et f₀ n'est pas définie en 0, soit on travaille dans $\text{[math]}$ et il faut définir quelle fonction racine carrée est utilisée. Sans parler de la signification de q² ("avec q un vecteur 2D") et même l'intérêt d'écrire q² plutôt qu'un paramètre dont on donnerait la nature (*).
Même problème dans l'intégrale, la fonction log n'étant pas définie de façon conventionnelle sur les complexes.

Enfin, pour a=0, $\text{[math]}$ se simplifie fortement, et r se simplifie dans tous les cas, plus encore pour a=0.

Avec ce que tu dis dans un message précédent, je conclus que tu fais un certain travail que tu ne dis pas, mais demandes de l'aide en distillant au compte goutte les informations. Ça peut durer longtemps !!

Cordialement.

(*) simplifier les notations permet de se centrer sur les vraies questions. Ici, par exemple, remplacer q² par Q et dire "où Q est un réel positif", ou "où Q est un complexe", ou ce qu'est exactement Q.

**coussin** · 17/09/2019, 19h38

q est un vecteur 2D pour insister que l'intégrale à faire est 2D par exemple sur 2 composantes qx et qy. On peut passer en polaire si on veut et la remplacer par 2pi int dq q avec q, la norme rac(qx2+qy2).

Merci pour vos réponses en tout cas. Je me rend compte qu'on ne s'en sortira pas effectivement...

**gg0** · 17/09/2019, 19h55

A oui, il réapparaît dans l'intégrale.

En tout cas, présenté ainsi sans ce qui a amené à faire ces calculs, ça n'incite pas à aider

invite82078308 · 17/09/2019, 22h15

f₀ est définie et son ensemble de défninition est vide.

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