équa diff et fonction à plusieurs variables

[invite0d2f1f10]

Bonjour,
voila je suis en L1 de physique et pour m'entraîner pour l'examen de maths je refais ceux qui sont tombés l'an dernier, et j'ai rencontré un problème avec la résolution d'une équation différentielle du second ordre :

y'' + 2y' + 5y = sin(2x)

j'ai commencé par trouver la solution de l'équation homogène, et par la suite on me dit de chercher une solution particulière de la forme y(x)=A(x)cos(2x) + B(x)sin(2x)
j'ai essayé la méthode de la variation de la constante pour trouver la solution partuclière mais je tourne en rond et ça n'aboutit pas...Pourriez-vous m'aider ?
Ensuite on me demande de trouver les solutions de l'équation :

y'' + 2y' + 5y = exp(-x)sin(2x) et je ne sais pas comment faire non plus, quand j'aurai trouvé la solution générale de la première équation.

Sinon j'ai un autre problème concernant une fonction à plusieurs variables :

f(x,y) : = x⁴ + x²y² + y⁴ + x² - 2y²

On me demande d'abord de trouver les points critiques, j'ai compris comment faire et je trouve les points (0,0) (0,1) et (0,-1), puis on me demande lesquels sont des extrema locaux ou point-selle et ça aussi j'ai compris comment faire. Par contre ensuite on me demande si f admet un minimum ou un maximum global et là je ne vois pas du tout comment m'y prendre...

En espérant que vous pourrez m'aider (j'en ai vraiment besoin !!!) merci d'avance !
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[invitebb921944]

Bonjour,
pour la première question, il n'est pas question de variation de la constante. On te donne un indice en t'exhibant une fonction qui devrait marcher en te laissant quand même le soin de trouver A(x) et B(x) par toi même. Tu introduis cette fonction dans ton équadiff (à toi de la dériver etc), puis tu détermines A(x) et B(x) par identification.

[invitea0db811c]

Bonjour,
Hum pour la fonction à plusieurs variable je pencherais pour l'existence d'un minimum global (à vue de nez je n'ai pas vérifié).

Pour essayer de le trouver tu pourrais par exemple trouver un compact de R² que l'on notera S tel que pour tout couple de réel appartenant à l'adhérence de R² prive de S, ta fonction te donne un résultat strictement plus grand 0.

Ensuite tu n'aurais plus qu'à dire que par continuité de f sur S qui est un compact, f est borné sur S et donc le restriction de f à S atteint son minimum en un point de S. Or tu sais que ce minimum est forcement inférieur ou égale à 0 et donc il est atteint en un point intérieur à S qui est donc un point critique ^^.Après il suffit juste de vérifier que sur ce point tu a un résultat négatif et le tour est joué tu as un minimum global.

bon pour le choix de S je pense que prendre un cercle de rayon suffisament grand devrait convenir.

Voila en espèrant t'avoir aidé.

[invite57a1e779]

On me demande d'abord de trouver les points critiques, j'ai compris comment faire et je trouve les points (0,0) (0,1) et (0,-1), puis on me demande lesquels sont des extrema locaux ou point-selle et ça aussi j'ai compris comment faire. Par contre ensuite on me demande si f admet un minimum ou un maximum global et là je ne vois pas du tout comment m'y prendre...

Déjà, un extremum global est un extremum local. Il faut donc chercher parmi les extrema locaux que tu as trouvés si certains sont globaux, c'est-à-dire si la relation ou vaut pour tout .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0d2f1f10]

Merci bien pour la fonction à plusieurs variables c'est plus clair maintenant !

Sinon je sais d'où venait mon problème avec l'équa diff, c'est que dans la solution particulière qu'on me donnait, je pensais que A et B dépendaient de x alors qu'en fait il s'agit de constantes...du coup c'est beaucoup plus simple

Par contre j'ai donc résolu l'équation y'' + 2y' + 5y = sin(2x) mais maintenant je dois résoudre y'' + 2y' + 5y = exp(-x)sin(2x) et je ne sais pas trop comment faire...Bon pour la soluton de l'équation homogène, c'est la même que celle juste avant, mais pour la solution particulière je ne vois pas trop, j'ai essayé d'écrire sin(2x) comme la partie imaginaire de exp(2ix) et donc de trouver une solution particulière de la forme
y(x)=Q(x)exp(2ix-x) mais en fait je ne crois pas que ça soit une très bonne idée...une suggestion ??

Merci encore !