Caractérisation séquentielle de la limite

[mehdi_128]

Bonjour,

Je ne comprends pas la différence entre le théorème du cours et l'exercice.



Dans mon livre, l'auteur dit qu'il suffit de démontrer (i) => (ii) mais je ne comprends pas. Pour moi le théorème du cours est identique à l'exercice
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[albanxiii]

Bonjour,

Il y a inversion entre (i) et (ii) entre le théorème et l'énoncé. D'autre part, le théorème ne dit pas que dans le (ii) peut être fini ou infini.
Sinon, je suis aussi perplexe que vous.

[invite9dc7b526]

l'exercice diffère du théorème en ce que dans l'exercice on ne suppose pas que la limite est la même quelle que soit la suite xn: à chaque suite (a priori) sa limite.

[invite51d17075]

l'exercice diffère du théorème en ce que dans l'exercice on ne suppose pas que la limite est la même quelle que soit la suite xn: à chaque suite (a priori) sa limite.

c'est ça.
donc pour montrer que i) = ii) de l'exercice, il faut montrer que les suites ont la même limite.
( l'implication ii)=>i) se déduit, elle, directement du théorème )

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

Merci j'ai compris. Montrons (i) => (ii)
On sait que si tend vers alors admet une limite .
Soit alors
Soit alors

Il faut montrer que

Je ne vois pas comment procéder...

[invite9dc7b526]

tu pourrais par exemple entremêler subtilement les deux suites pour en produire une troisième. Il te faudrait montrer que cette nouvelle suite tend bien vers a. L'hypothèse te dirait qu'elle converge et donc que ses valeurs d'adhérence sont toutes égales...

[invite9dc7b526]

correction: si zn est la suite produite à partir de xn et yn, il faut montrer que zn->a et que l et l' sont valeurs d'adhérence de la suite f(zn) <et pas de zn bien sûr>.

[mehdi_128]

Ok merci.

Posons : et

Soit la suite définie par et

On sait d'après le cours que donc admet une limite . Par extraction :

et

On en déduit le résultat voulu