Composition de limite

[mehdi_128]

Bonjour,

Soient 2 intervalles d'intérieur non vide de ainsi que et 2 fonctions telles que . Si :

et alors admet une limite en et

Je souhaite utiliser cette proposition pour l'exercice suivant.

Déterminer pour et :

J'ai du mal à trouver qui est et qui est ici. Il faut que ma fonction soit à valeurs complexes.
-----

[invite6710ed20]

Bonjour

La limite c'est tout simplement $exp(2i n \alpha)$

[mehdi_128]

Oui j'ai trouvé cela, mais quelle est la fonction ici ? Et quelle est la fonction ?

Car je ne comprends pas pour moi : or cette fonction est à valeurs complexes alors que dans le théorème du cours elle doit être à valeurs réelle

Et j'ai donc

Je ne comprends pas mon erreur.

[gg0]

Bonjour.

Tu ne peux pas appliquer un théorème sur la composition de fonctions réelles à des fonctions complexes, sauf à décomposer la fonction dont tu cherches la limite comme sa partie réelle plus i fois sa partie imaginaire (ce qui est pénible ici) puis appliquer éventuellement un théorème. Mais dans ce cas, le théorème n'est plus très utile.

Donc c'est un autre théorème global qu'il te faut (sur les fonctions complexe de la variable réelle, ou sur les fonctions de C dans C).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

Justement je suis dans la partie : extensions aux fonctions à valeurs complexes.

Soient 2 intervalles d'intérieur non vide de ainsi que et 2 fonctions telles que . Si :

et alors admet une limite en et

Et mon livre écrit : "il ne faut pas perdre de vue que les propriétés algébriques de composition peuvent être utilisées et sont souvent souples et efficaces."

Mais je ne comprends pas comment ici vu que ma fonction est à valeurs dans alors que dans le théorème c'est la fonction qui est à valeurs complexes.


Mon livre précise bien : doit impérativement être à valeurs réelles alors que est à valeurs complexes.

[invite51d17075]

Mon livre précise bien : doit impérativement être à valeurs réelles alors que est à valeurs complexes.

ton livre demande-il expressément de tenir compte de cette restriction dans le cadre de cet exercice ???

[mehdi_128]

@Ansset

Je n'ai pas trop compris le sens de votre remarque. La correction écrit directement le résultat en composant la limite. Mais j'ai voulu y voir plus clair en utilisant le théorème du cours et en voulant identifier qui est f qui est g etc... sauf que ça ne fonctionne pas car f n'est pas à valeur réelle.

[invite51d17075]

@Ansset

Je n'ai pas trop compris le sens de votre remarque. La correction écrit directement le résultat en composant la limite. Mais j'ai voulu y voir plus clair en utilisant le théorème du cours et en voulant identifier qui est f qui est g etc... sauf que ça ne fonctionne pas car f n'est pas à valeur réelle.

pourquoi vouloir utiliser un théorème qui n'est pas adapté ? ( tel que tu l'écris )

[mehdi_128]

Ansset, je n'arrive pas à appliquer le théorème

Je veux appliquer le théorème car la correction fait une composition de limite (sans l'expliquer) et c'est forcément ce théorème qu'il faut appliquer.

[gg0]

Encore une fois, vouloir appliquer un théorème qui ne s'applique pas n'est pas sérieux. Soit tu as un théorème adapté, soit tu fais autre chose ... En fait, il y en a un très général pour les applications de C dans C, et un autre pour fog avec f de C dans C et g de R dans C. Ce sont des cas particuliers des notions de limites dans les espaces métriques.

[azizovsky]

Sans trop compliquer, si tu pose ....

[mehdi_128]

Encore une fois, vouloir appliquer un théorème qui ne s'applique pas n'est pas sérieux. Soit tu as un théorème adapté, soit tu fais autre chose ... En fait, il y en a un très général pour les applications de C dans C, et un autre pour fog avec f de C dans C et g de R dans C. Ce sont des cas particuliers des notions de limites dans les espaces métriques.

@Ggo

Je suis bête, je pense avoir compris
Les propriétés sur le produit de limites finies d'un produit sont valables dans C, il suffit de remplacer la valeur absolue par le module.

Pour tout on a :

Par produit comme n est entier naturel :

[gg0]

Donc tu laisses tomber la composition.

[invite51d17075]

Dans le fond est ce demandé, ce n'est pas clair.

Je souhaite utiliser cette proposition pour l'exercice suivant.

Déterminer pour et :
........
.

car rien n'interdit de rechercher la limite dans les complexes sans passer par une composition de fonction telle qu'il "souhaitait" le faire.
pourquoi faire simple quand on ....

[mehdi_128]

Non ce n'était pas demandé mais dans le cours juste avant il y avait le résultat sur la proposition de limite, je suis parfois têtu.