Bonjour,
Je vous propose une petite énigme de maths.
Définition : un groupe H fini est dit sous-optimale si
Un groupe sous-optimal d'ordre pair est-il, forcément, abélien ?
S'il y a des personnes intéressées et que personne ne trouve je donnerais la solution.
Bonne journée.
Que signifie le alpha entre le G et le H ?
:= G est un sous-groupe de H
Je crois que ça veut dire sous-groupe.
Si vous savez répondre à la première question vous pouvez passer à la deuxième :
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La solution passerait-elle par le centre du groupe H ?
Je suppose p premier différent de 2.
Je m'intéresse au centre de H, groupe que j'appelle Z.
Il y a 3 cas.
a) ordre de Z = ordre de H. c'est fini, ça veut dire que H est abélien.
b) ordre de Z = 2 ou p. Dans ce cas l'ordre de H/Z vaut respectivement p ou 2.
Donc Z/H est un groupe cyclique, donc monogène. Or si H/Z est monogène alors H est abélien, ce qui est une contradiction avec le fait que ordre de Z = 2 ou p.
En fait le cas b) est impossible.
c) Ordre de Z = 1. Là je coince.
Envoyé par pilum2019
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Ah oui, , l'ordre de Z ne peut pas être égal à 1, à cause de la sous-optimalité de H.
L'ordre de h = 2 p. En appliquant la théorie de Sylow, on sait qu'il existe un élément a de h d'ordre p, et un élément b de h d'ordre 2.
p étant premier distinct de 2, b ne peut pas se mettre sous forme d'une puissance de a (il n'est pas dans le sous-groupe engendré par a).
Or tout élément de H est soit une puissance de a soit une puissance de a fois b, ou une puissance b fois a (on quotiente par le sous-groupe engendré par a).
Si a et b commutent, c'est fini, H est abélien.
On suppose maintenant que a et b ne commutent pas.
La question qui se pose est quel est l'ordre de ab ?
Cela ne peut pas être 1, car b serait une puissance de a, ou commuterait avec a.
Cela ne peut pas être 2p, car sinon H serait monogène donc abélien.
C'est soit p, soit 2.
Si c'est 2, alors ab engendre un sous-groupe de H d'ordre 2.
Or selon la sous-optimalité, le nombre de sous-groupes d'ordre 2 est <= 1.
Donc il y a un seul sous groupe d'ordre 2 : c'est celui engendré par b. comme ab différent de b alors il est impossible que l'ordre de ab soit égal à 2.
Donc l'ordre de ab est p.
Donc (ab)^p = 1.
Or on démontre, de proche en proche, que (ab)^p = b(a^n), pour un certain entier n.
En effet ab = b a^k, pour un certain entier k. Et de plus (ab)^p = (ab) (ab) .......(ab) p fois.
On trouve alors que (ab)^p = b^p (a ^n), pour un certain entier n.
Mais comme p est impair, alors b^p = b. Donc (ab)^p = b a ^n, pour un certain entier n.
Or on avait (ab)^p = 1 donc b(a^n) = 1. Contradiction car cela entraine que b est une puissance de a.
on avait supposé que a et b ne commutent pas, et cela entraine une absurdité, donc a et b commutent.
Si a et b commutent , alors H est abélien.
En fait il n'y avait pas besoin de considérer le centre de H....
Dernière modification par pilum2019 ; 29/09/2019 à 20h12.
@Pilum : Bravo.
Je me permets de mettre ici l'explication que j'avais en tête :
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