Démonstration

[mehdi_128]

Bonjour,

Soit une fonction, étant un intervalle de . Je cherche à montrer le résultat suivant :
où si et seulement si et que l'on a, lorsque :

J'ai essayé une récurrence. Notons la propriété : et


Au rang le résultat est vrai. En effet, .
Par ailleurs, car

Supposons que pour fixé on ait :

J'ai écrit : d'après l'hypothèse de récurrence.

Et je suis bloqué à ce stade de ma démonstration.

Et aussi

Pareil je suis bloqué ici
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[gg0]

Bonjour.

Ton message est en grande partie incompréhensible parce que tu utilises des conventions LaTeX d'un autre forum, qui a un interpréteur plus efficace que celui-ci. Tu pourrais au moins relire .

Sinon, une remarque : Une fonction complexe de la variable réelle est continue ou dérivable si et seulement si sa conjuguée l'est et la dérivée de sa conjuguée est la conjuguée de sa dérivée. Tout cela est conséquence immédiate de l'écriture f(x) = rf(x)+ i if(x) où rf et if sont des fonctions de R dans R.

[mehdi_128]

D'accord merci Ggo.

Montrons d'abord le résultat intermédiaire.
est dérivable en si et seulement si est dérivable en . Et on a alors

On sait que

Ainsi :

La limite du taux d'accroissement étant fini on a alors

A présent, je m'attaque à la récurrence sur l'entier .
L'initialisation est trivial. est continue si et seulement si est continue. Elle nous servira pour l'hérédité.

Supposons que
On a alors d'après l'hypothèse de récurrence.
Mais d'après le résultat préliminaire,

Supposons que l'on ait .

On a : toujours d'après le résultat préliminaire.

Le résultat est démontré par récurrence

[gg0]

Quelle complication !

Et je ne sais toujours pas ce que tu veux démontrer !!
En tout cas :
est dérivable si rf et if le sont, donc l'est et par linéarité,
et de façon générale, la linéarité donne .

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

@Ggo

Le souci est que dans mon livre, on donne la propriété que vous utilisez après ce résultat. C'est pour cela que je n'ai pas voulu utiliser cette méthode.

Mais en effet, c'est beaucoup plus simple avec votre méthode.

[mehdi_128]

COmment ça je ne sais pas ce qu'il faut démontrer ?

J'ai démontré par récurrence que :

si et seulement si et :

[gg0]

C'est moi qui ne savais pas ("je", quand c'est moi qui écris, qui est-ce ?). Tu n'as pas repris ton premier message pour le rendre lisible ! C'est d'ailleurs assez impoli !
Et l'ordre de ton livre, on s'en moque. Un complexe s'écrit toujours sous la forme a+ib où a et b sont des réels (cours de terminale) et ça s'appmlique à f(x).

[mehdi_128]

Désolé mais je ne pouvais plus modifier le premier message.

Je voulais dire que la propriété suivante est démontré juste après dans le livre, donc c'est pour cela que j'ai essayé de faire sans :

est dérivable en si et seulement si et sont dérivables en . Et l'on a :

[gg0]

Tu pouvais le copier ("répondre avec citation") et le rectifier !! Depuis le temps que tu es sur ce forum ...