Cauchy, convergence et [TEX]\mathbb{R}[/TEX]

[jtruc34]

Bonjour,

J'écris cette fois-ci pour partager mon émerveillement dû à plusieurs concepts obscurs s'étant imbriqués soudainement dans ma tête. Cela peut sembler futile, mais j'aimerais aussi contrôle que je ne me suis pas dit n'importe quoi, et de toute manière, la joie des mathématiques n'a pas à être justifiée.

Avant de m'endormir, je pensais à quelques notions que j'ai apprises en lisant des articles Wikipédia, brumeux aux yeux d'un novice. Cela remonte à deux ans avant ma maturité (équivalent suisse du bac), où notre professeur de mathématiques nous avait démontré la convergence de la suite . Pour cela, elle a montré qu'elle était majorée et croissante, et donc elle convergeait.

Je lui ai demandé comment on pouvait prouver qu'une suite croissante et majorée convergeait effectivement, et la démonstration qu'elle m'a donnée utilisait la propriété de la borne supérieur, à savoir que tout partie non-vide et majorée de possède une borne supérieure. Je me suis demandé pourquoi cela était vrai. J'ai essayé de le démontrer tout seul mais je ne savais même pas quels axiomes je pouvais utiliser. Parallèlement, je m'étais également dit que devait probablement être construit à partir de suites convergentes .

J'ai également lu la définition de la complétude d'un espace métrique, qui m'a semblé à première allure plutôt étrange et arbitraire, et certainement pas nécessairement intuitive. J'ai eu du mal à y mettre du sens.

Puis, j'ai oublié tous ces problèmes, car les maths ont jusque là toujours été pour moi un passe-temps, et parce que j'ai fait d'autres choses qui ne m'ont pas poussé à réfléchir aux maths.

Pour une raison inconnue, j'y ai repensé aujourd'hui et je suis allé voir l'article Least-upper-bound property, et dans la section Proof/Logical Status, j'ai lu quelque chose qui m'a fait tout comprendre (je crois). Cette propriété est soit prise comme axiome, soit, dans un cas plus constructiviste (qui m'intéresse pluss, je ne sais pas pourquoi), démontrée à partir de la façon de construire .

Tout à coup, j'ai compris que ça n'avait aucun sens de construire à partir de suite convergente dans puisque les suites qui convergent vers des nombres irrationnels ne convergent justement pas dans . Il faut donc un autre critère, et par exemple, celui des suites de Cauchy est bien définissable. Ma définition est donc que est l'ensemble des classes d'équivalences des suites de Cauchy dans , où deux suites sont équivalentes si leur différence terme par terme tend vers .

J'ai par la suite compris l'intuition de la définition de la complétude, puisque, par construction, est complet. De plus, il s'avère que la propriété de la borne supérieure est une définition de la complétude équivalente à celle des suites de Cauchy. possède donc cette propriété parce qu'il est complet.

Bon, plus j'y réfléchis, puis je vois les deux trous qu'il reste. Premièrement, il faut que j'essaie de comprendre le lien entre la convergence des suites de Cauchy et la propriété de la borne supérieure. L'autre trou, c'est que la définition de par les suites de Cauchy n'est pas trivialement (à mes yeux) une complétion de . Pour montrer que les suites de Cauchy convergent bien dans , j'imagine qu'il suffit de définir correctement l'addition et un ordre entre les suites des Cauchy...

Tout ça m'a l'air infernal mais c'est peut-être parce qu'il est trois heures du matin.
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[Médiat]

Bonjour,

Vous semblez avoir compris pas mal de choses, et, si de mon côté j'ai compris votre question, vous avez un doute sur la convergence des suites de Cauchy réelles (l'addition est l'addition usuelles des suites), pour ce point : soit Un une suite de Cauchy réelles, alors il est facile de construire une suite de rationnels, qui soit de Cauchy et qui soit équivalente à Un (pour la relation dont vous parlez) donc ayant même limite qui est donc réelle

[gg0]

Bonjour.

Une bonne réflexion, mais peut-être un peu tardive ?

Il existe plusieurs constructions de , les plus connues étant la complétion par les suites de Cauchy, et les coupures de Dedekind. Si tu traites les suites de Cauchy, comme il y a une infinité de suites de Cauchy de rationnels qui ont pour limite un rationnel, ou pour "limite" un irrationnel, il faut quotienter par une relation d'équivalence adaptée (qui traduit "a la même limite dans ", sans sortir de ). Ensuite, il y a un gros travail pour justifier les propriétés habituelles de .
C'est fait dans la plupart des anciens bouquins de prépas/Licence, par exemple dans le Ramis-Deschamps-Oddoux des années 1990. Dans le tome 3 (Topologie et éléments d'analyse) cela prends presque 9 pages, dans une présentation généraliste : On part d'un corps (commutatif) complétement ordonné, qu'on complète, puis on applique au cas de , suivies de 13 pages de propriétés toutes démontrées y compris la caractérisation de comme l'unique corps (commutatif) archimédien complet (à isomorphisme près). Mais cette propriété est en petits caractères (hors programme des prépas).

Cordialement.

[jtruc34]

@Médiat :
Je suppose que si on a une suite de Cauchy de nombres associée à , la suite de réels dont on cherche la limite, on aimerait bien qui tende vers 0. On peut se convaincre facilement que est associé à la suite de Cauchy . Pour tout , on veut donc un rang tel que . Or, d'après la relation d'ordre définie sur les suites de Cauchy, cela peut se récrire en . Ça ressemble à la définition de Cauchy, mais ce n'est pas tout à fait ça.

Le problème, c'est que la définition de Cauchy me donne un rang à partir duquel , et il se peut très bien que pour un certain ce soit toujours plus grand que le du . Il faudrait que je puisse choisir uniquement des qui convergent suffisamment vite, de sorte à ce que , mais je ne vois pas bien comment trouver un tel ensemble de .

@gg0
D'accord, ça me conforte de savoir que je fais un travail qui est couramment enseigné et que ce n'est pas une lubie sans sens (c'est purement subjectif, je sais).

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

bonjour,

les choses sont un peu plus compliquées que tu ne le penses. Quand tu construis R à partir de Q tu ne peux pas supposer l'existence de la fonction valeur absolue, il faut montrer que tu peux définir une telle fonction entre classes de suites de rationnels.

[Médiat]

jtruc34,

Je ne suis pas sûr de comprendre vos notations, mais pour trouver la suite de rationnels, il suffit de savoir que chaque réel peut être approximé, avec la précision que l'on veut par un rationnel.

Si les constructions de IR vous intéressent, j'en ai recensé 25 + 1 méta-méthode + 2 axiomatisations

[larryloiseau]

Bonjour,

Cela fait un moment que je ne parviens pas à résoudre les exercices où il faut montrer qu'une suite est de Cauchy. Est-ce qu'il y a une méthode ? Ou un certain mécanisme ?
Voila deux exemples:
1) Montrer que (an) est une suite de Cauchy `a partir de la d ́efinition. a1 := 2,
puis an = 2 an−1 + 2 pour n ≥ 2.

2) Montrer que la suite (xn) donn ́ee par x0 = 0 et xn = (−1)n quand n > 0, est de Cauchy.

Merci beaucoup

[gg0]

Bonjour.

Quel rapport avec le sujet du fil de discussion ?

A priori, tes deux exemples sont surtout des exemples d'exercices faux. les deux suites que tu donnes ne sont pas des suites de Cauchy :
Ni a₁ = 2, puis a_n = 2 a_n−1 + 2 = 2 a_n +1 pour n ≥ 2.
Ni a₁ = 2, puis a_n = 2 a_n−1 + 2 pour n ≥ 2.
Ni x₀ = 0 et x_n = (−1)n = -n quand n > 0
Ni x₀ = 0 et x_n = (−1)ⁿ quand n > 0

Le mieux est que tu revoies exactement ce qu'est une suite de Cauchy (dans elle a une limite finie) en relisant et apprenant la définition, puis que tu revoies des exercices véritables, essaies de les traiter, puis en cas de difficulté, refasses un nouveau sujet en donnant l'exercice, ce que tu as fait et où tu coinces.

Cordialement.

NB : En mode répondre ou en "mode avancé", tu as des boutons au dessus de la zone de texte pour les indices et les exposants.