Mesure de Lebesgue

invitedcfd80cd · 23/10/2019, 19h11

Bonjour,
En cherchant un contre exemple pour un exercice j'ai du exhiber un ouvert $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

Je me pose donc maintenant la question de savoir si on peut trouver un fermé $\text{[math]}$ tel que: $\text{[math]}$ mais je n'en trouve pas, même question si $\text{[math]}$ n'est pas fermé mais juste une partie quelconque si ce n'est pas possible pour les fermés.
Merci

**pilum2019** · 23/10/2019, 20h19

Qu'est-ce que tu appelles m : la mesure de Lebesgue ?
Et si tu prenais F = U barre ?

Je suis preneur de ton ouvert U

invite23cdddab · 23/10/2019, 20h33

Tu peux regarder du coté des "ensembles de Cantor gras" :

La construction est la même que pour les ensembles de Cantor, sauf que tu retires des morceaux de longueur plus petite, de telle sorte que la mesure totale des morceaux retirés soit inférieure à 1.

Dans le cas de l'ensemble de Cantor classique, on retire à chaque étape $\text{[math]}$ morceaux de taille $\text{[math]}$ , ce qui fait que la mesure totale des morceaux retirés est de

$\text{[math]}$

Mais si tu retires des morceaux de longueur $\text{[math]}$ , la mesure de l'ensemble retiré est de

$\text{[math]}$ , ce qui veut dire que l'ensemble de Cantor a une mesure de Lebesgue égale à 3/4 (tout en ayant les mêmes propriétés : Compact, dense nul part, d'intérieur vide, etc.)

invitedcfd80cd · 23/10/2019, 20h52

Oui $\text{[math]}$ est bien la mesure de Lebesgue.

Pour trouver $\text{[math]}$ j'ai utilisé le résultat d'un exercice que j'ai trouvé sur une planche:

Soit $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ une indexation des rationnels contenus dans $\text{[math]}$ .

On pose: $\text{[math]}$

Il vient, $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$

Ensuite:
On a:

$\text{[math]}$ par densité des rationnels, donc $\text{[math]}$

On choisit $\text{[math]}$ ,

Il vient: $\text{[math]}$

Puis $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ contient au moins un ouvert non vide,

Donc:
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ne convient pas car $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on aurait donc $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitedcfd80cd · 23/10/2019, 20h58

Tryss 2, merci pour votre réponse!
Cependant j'aurais souhaité en plus que la mesure de l'intérieur soit strictement positive, donc l'intérieur vide ne convient pas.

**pilum2019** · 23/10/2019, 21h44

Naivement, Si on appelle T l’ensemble décrit par tryss, on a donc m(T) = 3/4 et m(T°) = 0.
Et si on pose F = T U [ 5 ; 10 ].
On a donc m(F) = 0,75 + 5 = 5,75.
Et F° = ] 5 ; 10[. m(F°) = 5.
Cela convient ou non ?

invitedcfd80cd · 23/10/2019, 21h52

ça a l'air d'être bon, merci !

Mesure de Lebesgue