sous extension quadratique

[maatty]

Bonsoir à tous,
dans un exercice je dois trouver toutes les sous-extensions quadratiques de . J'en ai trouvé 3:; je ne pense pas qu'il y en ait d'autres mais comment le démontrer (si c'est bien le cas)
Je vous remercie par avance de vos lumières
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[pilum2019]

si Q(u) est une sous ext quadratique, alors u² est un rationnel, mais u n'est pas rationnel.
et de plus u doit être une combi linéaire (avec des rationnels) de 1 et des racines carrées de 3, de 7, et de 21.
Il me semble que cela entraine que u est la racine de 3, de 7, ou de 21, à une consntante multiplicative rationnelle près.

[pilum2019]

Il y a aussi le cas ou u² = au + b, avec a et b rationnel.Donc dans ce cas u² n'est pas rationnel.
Mais si on pose w = u -a/2, alors v² est rationnel, et Q(v) = Q(u).
Donc on peut toujours se ramener au cas où u² est rationnel.

[maatty]

Merci pour vos précisions.

[A voir en vidéo sur Futura]