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sous extension quadratique



  1. #1
    maatty

    sous extension quadratique


    ------

    Bonsoir à tous,
    dans un exercice je dois trouver toutes les sous-extensions quadratiques de . J'en ai trouvé 3:; je ne pense pas qu'il y en ait d'autres mais comment le démontrer (si c'est bien le cas)
    Je vous remercie par avance de vos lumières

    -----

  2. #2
    pilum2019

    Re : sous extension quadratique

    si Q(u) est une sous ext quadratique, alors u² est un rationnel, mais u n'est pas rationnel.
    et de plus u doit être une combi linéaire (avec des rationnels) de 1 et des racines carrées de 3, de 7, et de 21.
    Il me semble que cela entraine que u est la racine de 3, de 7, ou de 21, à une consntante multiplicative rationnelle près.

  3. #3
    pilum2019

    Re : sous extension quadratique

    Il y a aussi le cas ou u² = au + b, avec a et b rationnel.Donc dans ce cas u² n'est pas rationnel.
    Mais si on pose w = u -a/2, alors v² est rationnel, et Q(v) = Q(u).
    Donc on peut toujours se ramener au cas où u² est rationnel.

  4. #4
    maatty

    Re : sous extension quadratique

    Merci pour vos précisions.

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