Bonjour à tous,
Dans mes cours je suis tombé sur cette affirmation :
Soient X~N(0;1) et Y~N(m;1). Notations : FdRS la fdr de aX+bY | FdR la fdr de N(0;1)
Alors FdRS(x) = aFdR(x) + bFdR(x-m)
Cela me semble plutôt logique mais je coince totalement pour le prouver. J'ai essayé avec le produit de convolution mais ça n'aboutit pas.
Merci pour votre aide,
Bonne journée à vous.
Et en dérivant d'abord ?
c'est manifestement faux. Prends a=2 b=0 alors S=2X et d'après ta formule la fonction de répartition de S devrait être 2 fois la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et donc sa limite en +infini serait 2, et donc ça ne serait pas une fonction de répartition.
Oui c'est faux.
De plus je suppose que X et Y sont indépendantes.
Dans ce cas tu as immédiatement la fonction de répartition de la somme. Pas besoin de produit de convolution, même si ça va t'amener au même résultat.
aX + bY suit une loi normale et
La moyenne de aX+bY est a(0) + b(m).
l'écart-type de aX+bY est...je te laisse chercher.
Dernière modification par pilum2019 ; 02/11/2019 à 14h28.
manque peut être une condition sur a+b ?
Ok je viens de comprendre, merci pour vos réponses.
Je n'avais pas précisé que a+b=1.
Dans ce cas il suffit de partir du fait que la densité de X+Y est f(x)=af1(x)+bf2(x) ?
Si c'est bien vrai (c'est là-dessus que je tique en fait) il suffit d'intégrer. Puis FdRS(x)=aFdR(x)+bFdR(x-m).
pilum2019 : L'écart-type serait sqrt(a²+b²) et on aurait X+Y~N(bm;a²+b²) si je ne me trompe pas.
Non la densité de X1 + X2 n'est pas f1 + f2, mais le produit de convolution de f1 et f2.
Ici nul besoin de la convolution puis que tu as déjà la densité :
aX + bY suit la loi N(bm, a²+b²).
Du coup tu as automatiquement la fonction de répartition de aX + bY, qu'il ne reste plus qu'à comparer
avec a FdR(x) + b FdR(x-m).
