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Fonction de répartition d'une somme de lois normales



  1. #1
    Latinus

    Fonction de répartition d'une somme de lois normales


    ------

    Bonjour à tous,

    Dans mes cours je suis tombé sur cette affirmation :

    Soient X~N(0;1) et Y~N(m;1). Notations : FdRS la fdr de aX+bY | FdR la fdr de N(0;1)
    Alors FdRS(x) = aFdR(x) + bFdR(x-m)

    Cela me semble plutôt logique mais je coince totalement pour le prouver. J'ai essayé avec le produit de convolution mais ça n'aboutit pas.

    Merci pour votre aide,

    Bonne journée à vous.

    -----

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  3. #2
    ansset

    Re : Fonction de répartition d'une somme de lois normales

    Et en dérivant d'abord ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  4. #3
    minushabens

    Re : Fonction de répartition d'une somme de lois normales

    c'est manifestement faux. Prends a=2 b=0 alors S=2X et d'après ta formule la fonction de répartition de S devrait être 2 fois la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et donc sa limite en +infini serait 2, et donc ça ne serait pas une fonction de répartition.

  5. #4
    pilum2019

    Re : Fonction de répartition d'une somme de lois normales

    Oui c'est faux.
    De plus je suppose que X et Y sont indépendantes.
    Dans ce cas tu as immédiatement la fonction de répartition de la somme. Pas besoin de produit de convolution, même si ça va t'amener au même résultat.

    aX + bY suit une loi normale et
    La moyenne de aX+bY est a(0) + b(m).
    l'écart-type de aX+bY est...je te laisse chercher.
    Dernière modification par pilum2019 ; 02/11/2019 à 14h28.

  6. #5
    ansset

    Re : Fonction de répartition d'une somme de lois normales

    manque peut être une condition sur a+b ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Latinus

    Re : Fonction de répartition d'une somme de lois normales

    Ok je viens de comprendre, merci pour vos réponses.
    Je n'avais pas précisé que a+b=1.

    Dans ce cas il suffit de partir du fait que la densité de X+Y est f(x)=af1(x)+bf2(x) ?
    Si c'est bien vrai (c'est là-dessus que je tique en fait) il suffit d'intégrer. Puis FdRS(x)=aFdR(x)+bFdR(x-m).

    pilum2019 : L'écart-type serait sqrt(a²+b²) et on aurait X+Y~N(bm;a²+b²) si je ne me trompe pas.

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  10. #7
    pilum2019

    Re : Fonction de répartition d'une somme de lois normales

    Non la densité de X1 + X2 n'est pas f1 + f2, mais le produit de convolution de f1 et f2.
    Ici nul besoin de la convolution puis que tu as déjà la densité :
    aX + bY suit la loi N(bm, a²+b²).
    Du coup tu as automatiquement la fonction de répartition de aX + bY, qu'il ne reste plus qu'à comparer
    avec a FdR(x) + b FdR(x-m).

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