Explications complementaires a propos du defi de Médiat

[Médiat]

Bonjour,

désolé,

Aucune raison d'être désolé, et je connais au moins 2 personnes ravis de vous répondre ici.

Déjà dans la formulation des axiomes des groupes sans torsion par Médiat, il y'avait quelque chose qui m'interpellais, pourquoi insistait vous sur le n qui est à l'extérieur , j'ai pensé qu'on peu aximatiser avec ça , mais le n'est pas encore définit, j'ai pensé au transfinis , càd , d'après ce qui j'ai compris de l'AP (même axiomatisation du 1 er ordre) , là je suis largué car dans les formules le n 'est pas encore défini ...

Ce n'est pas grave que IN ne soit pas défini ici, les entiers naïfs utilisés ne sont pas ceux de Peano, mais ceux des élèves de CP, ce n'est qu'une façon de décrire (de faire comprendre) un schéma d'axiomes, dans le cas de AP, plutôt que de parler de il suffirait de dire, "Pour toutes les formules à une variable libre du langage de AP …"

Pour la compacité, on'a déjà extraire (avec torsion) pour une partie finie d' axiomatisation des groupes sans torsion, donc l'axiomatisation avec une partie fini donne un autre modèle, mon raisonnement n'est pas ''compacte'' ?

Quand on utilise une partie finie d'une axiomatisation infinie (surtout si la théorie n'est pas finiment axiomatisable) il ne faut pas s'étonner si on trouve des modèles qui ne soient pas modèles de l'axiomatisation de départ, ce que l'on veut c'est juste montrer que chaque partie est consistante et un bon moyen c'est d'exhiber un modèle
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[azizovsky]

Merci médiat, je vais potasser les 'termes' utiliser avant leurs enchaînement.., mais je doit préparer mon thé, habitude non standard ....

[Médiat]

Je reviens sur la classe des groupes de torsion dont j'ai affirmé qu'elle n'était pas axiomatisable (au 1er ordre), voici la preuve :

Supposons qu'il existe un ensemble d'énoncés, consistant axiomatisant les groupes de torsion, si je rajoute au langage des groupes (+, 0) un symbole de constante et les axiomes



Pour toutes parties finies de ces axiomes, il existe un plus grand que tous les autres, et soit premier tel que alors est un modèle de cette partie finie (c'est un groupe de torsion (donc qui vérifie A), on peut interpréter par n'importe quel élément différent du 0 et tous les pour sont bien vérifiés) cette théorie est donc aussi consistante que (isoconsistante).

Manque de chance cette théorie est celle des groupes de torsion possédant un élément d'ordre infini elle n'est donc pas consistante, donc non plus

qed

Je cite cette méthode car elle est réutilisable.

Une classe de modèle qui est axiomatisable est dite classe élémentaire

[Médiat]

Conséquence : toute formule (ou ensemble de formules) du premier ordre vérifiée dans une infinité de pour premier est vérifiée dans un groupe qui n'est pas de torsion.

Le théorème d'Ax peut se démontrer en utilisant des propriétés du même genre (toute formule du 1er ordre vérifiée par les clôture algébrique des pour premier est vérifiée dans )

[azizovsky]

Ok, merci Médiat, je crois comprendre ta façon de faire ''ascendante'', l'autre ''descendante'' mais fait appel au théorème de compacité.