Groupe cyclique

[invite0aa21a55]

Bonjour,

Je me demandais comment montrer efficacement qu’un groupe est cyclique. Il faut montrer qu’il existe un élément qui l’engendre, mais cela peut s’avérer fastidieux ? Par exemple, pour montrer que (Z/35Z, X) est cyclique, on doit regarder toutes les puissances successives du générateur pour trouver les 34 éléments ?
On peut également montrer qu’il existe un élément dont l’ordre est égal au cardinal, mais ce n’est pas dit qu’on y arrive.
Je m’interroge en fait sur comment bien s’y prendre pour montrer qu’un groupe du type Z/nZ est cyclique.

Merci d’avance
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[syborgg]

Tous les groupes Z/nZ sont cycliques car ce sont des quotients du groupe Z lui meme cyclique (engendre par 1).
( tout quotient d'un groupe cyclique engendre par un element a est cyclique, engendre par la classe de a dans le quotient ; tres facile a verifier...)

[invite0aa21a55]

Bonjour,
Merci de ta réponse, mais nous n’avons pas vu la notion de quotient de groupe.

[syborgg]

Bonjour,
Merci de ta réponse, mais nous n’avons pas vu la notion de quotient de groupe.

Comment avez vous definit les groupes Z/nZ alors ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0aa21a55]

Je viens de comprendre, je n’avais pas fait le lien. Mais je ne comprends pas, car Z n’est pas fini donc il n’est pas cyclique ?
On a vu que tout sous-groupe d’un groupe cyclique était cyclique, mais on ne peut pas appliquer ce résultat ici (Z étant infini), non?

[syborgg]

Je viens de comprendre, je n’avais pas fait le lien. Mais je ne comprends pas, car Z n’est pas fini donc il n’est pas cyclique ?
On a vu que tout sous-groupe d’un groupe cyclique était cyclique, mais on ne peut pas appliquer ce résultat ici (Z étant infini), non?

La liste complete des groupes cycliques est constituee de Z (le seul groupe cyclique infini) et des Z/nZ (tous finis).
Comprends tu pourquoi 1 engendre le groupe Z ?
Et tu ne m'as pas dis comment avez vous definit les Z/nZ ?

[invite0aa21a55]

Dans mon cours, un groupe cyclique est par définition un groupe monogène et fini.
Si on considère le groupe (Z,+), gr(1) = {k*1,k appartenant à Z} = Z, donc 1 engendre le groupe Z
On a défini Z/nZ comme l’ensemble des classes d’équivalence modulo n

[syborgg]

Dans mon cours, un groupe cyclique est par définition un groupe monogène et fini.
Si on considère le groupe (Z,+), gr(1) = {k*1,k appartenant à Z} = Z, donc 1 engendre le groupe Z
On a défini Z/nZ comme l’ensemble des classes d’équivalence modulo n

Ok alors dans ton cours la definition d'un groupe monogene n'est pas la bonne : un groupe monogene est un groupe engendre par un seul element. Comme tu le vois pour Z, il n'est pas necessairement fini....
Et pour prouver que Z/nZ est monogene, il suffit de voir que la classe modulo n de 1 engendre Z/nZ, mais je crois que tu as compris pourquoi maintenant non ?

[invite0aa21a55]

On a vu qu’un groupe monogène est un groupe dont il existe un x tel que G = gr(x). Tu dis que ce x doit être unique ?
Oui, (Z/nZ, +) est monogène car Z/nZ = gr(1). Je viens de me rendre compte que ma question initiale était fausse. Je me posais la question pour le groupe des inversibles du monoïde (Z/nZ, X), X étant la loi multiplicative habituelle. Tous ne sont pas cycliques comme le groupe des inversibles de Z/12Z. Comment prouver qu’un tel groupe, si il l’est, est cyclique.
Merci pour ton aide

[syborgg]

On a vu qu’un groupe monogène est un groupe dont il existe un x tel que G = gr(x). Tu dis que ce x doit être unique ?
Oui, (Z/nZ, +) est monogène car Z/nZ = gr(1). Je viens de me rendre compte que ma question initiale était fausse. Je me posais la question pour le groupe des inversibles du monoïde (Z/nZ, X), X étant la loi multiplicative habituelle. Tous ne sont pas cycliques comme le groupe des inversibles de Z/12Z. Comment prouver qu’un tel groupe, si il l’est, est cyclique.
Merci pour ton aide

Je n'avais pas su interpreter ton "X" dans le premier message, maintenant je comprends. Tu poses donc la question de la structure des elements inversibles de l'anneau Z/nZ.
C'est une autre paire de manche, car cela necessite de connaitre un peu d'arithmetique, de theorie des corps, et le theoreme chinois.
C'est un exercice qu'on te donne ou c'est juste une curiosite personnelle ?

[invite0aa21a55]

On m’a donné un ou deux exercices demandant de montrer que le groupe des unités de Z/nZ est cyclique, et je n’ai pas su y répondre ou formaliser une méthode. On a vu que chaque sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique, (il en existe d’ailleurs un et un seul dont l’ordre divise l’ordre du groupe), c’est déjà un premier résultat qui peut nous permettre de conclure. On sait également que si on trouve un élément qui engendre ce groupe et qu’il est fini, c’est gagné. Mais quand on a affaire a des groupes de cardinaux supérieurs à 10, il faut montrer (si je ne me trompe pas) qu’on retombe bien sur tous les élements du groupe grâce aux puissances successives d’un générateur. Et on a également vu qu’un groupe est cyclique ssi il existe un élement dont l’ordre vaut le cardinal.
Le problème c’est que j’ai l’impression que toutes ces méthodes sont plus calculatoires et demande une part de «*chance*» de trouver un générateur ou le bon élément qui permettra de conclure. Par exemple, il était demandé de prouver que le groupe des inversibles de l’anneau Z/29Z était cyclique.
Nous n’avons pas vu le théorème chinois.
Merci

[syborgg]

Je commence par repondre a une question precedente : un generateur d'un groupe cyclique n'est pas forcement unique : par exemple, vois tu pour Z un autre generateur que 1 ?
Je reviens au probleme des unites de Z/nZ : si je comprends bien, les exercices qu'on te soumet demandent simplement d'examiner des cas particuliers n'est ce pas ?
Tout d'abord, sais tu caracteriser les unites de Z/nZ parmi tous les elements de Z/nZ ?

[invite0aa21a55]

Pour Z, -1 en est aussi un générateur. Plus généralement, pour tout groupe monogène infini, si x est un générateur, les seuls générateurs sont x et x^-1. My bad.
Oui, c’est cela.
Les unités de Z/nZ sont les classes d’équivalence des nombres premiers avec n, on a donc que le cardinal du groupe des unités de Z/nZ vaut l’indicatrice d’Euler évaluée en n.

[syborgg]

Pour Z, -1 en est aussi un générateur. Plus généralement, pour tout groupe monogène infini, si x est un générateur, les seuls générateurs sont x et x^-1. My bad.
Oui, c’est cela.
Les unités de Z/nZ sont les classes d’équivalence des nombres premiers avec n, on a donc que le cardinal du groupe des unités de Z/nZ vaut l’indicatrice d’Euler évaluée en n.

Ok donc pour Z/29Z les unites sont au nombre de 28 car 29 est un nombre premier. Il "suffit" donc de les passer en revue un par un, en commencant par la classe de 2, jusqu'a en trouver un qui soit d'ordre 28... un peu fastidieux je dois reconnaitre...
Plus generalement, avec un peu de theorie des corps, on montre facilement que tous les corps Z/pZ avec p premier, ont un groupe des unites cyclique.

[invite0aa21a55]

On a vu ce résultat en exercice, il me semble que ça part du principe que l’ordre d’un élément divise le cardinal du groupe (théorème de Lagrange), on a donc que l’ordre divise p premier, donc l’ordre vaut 1 ou p, il ne peut valoir 1 pour x différent de e, donc l’ordre vaut p. On a bien un élément dont l’ordre vaut le cardinal, ce qui conclut ?
En revanche, si n n’est pas premier, on ne peut pas conclure facilement ?

[syborgg]

Plus généralement, pour tout groupe monogène infini, si x est un générateur, les seuls générateurs sont x et x^-1. My bad.

Non : combien de generateurs possede un groupe monogene d'ordre premier p ?

[invite23cdddab]

Un groupe monogène d'ordre p n'est pas infini

[syborgg]

Un groupe monogène d'ordre p n'est pas infini

Oui autant pour moi, je n'avais pas lu le mot "infini" dans la phrase...mais alors le "plus generalement" etait superflu !

[invite0aa21a55]

Je disais quand G est infini. Sinon, dans le groupe (Z/nZ,+), il y a Phi(n) générateurs. Pour p premier, il y en a donc p-1.

[syborgg]

On a vu ce résultat en exercice, il me semble que ça part du principe que l’ordre d’un élément divise le cardinal du groupe (théorème de Lagrange), on a donc que l’ordre divise p premier, donc l’ordre vaut 1 ou p, il ne peut valoir 1 pour x différent de e, donc l’ordre vaut p. On a bien un élément dont l’ordre vaut le cardinal, ce qui conclut ?
En revanche, si n n’est pas premier, on ne peut pas conclure facilement ?

Attention, tu confonds structure additive et multiplicative pour Z/nZ : le raisonnement que tu fait montre que, pour la structure additive, tout element non nul de Z/pZ est un generateur. Mais cela ne dis rien sur la structure multiplicative. Pour cette structure multiplicative, il y a deux choses a demontrer : d'abord que l'anneau Z/pZ est un corps (ce qui suit de la caracterisation des unites dont tu as parle plus haut), et ensuite que le groupe des unites de ce corps est cyclique (c'est la ou doit utiliser un peu de theorie des corps, bien que fort peu a vrai dire).

[invite0aa21a55]

D’accord, merci pour ces informations. Une interrogation :
Si l’on prend G un groupe fini muni d’une loi multiplicative tel que Card G est premier. D’après le théorème de Lagrange, soit x un élément de G différent du neutre, l’ordre de x divise Card G. On se trouve ici en structure multiplicative, non ? Si oui, l’itéré est désigné par la puissance que l’on connait. Si on note m l’ordre de x, on a que m divise p. Donc m = 1 ou m = p. Or, x^1 n’est pas égal à e le neutre, donc x^p = x^m = e.
Ce raisonnement se place bien dans une structure multiplicative ou je me trompe quelque part ?
Si x^m =e, on a bien que G est cyclique.
En particulier, Z/pZ serait cyclique ?

On a vu que si card G = Card gr(x) = ordre(x) pour un groupe fini, alors G = gr(x) donc G est cyclique.
Merci d’avance

[syborgg]

D’accord, merci pour ces informations. Une interrogation :
Si l’on prend G un groupe fini muni d’une loi multiplicative tel que Card G est premier. D’après le théorème de Lagrange, soit x un élément de G différent du neutre, l’ordre de x divise Card G. On se trouve ici en structure multiplicative, non ? Si oui, l’itéré est désigné par la puissance que l’on connait. Si on note m l’ordre de x, on a que m divise p. Donc m = 1 ou m = p. Or, x^1 n’est pas égal à e le neutre, donc x^p = x^m = e.
Ce raisonnement se place bien dans une structure multiplicative ou je me trompe quelque part ?
Si x^m =e, on a bien que G est cyclique.
En particulier, Z/pZ serait cyclique ?

On a vu que si card G = Card gr(x) = ordre(x) pour un groupe fini, alors G = gr(x) donc G est cyclique.
Merci d’avance

Dans Z/nZ il y l'addiction et la multiplication (c'est un anneau). Pour l'addition c'est un groupe cyclique (meme si n n'est pas premier) car comme on a vu auparavent c'est un quotient de (Z,+) qui est lui meme cyclique. Pour la multiplication, on considere le groupe des elements inversibles (les unites). Si tu prends l'exemple de Z/pZ, avec p premier, (Z/pZ,+) est cyclique d'ordre p, et les unites de (Z/pZ, x) est un groupe cyclique d'ordre p-1, mais c'est un resultat qui exploite le fait que Z/pZ est un corps.

[Médiat]

Dans Z/nZ il y l'addiction

Il y a des correcteurs orthographiques qui sont vachement orientés

[syborgg]

Il y a des correcteurs orthographiques qui sont vachement orientés

J'ecris souvent trop vite, mais c'est peut etre un lapsus Freudien

[invite0aa21a55]

D’accord, je comprends. Ce qui ne nous permet pas de conclure c’est le fait que le cardinal soit p-1 et non p.
Petite question au passage, y’a t-il une différence entre l’ordre et le cardinal d’un groupe ?
Merci beaucoup pour votre aide

[syborgg]

D’accord, je comprends. Ce qui ne nous permet pas de conclure c’est le fait que le cardinal soit p-1 et non p.
Petite question au passage, y’a t-il une différence entre l’ordre et le cardinal d’un groupe ?
Merci beaucoup pour votre aide

Non cela designe la meme chose pour les groupes finis. Apres on peut parler du cardinal d'un groupe infini.