La loi du khi deux et le théorème central limite

[yanisoupas]

Bonjour, j'ai une question sur laquelle j'ai quelques doutes et ce serait gentil de me donner un coup de main, alors la question est la suivante : Si on a n variables aléatoires qui suivent une loi normale N(0,1) alors on sait que la somme de ces variables aléatoires élevés au carré suivent une Khi deux à n degré de liberté d'espérance n et de variance 2n, mais peut on appliquer le théorème central limite à ça ? C'est à dire est ce que ( somme des Xi^2 - n / racine de 2n ) suit une loi normale N(0,1) ? Le théorème central limite est applicable à X barre la moyenne empirique seulement non ? Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

On peut appliquer le théorème central limite à ce cas, et asymptotiquement, (*) ( (somme des Xi^2 - n )/ racine de 2n ) suit une loi normale N(0,1). Ce qui veut dire que (somme des Xi^2 - n )/ racine de 2n ne suit pas une loi Normale, mais s'en rapproche d'autant plus que n est grand.
En fait, tout dépend de quel TCL tu parles. Il y en a une version élémentaire, et une version générale, pour les variables aléatoires ayant une variance.

Cordialement.

[yanisoupas]

Merci pour la réponse mais on peut l'appliquer à cause du fait qu'on ai une variable qui suit une Khi deux n'est ce pas ? Ou bien c'est valable pour n'importe quelle loi... Un x qui suit une loi exponentielle par exemple ce ne serait pas applicable même si n est grand ?

[gg0]

Pas pour n'importe quelle loi, mais pour les lois qui ont une variance, oui. Le mieux serait que tu regardes un cours de bon niveau de probabilités, et la partie qui traite du théorème central limite.
La loi exponentielle a une variance, donc ...

[A voir en vidéo sur Futura]