Une série faisant intervenir la factorielle

**ArnoGreg** · 26/12/2019, 10h46

Bonjour,

je dois étudier la série de terme général $\text{[math]}$ .
J'ai un corrigé qui propose de démontrer par récurrence que $\text{[math]}$ et de conclure. J'y arrive.

Mais je me demande s'il n'est pas plus simple d'appliquer la règle de d'Alembert pour les séries à termes positifs ?

Vu que $\text{[math]}$ et que cette dernière expression tend vers 0 en $\text{[math]}$ , on peut conclure que $\text{[math]}$ converge.

Qu'en pensez-vous ?

**albanxiii** · 26/12/2019, 11h20

Bonjour,

Petite erreur de votre part : $\text{[math]}$ .

**ArnoGreg** · 26/12/2019, 12h08

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ non ?

Ce qui donne $\text{[math]}$

Et donc : $\text{[math]}$ .

Ou je me trompe ?

**FBMeca** · 26/12/2019, 12h37

Bonjour,

Il n'a pas dû voir le "!". Sans ce petit symbole, tout change, 1/n diverge comme vous le savez sûrement!

C'est parfaitement juste, et c'est la méthode à toujours appliquer. Après la question est de savoir ce que je recherche l'exercice, car si on ne comprend pas d'où vient d'Alembert, on est un peu en train de résoudre des problèmes à l'aveugle...

Cordialement.

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invite51d17075 · 26/12/2019, 12h50

Envoyé par ArnoGreg

Mais je me demande s'il n'est pas plus simple d'appliquer la règle de d'Alembert pour les séries à termes positifs ?

"plus simple" est relatif .
encore faut il la connaitre.
il existe beaucoup de règles, de lemmes, etc .... qui permettent d'aboutir autrement ou plus rapidement à un résultat.
pour autant, il est souvent utile de choisir une méthode de niveau "inférieur" quand c'est possible.
par ex , la majoration par les puissances inverses de 2 peut être comprise au Lycée, et je ne crois pas qu'on y apprend la règle de d'Alembert.

d'ailleurs, on ne peut apprendre ( et surtout retenir ) toutes les règles, et je ne suis pas sur que ce soit d'ailleurs le plus "pédagogique".

invite51d17075 · 26/12/2019, 14h05

d'ailleurs j'ai encore "plus simple" pour cette série.
$\text{[math]}$
et c'est fini. !

**ArnoGreg** · 27/12/2019, 11h08

Merci ansset.
C'est vraie qu'on peut le voir aussi comme cela !

Peut-on en déduire également la convergence des séries dont le terme général est $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ de la même manière ?

invite51d17075 · 27/12/2019, 11h16

Envoyé par ArnoGreg

Peut-on en déduire également la convergence des séries dont le terme général est $\text{[math]}$ ou encore $\text{[math]}$ de la même manière ?

je suis surpris que tu poses la question, sachant que ce sont exactement les mêmes séries !!! (auxquelles on enlève simplement 1 ou 2 premiers termes ).

**ArnoGreg** · 27/12/2019, 11h45

J'ai eu un petit doute en écrivant par exemple :
$\text{[math]}$

La série de terme général $\text{[math]}$ ne démarre qu'à n=2. Est-ce qu'il y a une erreur dans ce que j'écris ?

**gg0** · 27/12/2019, 11h58

Oui !

Les n-2 ne sont pas des n. Donc il faut rectifier les indices dans le seconde somme (Ansset le disait !!). Soustraire les termes en trop.

Cordialement.

**ArnoGreg** · 30/12/2019, 16h45

Je vois.

On a : $\text{[math]}$

Soit : $\text{[math]}$

Je pose : $\text{[math]}$ . Comme $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ .

Soit : $\text{[math]}$ .

Est-ce bien cela ?

**gg0** · 30/12/2019, 17h58

Heu ... tu ne retrouves pas la série dont tu parlais au message #9. Pas de problème pour
$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(n-2)!}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}=e$
sauf qu'on préfère ne pas utiliser la même lettre, et faire un changement d'indice, par exemple poser m=n-2. En le faisant, on voit si on a bien tous les termes de la formule.
C'était flou dans ton message #7, puisque tu ne disais pas à quelle valeur commence la série (pour la convergence, l'écriture du terme général suffit; pour la valeur, il faut connaître tous les termes).

Cordialement.

**ArnoGreg** · 31/12/2019, 10h00

Je vois.
Donc il est préférable d'écrire :

$\text{[math]}$ en posant $\text{[math]}$ .

Mais on a donc bien :
$\text{[math]}$

?

**gg0** · 31/12/2019, 10h11

Heu ... tu es sérieux ?
Tu écris un résultat avec sa preuve, puis tu demandes si c'est bien vrai.
C'est idiot de demander à des gens qu'on ne connaît même pas si des résultats sont vrais. Soit tu as une preuve, et tu n'as pas besoin de l'avis des autres, soit tu n'en as pas et tu as écrit n'importe quoi.

**ArnoGreg** · 31/12/2019, 10h31

Mais j'avais déjà écris ceci dans mon message précédent (le #9). Donc je pensais écrire une bêtise encore.

Désolé, je ne voulais pas paraître irrespectueux.

**gg0** · 31/12/2019, 11h36

En fait, au message #9, tu doutais déjà, mais après avoir donné le résultat sans preuve. De ce fait, je t'ai renvoyé à une méthode de preuve. C'est à toi d'être persuadé que c'est juste parce que tu l'as prouvé (application stricte de règles mathématiques). Revois ton doute du message #9 : Il ne portait pas sur des raisons mathématiques, seulement sur des différences d'écriture.

Cordialement.

invite51d17075 · 31/12/2019, 12h10

petit commentaire, car j'espère ne pas être la cause de ta confusion :
au départ , tu postes :

Peut-on en déduire également la convergence des séries dont le terme général est $\frac{1}{(n-1)!}$ ou encore $\frac{1}{(n-2)!}$ de la même manière ?

ce à quoi je réponds :

Envoyé par ansset

je suis surpris que tu poses la question, sachant que ce sont exactement les mêmes séries !!! (auxquelles on enlève simplement 1 ou 2 premiers termes ).

car il est évident que n-1 ou n-2 ne peut démarrer à n=0.(1)
et que tu ne précisais pas tes indices.
pour le reste, c'est une question de présentation, car, comme le mentionne gg0, il est usuel de ne pas prendre le même quand on fait des décalages de la sorte ( source de confusion , voir ma remarque (1) ).

mais je suppose que mon message est maintenant inutile après les différents échanges que vous avez eu.
Cdt

**ArnoGreg** · 31/12/2019, 12h37

Pas de souci pour moi !
C'est bien plus clair maintenant.
Et gg a raison, il faut que j'arrive à me persuader que ma preuve est bonne et donc prouve le résultat.
Je manque encore de confiance en moi.

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