Les notations de Landau
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Les notations de Landau



  1. #1
    ArnoGreg

    Les notations de Landau


    ------

    Bonjour,

    je revois les notations de Landau et je dois reconnaître que le grand O me pose quelques soucis.
    Supposons avoir une fonction f de classe avec lorsque tend vers .

    On définit la suite (u_n) par :

    si .

    On pose :
    lorsque cette somme converge.

    Je dois montrer que g est bien définie sur .

    Alors je vois bien venir le critère de Riemann pour les séries avec le .

    Mais j'ai du mal à le rédiger.

    Je pense que le noeud de l'affaire est de prouver que , ce que j'ai du mal à faire.

    Voici ce que j'écris. Au voisinage de , on a :

    d'après les données de l'énoncé.

    Ensuite, d'une part : .
    D'autre part : .

    D'où : .

    Qu'en pensez-vous ?
    Merci de votre aide !

    -----

  2. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Les notations de Landau

    Je n'aurais pas écrit sans justification
    .
    mais tu sais sans doute le faire.

    Je ne vois pas de problème, si tu connais les règles que tu appliques.
    Et si tu as un doute, tu reviens à la définition.

    Cordialement.

  3. #3
    ArnoGreg

    Re : Les notations de Landau

    Bonjour,

    oui, cela mérite une justification.

    Je pose .
    Alors, il existe une constante telle qu'au voisinage de , .

    Or :



    .

    Donc :

    .

    Ainsi, .

    Ce qui prouve que .

    Donc : .

    Qu'en pensez-vous ?

  4. #4
    ArnoGreg

    Re : Les notations de Landau

    Posons et .
    Ainsi, il existe une constante et une constante telles qu'au voisinage de on ait :



    Par conséquent :


    Ainsi il existe bien une constante telle qu'au voisinage de on ait .

    C'est donc que .

    D'où .

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Les notations de Landau

    OK pour le message #4, mais gros problème pour le #3 :
    "g est bien définie sur ." signifie "g(x) existe pour tout x réel", soit encore "la série converge simplement sur "
    La convergence de la série est pour chaque x, donc tu dois traiter de ce qui se passe sur n pour x fixé. C'est quand même dommage de ne pas avoir vu ça tout de suite, car un raisonnement de même type (un peu plus délicat) portant sur n donne immédiatement le bon résultat.
    En fait, tout ce qui suit x>n n'a aucun sens, puisque la valeur de x est quelconque dès le début, donc il n'y a aucune raison que x (fixé) soit supérieur à n (variable) et même ne peut avoir lieu en même temps que n tend vers l'infini (donc dépasse tout nombre, x compris).

    A toi de repenser tout ça correctement.
    Dernière modification par gg0 ; 28/12/2019 à 13h54.

  7. #6
    ArnoGreg

    Re : Les notations de Landau

    Je vois.
    J'ai fais dans la précipitation, je n'aurai pas dû ! Je propose d'écrire :



    Fixons de sorte que .

    Et le résultat découle de cette inégalité car elle permet d'obtenir où c est une constante strictement positive.

    Qu'en pensez-vous ?

  8. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Les notations de Landau

    Tu as oublié que x peut être négatif ... donc N aussi et tes implications deviennent fausses.
    Et pourquoi veux-tu que x+2 pi n soit supérieur à n ??? il te suffit de montrer que c'est un O(n²).

  9. #8
    ArnoGreg

    Re : Les notations de Landau

    C'est vrai que j'ai oublié une étape.
    :


    Si x<0 on pose .
    Si x>0 on pose .

    Et alors l'implication reste vraie :


    Non ?

    ---
    Je pensais avoir la bonne démarche car pour montrer que c'est un je dois montrer l'existence d'une constance telle que . C'est ce que dit la définition, non ?

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Les notations de Landau

    Non.

    l'implication

    n'est valable que si a>0 (et donc b aussi).
    mais tu t'embêtes vraiment pour rien, et en fait ton problème n'est absolument pas d'avoir , mais d'avoir

    pour n suffisamment grand.

    Ici, tu sais que quand n tend vers l'infini, , donc

    ce qui justifie


    C'est une règle évidente : Si et alors
    preuve : Pour n suffisamment grand et de même, il existe C>0 tel que, pour n suffisamment grand, , donc pour n suffisamment grand pour respecter les deux conditions, .
    Dans l'application, il y a une constante, mais elle ne change rien :

    Cordialement.

  11. #10
    ArnoGreg

    Re : Les notations de Landau

    J'ai des difficultés.
    Vouliez-vous écrire que : ?

    J'ai comme l'impression qui manque un carré.

    Puis j'ai du mal à voir pourquoi pour n suffisamment grand on a : ?

    Je sais que signifie que la limite de tend vers 1.

    Soit l'existence d'un rang à partir duquel on a : .

    D'où : .

    En particulier : .

    Soit : .

    Et donc avec ?

  12. #11
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Les notations de Landau

    C'est effectivement un oubli du carré :


    La bonne définition de est qu'il existe une suite qui tend vers 1 et telle que . En effet, rien n'interdit que s'annule de temps à autre. Et comme tend vers 1, elle devient définitivement inférieure à 2 pour n suffisamment grand. Ce qui revient à ce que tu fais. Une autre idée intuitive, est que les deux suites deviennent très proches (relativement à l'une des deux).

  13. #12
    ArnoGreg

    Re : Les notations de Landau

    Je vois.
    Propriété :
    Si et alors .
    Preuve :
    Puisque alors il existe une suite qui tend vers 1 en l'infini telle que .

    Par définition .

    Mais alors dès que .

    Puisque alors il existe et telles que dès que .

    Mais alors dès que .

    Ainsi il existe une constante telle que à partir d'un certain rang.

    C'est donc bien que .
    Pour l'exercice, on applique cette propriété avec :




    C'est possible puisque :
    (1)
    (2)

    On obtient alors que :
    cad

  14. #13
    ArnoGreg

    Re : Les notations de Landau

    Si je comprends bien ?

  15. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Les notations de Landau

    Ce n'est pas ce que je disais au message #9, mais pourquoi ne pas essayer de le démontrer ?

    NB : Pour les suites, inutile de préciser "à l'infini" puisque c'est la seule façon d'avoir une limite.

  16. #15
    ArnoGreg

    Re : Les notations de Landau

    Ok !

    Puisque alors et .

    Posons .

    Pour et on a alors .

    Pour on a donc :


    en posant .

    C'est donc que soit encore .

    Qu'en pensez-vous ?

  17. #16
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Les notations de Landau

    Je ne comprends pas ce que veut dire
    .
    Quelle est ta définition de ?

  18. #17
    ArnoGreg

    Re : Les notations de Landau

    Je pose pour faciliter la rédaction.

    en soit je ne sais pas dire ce qu'il représente.

    Par contre , oui, je le peux.

    Je sais traduire 'quantité 1' = O( 'quantité 2').

  19. #18
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Les notations de Landau

    On peut en donner une définition : est l'ensemble des suites dominées par . Mais ce n'est pas très pratique, et ne correspond pas aux usages habituels de ces notations.
    Finalement, ce que tu voulais dire, c'est :
    Si , alors
    Et c'est ce que tu as démontré (et ce qui servira éventuellement).

    Cordialement.

  20. #19
    ArnoGreg

    Re : Les notations de Landau

    Je vois.
    Merci beaucoup, j'ai bien compris.

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