Les notations de Landau

[ArnoGreg]

Bonjour,

je revois les notations de Landau et je dois reconnaître que le grand O me pose quelques soucis.
Supposons avoir une fonction f de classe avec lorsque tend vers .

On définit la suite (u_n) par :

si .

On pose :
lorsque cette somme converge.

Je dois montrer que g est bien définie sur .

Alors je vois bien venir le critère de Riemann pour les séries avec le .

Mais j'ai du mal à le rédiger.

Je pense que le noeud de l'affaire est de prouver que , ce que j'ai du mal à faire.

Voici ce que j'écris. Au voisinage de , on a :

d'après les données de l'énoncé.

Ensuite, d'une part : .
D'autre part : .

D'où : .

Qu'en pensez-vous ?
Merci de votre aide !
-----

[gg0]

Je n'aurais pas écrit sans justification
.
mais tu sais sans doute le faire.

Je ne vois pas de problème, si tu connais les règles que tu appliques.
Et si tu as un doute, tu reviens à la définition.

Cordialement.

[ArnoGreg]

Bonjour,

oui, cela mérite une justification.

Je pose .
Alors, il existe une constante telle qu'au voisinage de , .

Or :



.

Donc :

.

Ainsi, .

Ce qui prouve que .

Donc : .

Qu'en pensez-vous ?

[ArnoGreg]

Posons et .
Ainsi, il existe une constante et une constante telles qu'au voisinage de on ait :



Par conséquent :


Ainsi il existe bien une constante telle qu'au voisinage de on ait .

C'est donc que .

D'où .

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

OK pour le message #4, mais gros problème pour le #3 :
"g est bien définie sur ." signifie "g(x) existe pour tout x réel", soit encore "la série converge simplement sur "
La convergence de la série est pour chaque x, donc tu dois traiter de ce qui se passe sur n pour x fixé. C'est quand même dommage de ne pas avoir vu ça tout de suite, car un raisonnement de même type (un peu plus délicat) portant sur n donne immédiatement le bon résultat.
En fait, tout ce qui suit x>n n'a aucun sens, puisque la valeur de x est quelconque dès le début, donc il n'y a aucune raison que x (fixé) soit supérieur à n (variable) et même ne peut avoir lieu en même temps que n tend vers l'infini (donc dépasse tout nombre, x compris).

A toi de repenser tout ça correctement.

[ArnoGreg]

Je vois.
J'ai fais dans la précipitation, je n'aurai pas dû ! Je propose d'écrire :



Fixons de sorte que .

Et le résultat découle de cette inégalité car elle permet d'obtenir où c est une constante strictement positive.

Qu'en pensez-vous ?

[gg0]

Tu as oublié que x peut être négatif ... donc N aussi et tes implications deviennent fausses.
Et pourquoi veux-tu que x+2 pi n soit supérieur à n ??? il te suffit de montrer que c'est un O(n²).

[ArnoGreg]

C'est vrai que j'ai oublié une étape.
:


Si x<0 on pose .
Si x>0 on pose .

Et alors l'implication reste vraie :


Non ?

---
Je pensais avoir la bonne démarche car pour montrer que c'est un je dois montrer l'existence d'une constance telle que . C'est ce que dit la définition, non ?

[gg0]

Non.

l'implication

n'est valable que si a>0 (et donc b aussi).
mais tu t'embêtes vraiment pour rien, et en fait ton problème n'est absolument pas d'avoir , mais d'avoir

pour n suffisamment grand.

Ici, tu sais que quand n tend vers l'infini, , donc

ce qui justifie


C'est une règle évidente : Si et alors
preuve : Pour n suffisamment grand et de même, il existe C>0 tel que, pour n suffisamment grand, , donc pour n suffisamment grand pour respecter les deux conditions, .
Dans l'application, il y a une constante, mais elle ne change rien :

Cordialement.

[ArnoGreg]

J'ai des difficultés.
Vouliez-vous écrire que : ?

J'ai comme l'impression qui manque un carré.

Puis j'ai du mal à voir pourquoi pour n suffisamment grand on a : ?

Je sais que signifie que la limite de tend vers 1.

Soit l'existence d'un rang à partir duquel on a : .

D'où : .

En particulier : .

Soit : .

Et donc avec ?

[gg0]

C'est effectivement un oubli du carré :


La bonne définition de est qu'il existe une suite qui tend vers 1 et telle que . En effet, rien n'interdit que s'annule de temps à autre. Et comme tend vers 1, elle devient définitivement inférieure à 2 pour n suffisamment grand. Ce qui revient à ce que tu fais. Une autre idée intuitive, est que les deux suites deviennent très proches (relativement à l'une des deux).

[ArnoGreg]

Je vois.

Propriété :
Si et alors .

Preuve :
Puisque alors il existe une suite qui tend vers 1 en l'infini telle que .

Par définition .

Mais alors dès que .

Puisque alors il existe et telles que dès que .

Mais alors dès que .

Ainsi il existe une constante telle que à partir d'un certain rang.

C'est donc bien que .

Pour l'exercice, on applique cette propriété avec :




C'est possible puisque :
(1)
(2)

On obtient alors que :
cad

[ArnoGreg]

Si je comprends bien ?

[gg0]

Ce n'est pas ce que je disais au message #9, mais pourquoi ne pas essayer de le démontrer ?

NB : Pour les suites, inutile de préciser "à l'infini" puisque c'est la seule façon d'avoir une limite.

[ArnoGreg]

Ok !

Puisque alors et .

Posons .

Pour et on a alors .

Pour on a donc :


en posant .

C'est donc que soit encore .

Qu'en pensez-vous ?

[gg0]

Je ne comprends pas ce que veut dire
.
Quelle est ta définition de ?

[ArnoGreg]

Je pose pour faciliter la rédaction.

en soit je ne sais pas dire ce qu'il représente.

Par contre , oui, je le peux.

Je sais traduire 'quantité 1' = O( 'quantité 2').

[gg0]

On peut en donner une définition : est l'ensemble des suites dominées par . Mais ce n'est pas très pratique, et ne correspond pas aux usages habituels de ces notations.
Finalement, ce que tu voulais dire, c'est :
Si , alors
Et c'est ce que tu as démontré (et ce qui servira éventuellement).

Cordialement.

[ArnoGreg]

Je vois.
Merci beaucoup, j'ai bien compris.